1、第六章 狭义相对论Special Theory of Relativity,Albert Einstein 阿尔伯特 爱因斯坦 (18791955),相对论的创始人: Albert Einstein（阿尔伯特 爱因斯坦）1905年，狭义相对论（Special Theory of Relativity）1916年，广义相对论(General Theory of Relativity),“If relativity is proved right the Germans will call me a German，the Swiss will call me a Swiss citizen，and
2、 the French will call me a great scientist. If relativity is proved wrong the French will call me a Swiss，the Swiss will call me a German，and the Germans and the will call me a Jew.”Albert Einstein,前几章中，我们讨论了经典电动力学的基本理论和有关规律，但是讨论的范围限于“静止”介质中的电磁场。本章将着重讨论动体的电动力学，即研究时空理论，阐述狭义相对论的实验基础、基本原理、数学工具和相对论电动力学。
3、本章将着解决电动力学中的几个问题：第一,麦克斯韦方程组究竟对于哪一个参考系是正确的？第二，从一个参考系变换到另一个参考系时，基本规律的形式如何改变？第三，基本物理量如何变换？,本 章 内 容,狭义相对论的实验基础 狭义相对论的基本原理 闵可夫斯基空间和洛仑兹变换 相对论的时空性质 相对论力学 电磁规律的相对性理论,6.1 狭义相对论的实验基础Experiment Foundations of the Special Theory of Relativity,1、经典力学的相对性原理大家知道，自由粒子在其中作匀速运动的坐标系称为惯性系。经典力学中的一个基本原理也就是伽利略相对性原理 , 它表示：
4、运动定律从一个惯性系变换到另一个惯性系时，运动定律的形式保持不变。也就是说，一切作机械运动的惯性系是等价的。在牛顿力学中，认为空间距离和时间间隔是绝对的,与参考系无关。这种认为也称绝对时空观。为了精确地研究物质在空间和时间中的运动过程，我们从物质运动中抽象出“事件”的概念。在无限小的空间元中无限短瞬间内发生的物质运,动过程叫做一个事件。物质运动可看作是一连串事件在时空中的发展过程，在一个参考系中，总是用一定的时间t 和空间(x,y,z)来描述一个事件。在牛顿绝对时空观中要求：a) 时间是绝对的两个事件在 系中的时间间隔 和在系（ 相对于的运动速度为 ）中的时间间隔 相同，即,如果两事件在系中是
5、同时的（ ），则 系中也是同时的（ ），同时性是绝对的。这就是说，假设宇宙中各处存在着一个跟参考系的选择无关的、不受物质运动过程影响的、统一的普适时间，时间与空间没有任何联系；不论有无任何其他客体，绝对的、真实的时间本身，永远无条件的、均匀地流逝着。b) 长度是绝对的在给定时刻，两个质点系中的距离和它在 系中的距离相同，即,这就是说，假设长度（或两个同时事件之间的距离）与参考系选择无关；物质的广延性不受其运动状态的影响。2、伽利略变换如果两个惯性系 和的坐标轴彼此平行，在 时，两坐标系的原点重合，并且 系相对于系的 沿x轴方向运动。,设在P点站着一人，按了一个闪光灯，在系中观察者看来，按灯的这
6、个现象发生于t 时刻、（x,y,z）点；在 系中观察者看来，按灯这个现象发生于t 时刻、（x,y,z）点；这两组数（x,y,z,t）与（x,y,z,t）之间的关系是与时空观有关的。根据经典时空观，得到,写成矢量形式为：这就是伽利略变换，它集中地反映了牛顿的绝对时空观。根据伽利略变换，可得事件的速度变换：即,在牛顿力学中，认为物体的质量和它的速度无关，于是可得：即这说明牛顿力学中的运动方程在伽利略变换下基本方程保持形式不变。,3、迈克尔逊莫雷（Michelson-Morley)实验 由于在伽利略变换下，Maxwells equations不能保持其形式不变，这是因为从Maxwells equat
