1、带电粒子在有界磁场中运动的临界问题的解题技巧 湖北省恩施高中 陈恩谱 带电粒子 （质量 m、电量 q 确定） 在有界磁场中运动时，涉及的可能变化的参量有 入射点、入射速度大小、入射方向、出射点、出射方向 、磁感应强度大小、磁场方向等，其中磁感应强度大小与入射速度大小影响的都是轨道半径的大小，可归并为同一因素（ 以“入射速度大小”代表 ），磁场方向在一般问题中不改变，若改变，也只需将已讨论情况按反方向偏转再分析一下即可。 在具体问题中，这五个参量一般都是已知两个，剩下其他参量不确定（但知道变化范围）或待定，按已知参数可 将问题分为如下 10 类（ 25C），并可归并为 6 大类型。 所有这些问题
2、，其通用解法是： 第一步，找准轨迹圆圆心可能的位 置 ， 第二步， 按一定顺序 尽可能多地作不同圆心对应的轨迹圆（一般至少 5 画个轨迹圆）， 第三步，根据所作的图和题设条件，找出临界轨迹圆，从而抓住解题的关键点。 类型一：已知入射点和入射速度方向，但入射速度大小不确定 （即轨道半径不确定） 这类问题的特点是：所有轨迹圆圆心均在过入射点、垂直入射速度的同一条直线上。 【例 1】 如图所示，长为 L 的水平极板间有垂直于纸面向内的匀强磁场，磁感应强度为 B，板间距离也为 L，板不带电现有质量为 m、电荷量为 q 的带正电粒子 (不计重力 )，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度 v 水平射入磁 场
3、，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是 A使粒子的速度 v5BqL4m C使粒子的速度 vBqLm D使粒子的速度 BqL4m 5BqL4m 时粒子能从右边穿出 粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在 O点，有 r2 L4 由 r2 mv2Bq ，得 v2 BqL4m ， 所以 v0， 00， xa 的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为 B。在 O 点处有一小孔，一束质 量为 m、带电量为 q（ q0）的粒子沿 x 轴经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮。入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值已知速度最大的粒子在 0a 的区域中运动的时间之比为
4、 2： 5，在磁场中运动的总时间为7T/12，其中 T 为该粒子在磁感应强度为 B 的匀强磁场中作圆周运动的周期。试求两个荧光屏上亮线的范围（不计重力的影响）。 【分析】 粒子在 0a 的区域，由对称性可知，粒子在 xa 的区域内的轨迹圆圆心均在在 x=2a 直线上，在 x=2a 直线上取不同点为圆心，半径由小取到大，可作出一系列圆（如图乙），其中轨迹圆 为半径最小的情况，轨迹圆 为题目所要求的速度最大的粒子的轨迹。 【答案】 竖直屏 上发亮的范围从 0 到 2a， 水平 屏上发亮的范围从 2a 到 2323x a a【解答】 粒子在磁感应强度为 B 的匀强磁场中运动半径为： mvrqB 速度
5、小的粒子将在 xa 的区域中运动的时间，由题意可知 图乙 图甲 a 2a 2a a x 1225tt ， 12712Ttt 由此解得： 1 6Tt 1 512Tt 由 式和对称性可得 60O C M 6 0M C N 5 3 6 0 1 5 012M C P 所以 1 5 0 6 0 9 0N C P 即弧长 NP 为 1/4圆周。因此，圆心 C 在 x 轴上。 设速度为最大值粒子的轨道半径为 R，有直角 COC 可得 2 sin 6 0 2Ra 233Ra 由图可知 OP=2a+R，因此水平荧光屏发亮范围的右边界的坐标 2323x a a 【易错提醒】本题容易把握不住隐含条件 所有 在 xa
