1、数轴难题集合 1已知在数轴 l上，一动点 Q从原点 O出发，沿直线 l以每秒钟 2个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动 1 个单位长度，再向左移动 2 个单位长度，又向右移动 3个单位长度，再向左移动 4个单位长度，又向右移动 5个单位长度 （ 1）求出 5秒钟后动点 Q所处的位置； （ 2）如果在数轴 l上还有一个定点 A，且 A与原点 O相距 20个单位长度，问：动点 Q从原点出发，可能与点 A 重合吗？若能，则第一次与点 A 重合需多长时间？若不能，请说明理由 【解析】解：（ 1） 2 5=10， 点 Q走过的路程是 1+2+3+4=10， Q处于： 1 2+3 4=4 6=
2、 2； （ 2） 当点 A在原点左边时，设需要第 n次到达点 A，则 =20， 解得 n=39， 动点 Q走过的路程是 1+| 2|+3+| 4|+5+ +| 38|+39， =1+2+3+ +39， = =780， 时间 =780 2=390秒（ 6.5分钟）； 当点 A原点左边时，设需要第 n次到达点 A，则 =20， 解得 n=40， 动点 Q走过的路程是 1+| 2|+3+| 4|+5+ +39+| 40|， =1+2+3+ +40， = =820， 时间 =820 2=410秒 （ 6 分钟） 【点评】本题考查了数轴的知识，（ 2）题注意要分情况讨论求解，弄清楚跳到点 A处的次数的计
3、算方法是解题的关键，可以动手操作一下便不难得解 2点 A、 B在数轴上分别表示有理数 a、 b， A、 B 两点之间的距离表示为 AB，在数轴上 A、B两点之间的距离 AB=|a b| 利用数形结合思想回答下列问题： （ 1）数轴上表示 2和 10两点之间的距离是 _，数轴上表示 2和 10 的两点之间的距离是 _ （ 2）数轴上表示 x和 2的两点之间的距离表示为 _ （ 3）若 x 表示一个有理数， |x 1|+|x+2|有最小值吗？若有，请求出最小值，若没有，写出理由 （ 4）若 x表示一个有理数，求 |x 1|+|x 2|+|x 3|+|x 4|+ +|x 2014|+|x 2015|
4、的最小值 【解析】 试题分析：（ 1）（ 2）依据在数轴上 A、 B两点之间的距离 AB= ab 求解即可； （ 3） |x 1|+|x+2|表示数轴上 x和 1的两点之间与 x和 -2的两点之间距离和； （ 4）依据绝对值的几何意义回答即可 试题解析： （ 1） 10 2 8； 2 ( 10) 12 ；故答案为： 8； 12； （ 2） ( 2) 2xx ；故答案为： |x+2|； （ 3） |x-1|+|x+2|表示 数轴上 x和 1的两点之间 与 x和 2的两点之间 距离和，利用数轴可以发现当 2 x 1时有最小值，这个最小值就是 1到 2的距离故 |x-1|+|x+2|最小值是3 （
5、4）当 x=1008时有最小值，此时，原式 =1007+1006+1005+ +2+1+0+1+2+ 1006+1007 =1015056 考点：（ 1）绝对值；（ 2）数轴 3阅读理解： 如图， A B C为数轴上三点，若点 C到 A的距离是点 C到 B的距离 的 2倍，我们就称点 C是【 A， B】的好点例 如，如图 1，点 A表示的数为 1，点 B表示的数为 2表示 数 1的点 C到点 A的距离是 2，到点 B的距离是 1，那么点 C是【 A， B】的好点；又如，表示 数 0的点 D 到点 A 的距离是 1，到点 B的距离是 2，那么点 D就不是【 A， B】的好点，但点 D是【 B，
6、A】的好点 知识运用：如图 2， M、 N为数轴上两点，点 M所表示的数为 2，点 N所表示的数为 4 （ 1） 数 所表示的点是【 M， N】的好点； （ 2） 现有一只电子蚂蚁 P从点 N 出发，以每秒 2 个单位的速度 沿数轴 向左运动 ，运动时间为 t当 t为何值时， P、 M、 N中恰有一个点为 其余两点的好点？ 【解析】 试题分析：（ 1）设所求数为 x，由好点的定义列出方程 x（ 2） =2（ 4 x），解方程即可； （ 2）由好点的定义可知分 四 种情况： P 为【 M， N】的好点； P 为【 N， M】的好点 ； M为【 N， P】的好点 ； M为【 P， N】的好点设点