7、ions得到电磁波在真空中的传播速度为c的结论。如果Maxwells equations在伽利略变换下保持不变，则在任何惯性系中电磁波在真空中的各个方向速率都应该等于c，那么在另一个与它有相对运动的惯性系中，该电磁波的传播速度不可能各向都是c。由此可见，在不同的惯性系中，电动力学的规律并不相同。如果确实如此，从牛顿绝对时空观出发，电磁波只能够对一个特定参考系的传播速度为c，进而Maxwells equations也就只能对该特殊参考系成立。,电磁现象不服从传统的相对性原理。历史上，把这个在绝对时间和绝对空间（长度）假设下得出的、Maxwells equations和电磁波传播速度各向同性定律在
8、其中成立的特殊参考系，称为绝对参考系。然而，绝对参考系是对哪个参照物建立的呢？当时人们认为传播电磁波的媒质是以太，电磁波传播速度c是对以太这一特殊参考系而言的。也就是说，以太就是那个绝对参考系。为了找出或证明这个绝对惯性系的存在，迈克尔逊（michelson）和莫雷（Morley）于1887年利用灵敏的干涉仪，企图用光学方法测定地球的绝对运动。假定以太相对太阳静止，这个运动就是地球绕太阳的运动。,实验的基本思想是：地球以30千米/秒的速度通过以太运动，地面上的观察者将会感到“太阳风”，并且其运动方向要随季节而异，在略去地球自转及其他不均匀运动所引起的偏差后，地球的运动在实验持续的时间内可以看做
9、是匀速直线运动，因而地球可看作是一个惯性系统。实验时先使干涉仪的一臂与地球的运动方向平行，另一臂与地球的运动方向垂直，按照经典的理论，在运动的系统中，光速应该各向不同，因而可看到干涉条纹；再使整个仪器转过/2，就应该发现条纹的移动，由条纹移动的总数，就可算出地球运动的速度v.,实验装置：说明：由光源S发出的光线在半反射镜M上分为两束，一束通过M，被M1反射回到M，再被M反射而,达到目镜T；另一束被M反射到M2，再反射回M而直达目镜T。调整两臂长度使有效光程为MM1=MM2=l. 设地球相对于以太的绝对运动速度 沿MM1方向，则由于光线MM1M与MM2M的传播时间不同，因而有光程差，在目镜T中将
10、观察到干涉效应。当地球相对于以太的速度为v运动时，可看出光线MM1和M1M间犹为如顺水和逆水行舟，它相对于仪器的速度应各自为(c-v)和(c+v)，如果MM1的长度为l时，那么光通过距离MM1+M1M所需的时间为,光往返于MM2和M2M间犹为横渡流水，在以太系看来光所走路经为MM2M”，当MM2的长度为l时，光通过距离MM2+M2M”所需的时间是t2，即,则因为 ，故作二项式展开，得两束光的光程差（回到M点的时间差）,把仪器绕竖直轴旋转/2，则MM2变成沿地球运动方向，MM1垂直于地球运动方向。这样沿MM2和MM1进行的光往返各需的时间为：两束光回到M点的时间差为：有了光程差，在目镜处应该观察
11、到干涉条纹的移,动个数。当时间差的改变量是光波的一个周期时，就引起一条干涉条纹的移动，所以条纹移动的总数为：式中是光波的波长，当l=11米，=5.910-7米，v=3 10-4米/秒，c=3 108米/ 秒，得到而实验观察到只有小到移动条条纹的1/100，但从,来也没有看到过0.4个条纹的移动。因此，可以得到结论：测不出地球的绝对运动，或者说地球相对于绝对参考系的速度为零。由此可见，迈克尔逊莫雷实验否定了物殊参考系以太的存在，并表明光速 不依赖于观察者所在参考系，也就是说Maxwells equations在地球上始终是正确的，而且在地球上真空光还始终是c=2.99792108米/秒，从而也否
12、定了伽利略变换的绝对正确性。,6.2 狭义相对论的基本原理Fundamental Principles of The Special Theory of Relativity,1、Albert Einstein 的选择由牛顿时空观出发，已知在伽利略变换下，一切力学规律对所有的惯性系都有相同的形式，但电磁学却不服从伽利略相对性原理。从逻辑上说，对同一种变换，力学规律有相同的形式，而电磁学规律的形式却不相同，这是不可思义的。这个矛盾的存在有两种可能性：一种可能性是Maxwell给出的电动力学定律并不正确，而Galilean transformation是正确的；另一种可能性是Maxwell the