6、 的区域内的轨迹圆圆心均在在 x=2a 直线上 ，从而造成 在 xa 的区域内 的 作图困难；另一方面，在 xa 的区域内 作 轨迹圆 时，半径未从 轨迹圆 半径开始取值，致使 轨迹圆 未作出，从而 将水平荧光屏发亮范围的左边界坐标 确定为 x=a。 类型二：已知入射点和入射速度大小 （即轨道半径大小） ，但入射速度方向不确定 这类问题的特点是：所有轨迹圆的圆心均在一个“圆心圆”上 所谓“圆心圆”，是指以入射点为 圆心，以 mvrqB为半径的圆 。 【例 2】 如图所示，在 0xa、 0y2a范围内有垂直手 xy 平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 B。坐标原点 O 处有一个粒子源，在某时刻
7、发射大量质量为 m、电荷量为 q 的带正电粒 子，它们的速度大小相同，速度方向均在 xOy 平面内，与 y 轴正方向的夹角分布在 0 090 范围内。己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于 a/2到 a 之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的 (1)速度的大小 ； (2)速度方向与 y 轴正方向夹角的正弦。 【分析】 本题给定的情形是粒子轨道半径 r 大小确定但初速度方向不确定，所有粒子的轨迹圆都要经过入射点 O，入射点 O 到任一圆心的距离均为 r，故 所有轨迹圆的圆心均在一个 “ 圆心圆 ” 以 入射点O
8、为圆心、 r 为半径的圆周上（如图甲）。 考虑到粒子是向右偏转，我们从最左边的轨迹圆画起 取 “圆心圆” 上不同点为圆心、 r 为半径作出一系列圆，如图乙所示；其中，轨迹 对应弦长大于轨迹 对应弦长 半径一定、圆心角都较小时 （均小于 180） ，弦长越长，圆心角越大，粒子在磁场中运动时间越长 故轨迹 对应圆心角为 90 。 【答案】66( 2 ) ( 2 )22aqBR a vm 6 - 6， ， s i n =10【解答】 设粒子的发射速度为 v，粒子做圆周运动的轨道半径为 R， 根据牛顿第二定律和洛伦兹力得： 图乙 图甲 2vqvB mR， 解得： mvRqB当 a/20)和初速度 v的
9、带电微粒沿 x轴正方向射 向该区域，其中沿半径 AO方向 进入磁场区域 的带电微粒 经磁场偏转后 ，从坐标原点 O沿 y轴负方向离开 。 (1)求磁感应强度 B的大小和方向。 (2)请指出这束带电微粒与 x 轴相交的区域，并说明理由。 【分析】（ 1）从 A 点进入磁场区域的微粒轨迹圆心在 A 点正下方 相距 R 的 C 处，微粒轨迹如图 所示，可知微粒轨迹半径为qBmvR；（ 2） 所有这些微粒进入磁 场后做圆周运动的圆心均在如图所示 半圆 虚线OCD 上 ， 在该曲线上由上到下取点作为圆心 、以 R 为半径作 一系列轨迹圆，易由图可知这些微粒均与 x轴相交 于原点 因为圆心所在曲线半圆 O
10、CD 的圆心是原点 O。 【答案】 (1)qRmvB，方向垂直 xOy 平面 向外；（ 2）这束 微粒均与 x 轴相交 于原点。 类型六：已知初速度方向 （所在直线） 和出射点，但入射点不确定 这类问题的特点是：所有轨迹圆的圆心均在“以初速度所在直线为准线、出射点 为焦点的抛物线”上。 【例 6】 如图所示，现有一质量为 m、电量为 e 的电子从 y 轴上的P（ 0， a）点以初速度 v0平行于 x 轴射出，在 y 轴右侧 某一圆形区域 加f f f C D C D 一垂直于 xoy 平面向里匀强磁场，磁感应强度大小为 B. 为了使电子 能从 x 轴上的 Q（ b， 0）点 射出磁场 。试求 满足条件的 磁场的 最小面积，并求出该磁场圆圆心的坐标 。 【分析】 本题中，电子初速度所在直线已知，电子进入磁场的入射点在该直线上，则可知电子在磁场中作圆周运动的轨迹圆与该直线相切、且经过 Q 点，所以电子轨迹圆圆心到该直线和到 Q 点的距离相等，即电子轨迹圆圆心在以该直线 为准线、 Q 点为焦点的抛物线上。 在该抛物线上从左向右去不同点为圆心，做出一些列轨迹圆，可以看出所有这些轨迹中轨迹 所需圆形磁场的直径最小。 【答案】 241 a，（ b,2a）