7、P表示的数为 y，由好点的定义列出方程，进而得出 t的值 试题解析：解：（ 1）设所求数为 x，由题意得 x（ 2） =2（ 4 x），解得 x=2，故答案为： 2； （ 2）设点 P表示的数为 4 2t， 分四种情况讨论： 当 P为【 M， N】的好点时 PM=2PN，即 6 2t=22t ， t=1； 当 P为【 N， M】的好点时 PN=2PM，即 2t=2（ 6 2t）， t=2； 当 M为【 N， P】的好点时 MN=2PM，即 6=2（ 2t 6）， t=4.5； 当 M为【 P， N】的好点时 MP=2MN，即 2t 6=12， t=9； 综上可知，当 t=1， 2， 4.5，
8、9时， P、 M、 N中恰有一个点为其余两点的好点 考点： 1一元一次方程的应用； 2数轴； 3几何动点问题； 4分类讨论 4 如图，数轴的单位长度为 1 DCA B （ 1）如果点 B， D表示的数互为相反数，那么图中点 A、点 D表示的数分别是 、 ； （ 2） 当点 B 为原点时，在数轴上是否存在点 M，使得点 M 到点 A 的距离是点 M 到点 D 的距离的 2倍，若存在，请求出此时点 M所表示的数；若不存在，说明理由； （ 3） 在（ 2）的条件下，点 A、点 C分别以 2个单位长度 /秒和 0.5个单位长度同时向右运动，同时点 P从原点出发以 3个单位长度 /秒的速度向左运动，当点
9、 A与点 C之间的距离为3个单位长度时，求点 P所对应的数是多少？ 【解析】 试题分析：（ 1）由点 B， D表示的数互为相反数，所以点 B为 2， D为 2，则点 A为 4； （ 2）存在，分两种情况讨论解答； （ 3）设当点 A与点 C 之间的距离为 3个单位长度时，运动时间为 t， A点运动到： 2+2t，C点运动到： 3+0.5t，由 AC=3，分类讨论，即可解答 试题解析：解：（ 1） 点 B， D表示的数互为相反数， 点 B为 2， D为 2， 点 A为 4，故答案为： 4， 2； （ 2）存在，如图： 当点 M在 A， D之间时，设 M表示的数为 x，则 x（ 2） =2（ 4
10、x） 解得： x=2，当点 M在 A， D右侧时，则 x（ 2） =2（ x 4），解得： x=10，所以点 M所表示的数为 2或 10； （ 3）设当点 A与点 C 之间的距离为 3个单位长度时，运动时 间为 t， A点运动到： 2+2t，C 点运动到： 3+0.5t， 2+2t（ 3+0.5t） =3， 解得： t=6，所以 P 点对应运动的单位长度为： 36=18 ，所以点 P表示的数为 18 3+0.5t（ 2+2t） =3， 解得： t=43，所以 P点对应运动的单位长度为： 3 43=4，所以点 P表示的数为 4 答：点 P表示的数为 18或 4 考点： 1数轴； 2相反数 5 （
11、本题 9 分） 数轴上的点 M 对应的数是 -4，一只甲 虫从 M 点出发沿数轴以每秒 2 个单位长度的速度爬行，当它到达数轴上的 N点后，立即返回到原点，共用 11秒 （ 1）甲虫爬行的路程是多少？ （ 2）点 N对应的数是多少？ （ 3）点 M和点 N 之间的距离是多少？ 【解析】 试题分析： （ 1）利用公式：路程 =速度时间，直接得出答案； （ 2）先设点 N 表示的数为 a，分两种情况：点 M 在点 N 左侧或右侧，求出从 M 点到 N 点单位长度的个数，再由 M 点表示的数是 -4，从点 N返回到原点即可得出 N点表示的数 （ 3）根据点 N表示的数即可得出点 M和点 N之间的距离
12、 试题解析： （ 1） 2 11=22（个 单位长度） 故蚂蚁爬行的路程是 22个单位长度 （ 2）当点 M在点 N 左侧时： a+4+a=22， a=9； 当点 M在点 N右侧时： -a-4-a=22， a=-13； （ 3）点 M和点 N之间的距离是 13 或 9 考点： 数轴 6（ 11分） 已知：如图， O为数轴的原点， A， B分别为数轴上的两点， A点对应的数为 -30，B点对应的数为 100. （ 1） A、 B间的距离是 ；（ 2分） （ 2）若点 C也是数轴上的点， C到 B的距离是 C到原点 O的距离的 3倍 ，求 C对应的数； （ 3）若当电子 P从 B 点出发，以 6个