13、ory 是正确的，但力学规律在高速（ c）情况下并不正确，Galilean transformation在高速情况下，也不正确，应存在一种新的变换，,在新变换形式下，电动力学规律服从相对性原理。Albert Einstein面对这两条路，他大胆地选择第二条道路，在1905年提出了新的时空理论the special theory of relativity.2、Albert Einstein 建立相对论的思想基础狭义相对论主要是讨论时空的理论。而时间和空间都是均匀的，对这均匀性如何理解？所谓空间的均匀性：就是说在一个实验室所做的实验和在另一个实验室所做同样的实验将有相同的结果。并且实验结果不依赖
14、于实验所取的方位，这就意味着，自然界的定律在旋转和平移下是不变的，因而线动量、角动量都是守恒的。,所谓时间的均匀性：就是说昨天所做的实验将和今天所做同样的实验有相同的结果。这就意味着，自然界的定律在时间平移下是不变的，从而导致了能量守恒。Albert Einstein所建立的相对论，就是在下列思想基础之上的，即时空具有更深刻地均匀性，自然定律在时空的四维“空间”的一组变换Lorentz transformation下是不变的，时空中的旋转和平移是这类变换的特殊情形。3、狭义相对论的基本原理根据实验事实， Albert Einstein提出了如下两条基本假设：,a) 一切物理规律，无论是力学的，
15、还是电磁学的，对于所有惯性系都具有相同的数学形式，这就是相对性原理。b) 在所有惯性系中，真空中的光速在任何方向上都恒为c，并与光源的运动无关，这就是光速不变原理。这两条基本假设构成了Albert Einstein的狭义相对论，是因为这个原理限于相互作匀速直线运动的惯性系。如果取消这限制就是广义相对论（包括万有引力作用），这不在本书的讨论范围之内。狭义相对论批判地继承和创造性地发展了牛顿、麦克斯韦理论，它不仅能统一地解释已有的实验结,果而不发生新的矛盾，而且还可以导出一系列新的普遍性的结果，预言一系列新的事实，已经被实验所证示。狭义相对论把一系列牛顿绝对时空融为一体，相对论的一切结果，在 c或
16、在形式上c时，都与牛顿时空理论结果相同，这体现了物理理论发展中新旧理论之间的辩证关系。几十年来，物理学家就这两条假设不断地进行了许多实验性的探索。1963年沙姆本莱（champeney）等及后来1970年依萨克（Issak）利用穆斯堡尔（ ）效应测定装在迅速转动的园盘直径两端的放射源与吸,收剂之间的射线频谱来寻找地球的绝对运动速度。这个实验的精度超过了最好的迈克尔逊莫雷类型实验的300倍。也始终测不出地球的绝对运动速度。从而有力地支持了狭义相对论的第一条基本假设相对性原理。1964年在欧洲原子核中心，测量由同步加速器产生的高速运动o介子衰变时产生的6 Gev光子的速率， o介子的速率为0.99
17、975c，通过测量光子飞行80m所需的时间，得到从高速的o介子辐射出的光子的速率仍等于c , 这明确地支持了狭义相对论的第二个基本假设光速不变原理。,6.3 闵可斯基空间和洛仑兹变换Minkowski Space and Lorentz Transformation,本节将从Albert Einstein的两个基本假设出发，建立狭义相对论的理论框架。1、间隔不变性 ( interval invariance )若有两个惯性参考系 和 ， 相对于 沿x轴正向以匀速 运动，把两个坐标完全重合的时刻选作两个坐标系时间 t 和 t 的起算点。,当 和 的坐标原点 ， 重合时( )发出一光脉冲，根据光速
18、不变原理，在系观察者看来，任何时间 t 光的波前皆为一球面，即也就是：而在 系观察者看来，因为光脉冲也是在 系的原点 发出，根据光速不变原理，任何时刻 光的波前同样是球面，即,或者因为时间和空间是均匀的，而且空间是各向同性的，这就意味着 系和 系之间的时空变换必须是线性的。通过线性变换可知：对于以光信号联系的两事件上的两个二次式，从两个惯性系观察都等于零，因此必然相等。即对于不以光信号联系的其他事件，从两惯性系观察，它们虽然不等于零，但由于时空坐标变换是线性的。这两个二次式至多只能相差一个系数A。,即其中系数A仅与两个惯性系的相对速度的绝对值有关，系数A不可能与坐标或时间有关。否则空间的不同点