13、单位长度 /秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁 Q恰好从 A点出发，以 4 个单位长度 /秒的速度向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的 D点相遇，那么 D点对应的数是多少？（ 3分） （ 4）若电子蚂蚁 P 从 B 点出发，以 8 个单位长度 /秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁 Q 恰好从 A 点出，以 4 个单位长度 /秒向右运动 .设数轴上的点 N 到原点 O 的距离等于 P点到 O 的距离的一半，有两个结论 ON+AQ 的值不变； ON-AQ 的值不变 .请判断那个结论正确，并求出结论的值 . （ 3分） 【解析】 试 题分析： 1）根据两点间的距离公式即可求解；（ 2）设 C 对应
14、的数为 x，根据 C 到 B 的距离是 C到原点 O的距离的 3倍列出方程，解方程即可；（ 3）设从出发到相遇时经历时间为 t秒，根据相遇时两只电子蚂蚁运动的路程之差 =A、 B间的距离列出方程，解方程即可；（ 4）设运动时间为 t 秒，则 PO=100+8t， AQ=4t由数轴上的点 N 到原点 O 的距离等于 P 点到 O的距离的一半可知 ON= 12PO=50+4t，所以 ON-AQ=50+4t-4t=50，从而判断结论 正确 试题解析： （ 1）由 题意知： AB=130； （ 2）如果 C在原点右边，则 C点： 100 （ 3+1） 25；如果 C在原点左边，则 C点： -100（
15、3-1） =-50.故 C对应的数为 -50 或 25； （ 3）设从出发到相遇时经历时间为 t,则： 6t-4t=130,求得： t=65,654=260 ，则 260+30=290,所以 D点对应的数为 -290； （ 4） ON-AQ 的值不变 .设运动时间为 t 秒，则 PO=100+8t,AQ=4t.由 N 为 PO 的中点，得ON=21PO=50+4t,所以 ON-AQ=50+4t-4t=50. 从而判断结论 正确 A B -30 100 O 考点： 1.一元一次方程的应用； 2.数轴 . 7点 CBA 、 在数轴上表示的数 cba 、 满足 23 2 4 0bc ，且多项式3 2
16、 3 2 1ax y a x y x y 是五次四项式 （ 1） a 的值为 _ _， b 的值为 _ _， c 的值为 _ _； （ 2） 已知点 P 、点 Q 是数轴上的两个动点，点 P 从点 A 出发，以 3 个单位 /秒的速度向右运动，同时点 Q 从点 C 出发，以 7 个单位 /秒的速度向左运动 : 若点 P 和点 Q 经过 t 秒后在数轴上的点 D 处相遇，求出 t 的值和点 D 所表示的数； 若点 P 运动到点 B 处，动点 Q 再出发，则 P 运动几秒后这两点之间的距离为 5个单位？ 【解析】 试题分析：（ 1）由非负数的性质可得 b+3=0， c-24=0，由多项式为五次四项
17、式得 3 2 5a ，解得 a、 b和 c的值； （ 2）利用点 P、 Q所走的路程 =AC列出方程； 此题需要分类讨论：相遇前和相遇后两种情况下 PQ=5所需要的时间 试题解析：（ 1） 由题意得， b+3=0， c-24=0， 3 2 5a ， -a 0， 解得 b=-3， c=24， a=-6， 故答案是： -6； -2； 24； （ 2）依题意得 3t+7t=|-6-24|=30， 解得 t=3， 则 3t=9， 所以 -6+9=3， 所以出 t的值是 3和点 D所表示的数是 3； 设点 P运动 x秒后， P、 Q 两点间的距离是 5 当点 P在点 Q的左边时， 3x+5+7（ x-1
18、） =30， 解得 x=3 2 当点 P在点 Q的右边时， 3x-5+7（ x-1） =30， 解得 x=4 2 综上所述，当点 P运动 3 2秒或 4 2秒后，这两点之间的距离为 5个单位 考点：数轴；非负数的性质；动点问题 8.已知直线 l上有一点 O，点 A、 B同时从 O出发，在直线 l上 分别向左、向右作匀速运动，且 A、 B的速度比为 1： 2，设运动时间为 ts （ 1）当 t=2s时， AB=12cm此时， 在直线 l上画出 A、 B两点运动 2秒时的位置，并回答点 A运动的速度是 cm/s； 点B运动的速度是 cm/s 若点 P为直线 l上一点，且 PA PB=OP，求 的值