19、及时间的不同时刻就不等价了，这与时间，空间的均匀性相矛盾。另外，系数A也不可能与惯性系的相对速度的方向有关。因为这与空间的各向同性的性质相矛盾。由此可见由于 系相对 系的运动速度显然与 系相对 系的运动速度相同，因此,从以上两个式子可看出：为了从两个值1中选择一个，我们应注意：A只可以永远等于+1，或永远等于-1，假如A( ) 真的对于某些速度为+1，而对于另外某些速度为-1，那么，就一定有些速度存在，与这些速度相应的A( ) 是在+1与-1之间，而这是不可能的，既然如此，A( ) 要么只取+1，要么只取- 1，最后，我们取A( ) 应该永远为+1，这是因为恒等式是变换式,的一个特殊例子，可见
20、其中A( ) = +1。假如x1，y1，z1，t1及x2，y2，z2，t2是 系任何两个事件的坐标，则称为这两个事件的间隔。同理，在 系中任何两个事件的间隔为：由上述比例关系式得到,这就是间隔不变式。如果两事件彼此无限地接近，那么间隔为：也可得到因此，我们得到一个很重要的结论：两个事件的间隔在所有惯性系里都是一样的，即当由一个惯性系变换到任何另一惯性系时，它是不变的。这也是光速不变的数学表示。,2、闵可夫斯基空间(Minkowski Space)由间隔不变性可知：令根据Albert Einstein求和法则，且有或者,如果把x1, x2, x3, x4看作一个四维空间坐标矢量的四个分量，那么间
21、隔不变性意味着 系与 系之间的变换是一个由线性变换式所表征的四维空间旋转操作，通常把由这个x1, x2, x3, x4 所组成的空间叫做闵可夫斯基空间。3、洛仑兹变换 ( Lorentz Transformation )这里讨论闵可夫斯基空间的坐标变换的具体形式。因为要求在坐标变换下不改变闵可夫斯基空间的矢量长度，根据间隔不变性和变换式，我们看到：,及可见变换系数 服从下列 正交条件：下面具体地确定变换系数，为了方便计，我们把写成如下形式：,由于沿x2、 x3方向的两个坐标标之间没有相对运动，因而又由于当 时， 和 完全重合，所以当x1、 x4为零时， x1、 x4也应为零，从而得到：,于是我
22、们有把这个新的变换关系代入间隔不变的关系中得到,展开得到：比较等式两边系数，即有,因为在 的点应该是 的点，所以根据则有故从而得到：,由这套变换式，我们从第一、第四两个关系式出发，a44乘以第一式， 乘以第二式，即有两式相减，得到,故得若考虑空间各向同性，因而x1的逆变换为比较两式，得到,由此可见：将 组合，即有,故得：再由 得到（注：也可以由 得到,即 ）,从而得到：由于 x 轴和 x 轴正向相同，变换系数a11应取大于零；又由于时间 t 和 t 的正向相同，a44亦取大于零。因此,于是，我们得到和系之间的坐标变换关系为：,即得到Lorentz变换式为：,式中取：根据 ，写成矩阵形式，即为：
23、,类似地，如果把该式中的 改成 ，就可得到逆变换的关系式：,矩阵的形式：Lorentz变换表明：a) 空间和时间是统一的，时空的度量与物质运动密不可分。b) 如果对Lorentz变换式中把 c 看成无穷大，即c，则变换式立即成为：,所以说伽利略变换是洛仑兹变换在低速运动下的一个近似。c) 以上所得到的洛仑兹变换式，是在一种特殊的运动条件下所构成的时空变换关系，即 系相对于 系沿x正方向运动，而且 与 平行，如果 系相对于 系不是沿 正方向运动，那么以上洛仑兹变换式不能适用。 4、一般情况下的Lorentz 变换式如果 系相对于 系的速度 并不平行于x轴，且相应的Lorentz变换式的形式是怎样
24、的呢？将位置矢量 分解为平行于相对速度 的分,量 和垂直于相对速度 的矢量 ：其中：利用相对速度 平行于x轴情况下的Lorentz变换式，得到,将些结果合成，即为：,时间变换为：,将上述结果写成关于 xu 的分量形式，并进一步用矩阵表示，即相对速度 沿任意方向时的Lorentz变换式为：其中：,洛仑兹变换式的另外一种推导设有一惯性参考系S和相对于S作匀速运动的另一惯性系 ，它们的三条坐标轴彼此平行，并 且 系沿公共轴 相对于S系速率 运动，在t=t=0时，它们的坐标原点0、0相重合，如图所示。,则空间中任一点P在这两个惯性系S和 中的时空坐标之间的Lorentz变换为,该组变换式推导如下：考虑