19、； （ 2）在（ 1）的条件下，若 A、 B同时按原速向左运动，再经过几秒， OA=2OB 【解析】 试题分析： （ 1） 设 A的速度为 xcm/s， B的速度为 2xcm/s，根据 2s相距的距离为 12 建立方程求出其解即可； 分情况讨论如图 2，如图 3，建立方程求出 OP的值就可以求出结论； （ 2）设 A、 B 同时按原速向左运动，再经过几 a 秒 OA=2OB，根据追击问题的数量关系建立方程求出其解即可 解：（ 1） 设 A的速度为 xcm/s， B的速度为 2xcm/s，由题意，得 2x+4x=12， 解得： x=2， B的速度为 4cm/s； 故答案为： 2， 4 如图 2，
20、当 P在 AB 之间时， PA OA=OP， PA PB=OP， PA OA=PA PB， OA=PB=4， OP=4 如图 3，当 P在 AB的右侧时， PA OA=OP， PA PB=OP， PA OA=PA PB， OA=PB=4， OP=12 答： = 或 1； （ 2）设 A、 B同时按原速向左运动，再经过几 a秒 OA=2OB，由题意，得 2a+4=2（ 8 4a）或 2a+4=2（ 4a 8） 解得： a= 或 答：再经过 或 秒时 OA=2OB 考点：一元一次方程的应用；两点间的距离 9.如图所示，点 C在线段 AB上， AC=8cm， CB=6cm，点 M、 N分别是 AC、
21、 BC的中点 （ 1）求线段 MN 的长 （ 2）若 C 为线段 AB 上任意一点，满足 AC+CB=acm， 其他条件不变，你能猜想出 MN 的长度吗？并说明理由 （ 3）若 C 在线段 AB 的延长线上，且满足 AC CB=bcm， M、 N 分别为 AC、 BC 的中点，你能猜想出 MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由 【解析】 试题分析： （ 1）根据线段中点的定义得到 MC= AC=4cm， NC= BC=3cm，然后利用 MN=MC+NC进行计算； （ 2）根据线段中点的定义得到 MC= AC， NC= BC，然后利用 MN=MC+NC得到 MN= acm； （ 3）
22、先画图，再根据线段中点的定义得 MC= AC， NC= BC，然后利用 MN=MC NC得到 MN= bcm 解：（ 1） 点 M、 N分别是 AC、 BC的中点， MC= AC= 8cm=4cm ， NC= BC= 6cm=3cm ， MN=MC+NC=4cm+3cm=7cm； （ 2） MN= acm理由如下： 点 M、 N分别是 AC、 BC的中点， MC= AC， NC= BC， MN=MC+NC= AC+ BC= AB= acm； （ 3）解：如图， 点 M、 N分别是 AC、 BC的中点， MC= AC， NC= BC， MN=MC NC= AC BC= （ AC BC） = bc
23、m 考 点：两点间的距离 10已知数轴上的点 A， B 对应的数分别是 x， y，且 |x+100|+（ y 200） 2=0，点 P 为数轴上从原点出发的一个动点，速度为 30单位长度 /秒 （ 1）求点 A， B 两点之间的距离； （ 2）若点 A向右运动，速度为 10 单位长度 /秒，点 B向左运动，速度为 20单位长度 /秒，点 A， B 和 P三点同时开始运动，点 P先向右运动，遇到点 B后立即掉后向左运动，遇到点A再立即掉头向右运动，如此往返，当 A， B两点相距 30个单位长度时，点 P立即停止运动，求此时点 P移动的路程为多少个单位长度？ （ 3）若点 A， B， P 三 个点
24、都向右运动，点 A， B 的速度分别为 10 单位长度 /秒， 20 单位长度 /秒，点 M、 N分别是 AP、 OB的中点，设运动的时间为 t（ 0 t 10），在运动过程中 的值不变； 的值不变，可以证明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值 【解析】 试题分析： （ 1）根据非负数的性质求出 x， y的值，利用两点间的距离公式即可求出点 A， B两点之间的距离； （ 2）设点 P运动时间为 x秒时， A， B两点相距 30 个单位长度分 A， B两点相遇前相距 30个单位长度与 A， B 两点相遇后相距 30 个单位长度两种情况分别列出方程，解方程求 出 x的值，再根据路程 =