25、S系的原点 ，在 系上观察， 点坐标永远是 =0，但在S系上观察，0点以速率 沿x轴正方向运动，因而其坐标为x= t，或者x- t=0，可见，在空间同一点上，数值x和(x- t)同时为零，因此我们可以假设，在任何时刻， 与x- t之间的线性关系为式中 为一与x,t无关的常数。同理，S系的原点 ，可有,式中k也是与 无关的常数。由(2)，(3)式得对于y与y，z与z之间的关系，由于S系的原点0在y方向和z方向没有相对运动，因而无论x,z,t如何，在两个惯性系中0点的坐标永远是y=y=0和z=z=0，于是我们可假设y与y，z与z之间的关系分别为：,又假设当S系和S系的坐标原点0，0重合时，由重合点
26、发出一个沿各方向传播的光信号（点光源），根据光速 不变原理，在每一惯性系中光信号在所有方向上均以速率c传播。因此，对于S系，经过时间t光信号构成的0为中心，ct为半径的球面，球面方程分别为分别将(2)、(5)、(6)、(4)式中的x,y,z,t之值代入(8)式，即,经整理得该式与(7)式表示的是同一回事，为使该式与(7)式一致，x2, xt , t2, y2和z2的系数必须满足下列关系,联立解方程（9）的第一、第二式，由第一式得,由第二式得或解是在二式（即(11)、(12)两式），并舍去不符合物理意义的解，可得,联立解方程（9）的第一与第三式，或第二与第三式，也得到同样的结果，其中解第二与第三
27、式为最简单。将k，k 之值代入(2)、(4)式，便得到方程(1)的一、四式现解方程(10) ，由(10) 式可得由于 轴与y轴， 轴与z轴同方向，必须有： ， ， ，故取,代入(5)、(6)式，便得到方程(1)的第二、第三式，于是方程(1)得证。结论：Lorentz变换式可以只根据狭义相对论的附加假设时空场匀性（从而要求变换必须是线性）以及狭义相对论的基本假充光速 不变原理（从而要求时空间隔永远不变）就能推导出来，而需用相对性原理这一基本假设。,6.4 相对论的时空性质Space-Time Property of the Special Theory of Relativity,在Lorent
28、z 变换下，空间距离和时间间隔都要发生变化，只有在闵可夫斯基的四维时空中的线元，即间隔才是不变量，对这种时空性质，闵可夫斯基曾有过这样一句名言：“从今以后，空间本身和时间本身都已成为阴影，只有两者的结合才能独立存在”。本节将详细地讨论狭义相对论的时空性质。,1、相对论时空结构以第一个事件为空时原点（0，0，0，0），设第二个事件的空时坐标为（x, y, z, t )，这两个事件的间隔为：式中 为两事件的空间距离。对于任意两个事件，间隔并不一定为零 。因此，可以把间隔分成三类：(1) 若两事件可以用电磁信号（光波）联系， 此时， ；(2) 若两个事件可以用低于电磁信号传播的作,用来联系，此时(3
29、) 若两个事件的空间距离超过了光波在时间t所传播的距离，此时为了说明问题的方便，把三种间隔用一个三维时空图形表示出来，事件用一个三维时空点P来表示。,P点在 x y 面上的投影表示事件发生的地点，P点的垂直坐标表示事件发生的时刻 t 乘以c 。在四维时空中，任何一个事件都可以用其中,的一个点来表示，这个点称为世界点。事件发展的过程，用四维时空中的轨迹线表示，称为世界线。由于四维时空的结构由三个区域组成，对于上述三种情况，具体分析它们各自的特点：(1)若事件P与事件 的间隔是 ，则 ，因此P点在一个以 点为顶点的锥面上，这个锥面称为光锥。凡是光锥上的点，都可以和点用光信号联系，这类型的间隔称为类
30、光间隔。(2)若事件P与事件 的间隔是 ，则 ，因而P点在光锥之内。这类型的间隔称为类时间隔。(3)若事件P与事件 的间隔是 ，则 ，因而P点在光锥之外。这时P点不可能与,点用光信号或低于光信号的传播速度的作用相联系。这类型的间隔称为类空间隔。间隔的划分是绝对的，不因参考系为而变，这是相对论时空性质中的绝对性。概括起来，事件P相对于事件 的时空关系可作如下的绝对分类：(1) 类时间隔a) 绝对将来，即P在 的上半光锥内。b) 绝对过去，即P在 的下半光锥内。(2) 类光间隔P点在光锥面上。,(3) 类空间隔P与 绝对远离，P点在光锥之外。 2、同时的相对性定性描述：一个作匀速运动的车子，其前后