25、速度 时间即可求解； （ 3）先求出运动 t秒后 A、 P、 B三点所表示的数为 100+10t， 30t， 200+20t，再利用利用中点的定义得出 N表示的数为 100+10t， M表示的数为 20t 50，进而求解即可 解：（ 1） A、 100 B、 200 AB=300 （ 2）设点 P运动时间为 x秒时， A， B两点相距 30个单位长度 由题意得 10x+20x=300 30， 10x+20x=300+30， 解得 x=9，或 x=11， 则此时点 P移动的路程为 309=270 ，或 3011=33 0 答： P走的路程为 270 或 330； （ 3）运动 t秒后 A、 P、
26、 B三点所表示的数为 100+10t， 30t， 200+20t， 0 t 10， PB=200 10t， OA=100 10t， PA=30t+100 10t=20t+100， OB=200+20t， N为 OB中点， M为 AP中点， N表示的数为 100+10t， M 表示的数为 20t 50， MN=150 10t， OA+PB=300 20t， =2，故 正确 考点：一元一次方程的应用；数轴 11（ 9 分） 已知数轴上有 A， B， C 三点， 分别表示数 24， 10， 10两只电子蚂蚁甲、乙分别从 A， C两点同时相向而行，甲的速度为 4 个单位 /秒，乙的速度为 6个单位 /
27、秒 （ 1） 若 甲、乙在数轴上 的点 D相遇，则点 D表示的数 ； （ 2）问多少秒后甲到 A， B， C三点的距离之和为 40 个单位？若此时甲调头 往回走 ，问甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由 （ 3） 若 甲、乙两只电子蚂蚁 （用 P表示甲蚂蚁、 Q 表示乙蚂蚁） 分别从 A， C 两点同时相向而行，甲的速度 变为原来的 3倍 ，乙的速度 不变， 直接写出 它们爬行多少秒后，在原 点 O、甲蚂蚁 P与乙蚂蚁 Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点 解得 x=3.4， 4 3.4=13.6， -24+13.6=-10.4 故甲、乙在数轴上的 -10.4相
28、遇，故答案为： -10.4； （ 2）设 y秒后甲到 A， B， C三点的距离之和为 40 个单位， B点距 A， C两点的距离为 14+20=34 40， A点距 B、 C两点的距离为 14+34=48 40， C点距A、 B的距离为 34+20=54 40，故甲应位于 AB或 BC之间 AB之间时： 4y+（ 14-4y） +（ 14-4y+20） =40 解得 y=2； BC之间时： 4y+（ 4y-14） +（ 34-4y） =40， 解得 y=5 甲从 A向右运动 2秒时返回，设 y秒后与乙相遇此时甲、乙表示在数轴上为同一点，所表示的数相同 甲表示的数为： -24+4 2-4y；乙表
29、示的数为： 10-6 2-6y， 依据题意得： -24+4 2-4y=10-6 2-6y， 解得： y=7， 相遇点表 示的数为： -24+4 2-4y=-44（或： 10-6 2-6y=-44）， 甲从 A向右运动 5秒时返回，设 y秒后与乙相遇 甲表示的数为： -24+4 5-4y；乙表示的数为： 10-6 5-6y， 依据题意得： -24+4 5-4y=10-6 5-6y， 解得： y=-8（不合题意舍去）， 即甲从 A向右运动 2秒时返回，能在数轴上与乙相遇，相遇点表示的数为 -44 （ 3）设 x秒后原点 O是甲蚂蚁 P与乙蚂蚁 Q两点的中点，则 24-12x=10-6x，解得 x=
30、 73； 设 x秒后乙蚂蚁 Q是甲蚂蚁 P与原点 O两点的中点，则 24-12x=2（ 6x-10），解得 x= 116； 设 x秒后甲蚂蚁 P是乙蚂蚁 Q与原点 O两点的中点，则 2（ 24-12x） =6x-10，解得 x= 2915； 综上所述， 73秒或 116秒或 2915秒后，原点 O、甲蚂蚁 P与乙蚂蚁 Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点 【解析】 试题分析：（ 1）可设 x秒后甲与乙相遇，根据甲与乙的路程差为 34，可列出方程求解即可；A 0 10 24 10 B C O （ 2）设 y秒后甲到 A， B， C三点的距离之和为 40个单位，分甲应位于 AB 或 BC 之间两种情况讨论，即可求解（ 3）分原点 O是甲蚂蚁 P与乙蚂蚁 Q两点的中点；乙蚂蚁 Q是甲蚂蚁 P与原点 O两点的中点；甲蚂蚁 P是乙蚂蚁 Q与原点 O两点的中点，三种情况讨论即可求解 考点：一元一次方程的应用；数轴 .