31、两门皆用光信号控制其开和关。,在车厢中 与地面上 点相遇时发一光信号，在与车厢相对静止的 系中的观察者看来，由光速不变原理，光信号必然同时到达前、后门，所以看到的是前、后门同时开启。但系观察者看来，因光往前、往后的传播速度都是c (光速不变原理），而前、后门又都以速度 前进，所以从 系看到的是光信号相对于后门的传播速度是(c+v)，相对于前门的传播速度是(c-v)，因此后门先开、前门后开。开门是一个事件，开前门与开后门则是两个 事件，从 系看来，这两个事件是同时事件；从 系看来，这两个事件是不同时事件。这就是,同时的相对性。定量描述：一物体ab随 系一起运动， 处于ab的中点上，在 点发一光脉
32、冲，在 系看来，光信号将同时到达a和b，这两个事件以 及,表示，那么在 系中，是否也观察到光信号同时到达 呢？根据Lorentz变换式：,两式相减，得到：由于 ，因此 t2t1.这就说明：在 系看来，信号不是同时到达,和 点的，t2的读数大于t1的读数，即t1时刻在先，t2时刻在后，即信号是先到 点，后到 点。由此得到结论：若两个事件在某一参考系中为同时异地事件，那么根据Lorentz变换式，在其他参考系中这两个事件就不是同时的。这就是同时的相对性。3、运动尺度的缩短空间距离的相对性测量物体的长度往往就是用一根尺子去和物体比较，看物体的两端与尺子上哪两点重合，关键在于必须对其物体的两个端点进行
33、同时测量。测量物体每一端的坐标都是一个事件，同时测量意味着是同时事件。,设在 系内有一根平行 轴的静止的杆，在 系的观察者观测，杆的后端坐标为 ，前端坐标为 ，杆相对于 系的观察者没有运动。因此， 系的观察者测得杆长为,在 系测量，杆后端在t1时刻与x轴上的A点重合，A点的坐标为x1，前端在t2时刻与x轴上的B点重合，B点的坐标为x2，由于测量是同时的，则 系观察者观测到杆的两端与x轴的A、B两点重合是同时的，即t1=t2。测杆的长为根据 Lorentz变换式：,两式相减，即得由于t2-t1= 0，故有即,或者由于 ，所以ll0，这表明固定在 系中的杆最长，在相对于它的速度 运动的参考系中，它
34、的长度就减少到 ，相对论的这个结果称为Lorentz收缩，l0称为固有长度。由此得出结论：物体沿其长度方向运动时， 其长度即缩短为静止时的 倍。如果物体,是任意形状的，那么就是沿运动方向的长度有上述的缩短。4、运动时钟的延缓时间间隔的相对性现在来讨论：在不同的惯性系中观察同一物质运动过程所经历的时间，其结果是否相同？设在系中有一静止时钟，在系内的同一地点每隔t时间发出一光信号，即这些信号的时间间隔在系看来则为：,根据Lorentz变换式：,则有：因为时钟在系内是在同一地点 不同时间 发出光信号的，因此得到：这表明：在不同惯性系中，同样两个事件之间的时间间隔是不同的。可以看到，在某一惯性系中 为
35、同地的两事件在该系中的时间间隔最短。,如果把随着某一物体（ 系）一起运动的时钟所指示的时间，称为该物体的固有时，以 表示 。这样，上式可写为由于 ，故 。可见，一个运动物体（ 系）的固有时永远较在静止系（ 系）内的相对应的时间间隔要小，相对论的这一运动学效应称为运动时钟延缓，或称Einstein延缓。 由此得到结论：运动的时钟所指示的时间间隔比静止的时钟所指示的时间间隔要小。换句话说：运动的钟比静止的钟走得慢一些。,5、因果律对信号速度的限制从以上讨论知道，同时是相对的，时间间隔也是相对的。现在我们要问两事件的先后秩序是否也是相对的？如果两个事件有因果关系，那么两事件的先后秩序应该是绝对的，不
36、容颠倒。如播种必在收获之先，人的死亡必在出生之后，因果关系的绝对性反映了事物发展变化的客观事实，与参考系的选择无关。下面讨论相对论理论在什么条件下才与这个要求一致。设两事件的时空坐标在系中为(x1,t1) 和(x2,t2)，在 系中为 ，则由 Lorentz 变换式，,有如果两事件有因果关系，而且t2t1，由于它们的秩序不可颠倒，必须在 系中观察时，也有 ，这就说明 必须同号，从形式上看，这就要求：即,令信号速度为：（当然这也是物体的运动速度）则有式中： 是两惯性系之间的相对速度，它不可能超过光速c，而且物质的速度uc，由此可见，相对论与因果律并不矛盾。由此得到结论：因果事件先后秩序的绝对性对
37、相对论理论的要求是：所有物体运动的速度、信号传播的速度及作用传递的速度等都不能超过光速c .,对于没有因果关系的两事件的先后秩序，在不同的惯性系看来，是不同的。因为对这两事件来说， 不代表什么速度，所以它不大于c当然是可能的。故因果事件的四维间隔一定是类时的，而类空间隔的两事件一定没有因果关系。6、速度和加速度变换式(1)这里，我们要找出某个粒子在一个参考系内的速度与在另一个参考系内的速度之间的变换关系。假定 系相对于 系以速度v沿着x轴正方向运,动，设粒子相对于 系、 系的速度分别为利用Lorentz变换以及其变换是线性的性质，微分得到,用dt去除dx，dy，dz，则得即,即,即也就是：,讨
38、论：a) 速度有三种不同的形式 、 及 ，则 是 系相对于 系的速度；是粒子（ 系）相对于 系的速度；是粒子（ 系）相对于 系的速度； 要使用速度变换式，必须要有三个客体存在，即两个观察者 和 ，以及一个粒子（ 系）。b) 在非相对论极限下c，速度变换式将过渡到经典力学中速度变换式，即,c) 当 ，vc时，则，这说明不可能把两个相对速度加起来，使它们的合成速度由某一惯性系测量大于c。(2) 假若 系相对于 系的速度 与x轴夹任意角，则此时的速度变换式推导如下：a) 粒子相对于 系的位置矢量是,其中： 是粒子相对于 系的位置矢量。b) 若令并考虑到,则c) 因此找到了三个客体：两个观察者 和 以
39、及一个粒子，从而可推导出粒子相对于 系的速度矢量式，因为用 去除，即有,即,讨论：a) 如果 系相对于 系沿x轴正方向以速度 运动，即 从而可得,b) 当 时，得到这个式子在本章习题五第三问要用到，习题五中,的 ，上式两边平方得：这样即可求出u，从而其它结果都可求出。(3) 我们还可推出两个惯性系之间物体加速度的变换关系，即,如果 系相对于 系的速度 与x轴夹运动，则令,（4）例题a) 设有两根相互平行的尺，在各自静止的参考系中的长度均为 ，它们以相同的速率 相对于某一参考系运动，但运动方向相反，且平行于尺子。求站在一根尺上测量另一根尺的长度。,l0,A,Solution:站在系上观察到A尺（
40、系）、B尺（”系）的运动速度为 ，根据速度变换公式，得到从A尺（系）测量B尺（”系）的速度为所以在A尺（系）测量B尺（”系）的长度为,或者,综上所述，相对论的时空性质不承认普适的时间与不变的空间，而认为不同的惯性系有不同的尺和钟。在这个意义上它的时空是“相对”的，但这种相对性并不意味着任何主观任意性。归根到底，它只不过是光速不变性这一客观事实的反映，光速不变性还规定了事件间的“间隔”是绝对的，不随参考系而异，这就是狭义相对论时空观中相对和绝对的统一。,6.5 相对论力学Relativistic Mechanics,相对论原理要求任何物理规律在不同的惯性系中形式相同。而牛顿运动方程不满足洛仑兹变
41、换下不变的要求。因此，我们要对牛顿力学规律加以修改，使它满足相对论的协变性要求。,1、物理量按空间变换性质分类一个表达物理规律的方程，当坐标系经过变换而方程的形式不变时，称这方程对于这个变换为协变的。狭义相对论要求所有表达物理规律的方程对 Lorentz变换是协变的，或称之具有Lorentz协变性。a) 标量若一物理量在空间中没有取向关系，当坐标系转动时，这些物理量保持不变，则称此量为标量。如质量、电荷、标量势等。标量与坐标变换无关，设在 系中某标量用f 表示，在 系中用 表示，由标量不变性得到：,b) 矢量若一物理量在空间中有一定的取向性，它由三个分量表示，当空间坐标按 式作变换时，该量的三
42、个分量按同一方式变换，则称此量为一矢量。如电场强度、速度、力等。以 代表矢量，它在坐标系 中的分量为 ，在 系中的分量为 ，故矢量变换关系为还有微分算符 也具有矢量性质，其变换关系为,这里使用了由此可见c) 二阶张量若一物理量在空间的取向比较复杂，它由两个矢量指标表示，有九个分量，从 系变换到 系,中，其分量Tij按下列方式变换具有这种变换关系的物理量称为二阶张量，如电磁场张力张量、电四极矩等。2、闵可夫斯基空间物理量的变换关系闵可夫斯基空间是一个四维空间，其坐标轴分别为x1=x , x2=y , x3=z , x4=ict，由间隔不变性和光速不变原理，我们得到四维空间的Lorentz变换式：
43、,其中： 系相对于 系沿x轴正方向以速度 运动的特殊变换系数a v的矩阵形式为a) 四维标量在四维空间中如果一个物理量只需一个数表示，而在坐标轴转动时数值不变，则称此物理量为四维标量，如间隔,b) 四维矢量如果一个物理量需四个数表达，而在坐标轴转动时，这些数的变换关系和坐标的变换关系相同，即 ，则称些物理量为四维矢量，矩阵表明为,凡满足这个变换式的四个数都构成一个四维矢量，四维矢量的前三个分量是空间分量，第四个分量是时间分量。 在四维空间中，四维矢量算符为c) 四维张量如果一个物理量变换满足关系一共有16个数构成一个四维张量，其中T4j和Ti4是虚数。,3、质点力学由于四维矢量在坐标变换时是按
44、Lorentz变换改变的，因此一个物理定律若能用四维空间的量表达，则此定律具有Lorentz协变性，即满足相对论要求。a）四维速度由于 表示四维位移矢量，速度的定义是坐标对时间的微商，但dt不是标量，故 不是矢量，不能表示四维速度，然而能够找到一种与坐标系无关的时间间隔，它对一切惯性系都不变，即是四维标量。,设一质点在 系内运动，t 时刻的速度为 ，此后dt 时间内位移为 ，随质点一起运动的 系观察到这段时间为 ，而在 时间内位移为 ，因为质点相对于系静止，由于故 是标量，又因为 是固有时，不随惯性系的变换而改变，即于是，定义四维速度为：,空间分量为时间分量为可见将四维速度写成如下形式,说明一
45、点： 是质点相对于 系的运动速度，能观察或测定的速度，按照定义总是 ，而不是四维速度 ，但满足Lorentz变换的却不是 而是 。b) 四维动量引入四维标量mo，可定义四维动量为空间分量为时间分量为,四维动量的形式可表示为当 时， p4的展开式为括号内第二项是物体的动能，由此可见p4与物体的能量有关。c) 四维力（闵可夫斯基力）,取p对的微商，定义为四维力空间分量为即令,故得到当 时这与牛顿运动方程 一致，因此可得,这就是三维形式的相对论运动方程。按照力等于动量的改变率的定义，则有式中 。这里的 是质点的动量。m是质点的质量（质点的运动质量）。由此可见，相对论中的质量是速度的函数。即m=m(
46、)，当质点静止时(v=0)，则质m=mo，所以称mo 为静止质量。另外，当质点的速率趋近于光速c时，其质量将趋近于无穷大，所以任何项大的力都,不可能使具有静止质量的质点加速到光速c，因而光速是物体运动速度的极限。四维力的时间分量为了寻求此式的物理意义，利用,求该式对固有时的微商，由于mo和c都是常数。故得,即故 因此得到,从而得到该式进一步可以写成,该式左边是力地质点所做的功率，根据能量守恒定律，右边应是质点的动能增加率，故得到质点的能量关系即积分得到,当v=0时，T=0，则得A=-moc2，故质点的v运动的动能为由能量守恒定律，该式可写为其中： 为质点运动的总能量， moc2为质点静止时的能
47、量。,由此得到，四维动量的第4个分量p4与W的关系为从而得到四维力K4可以写成,故d) 质能联系定律由上述讨论可知这就是著名的Einstein 质能联系定律。质能关系式表示以速度 （高速）运动的质点，具有质量m的同时，还具有能量W。当质点静止时（ =0），,则有质能联系定律揭示出：作为物质惯性的量度的质量与作为物质运动的量度的能量之间的普遍联系，形式不同的能量之间可以互相转化。以及表现静止的粒子也蕴藏着能量moc2，也证实了辩证唯物主义的结论：自然界里既然没有不运动的物质，也没有无物质的运动。e) 能量、动量和质量的关系由于m=W/c2，故动量为,又因为 ，在上两式中消去 ，即由第二式得,第一式代入，即从而得到开方得到这就是相对论中的能量、动量和质量的关系式。当粒子的静止质量mo=0时，则W2=p2c2，可见，这个粒子就是电磁场的基本粒子,
