1、2012 年考研（数学一）真题试卷及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 曲线 渐近线的条数为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）32 设函数 f(x)(e x1)(e 2x2)(e nxn)，其中 n 为正整数，则 f(0)( )（A）(1) n 1(n1)!（B） (1) n(n1)!（C） (1) n1 n!（D）(1) nn!3 如果函数 f(x，y)在(0， 0)处连续，那么下列命题正确的是 ( )（A） （B） （C） （D） 4 设 (k1，2，3)，则有( ) （A）I 1I 2 13（B） I3I
2、2I 1（C） I2I 3I 1（D）I 2I 1 I35 设 ，其中 c1，c 2，c 3，c 4 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )（A） 1， 2， 3（B） 1， 2， 4（C） 1， 3， 4（D） 2， 3， 46 设 A 为 3 阶矩阵，P 为 3 阶可逆矩阵，且 若P( 1， 2， 3)，Q( 1 2， 2， 3)，则 Q1 AQ( )（A） （B） （C） （D） 7 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且分别服从参数为 1 与参数为 4 的指数分布，则Pxy ( )（A）15（B） 13（C） 25（D）458 将长度为 1 m 的
3、木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为 ( )（A）1（B） 12（C） 12（D）1二、填空题9 若函数 f(x)满足方程 f (x)f(x) 2f(x) 0 及 f(x)f(x)2e x，则 f(x)_10 11 12 设(x，y，z)xyz1，x0，y0，z0，则 y2dx_13 设 X 为三维单位列向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵 EXX T 的秩为_14 设 A、B、C 是随机事件， A 与 C 互不相容，P(AB)12，P（C）13，则 P(ABC) _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 16 17 18 已知曲线 ，其中函数 f(t)具有连续导数，且 f(
4、0)0，f(t)0，(0t2)，若曲线 L 的切线与 x 轴的交点到切点的距离值恒为1，求函数 f(t)的表达式，并求此曲线 L 与 x 轴与 y 轴无边界的区域的面积19 已知 L 是第一象限中从点(0，0)沿圆周 x2y 2 2x 到点(2，0)，再沿圆周x2y 24 到点(0，2) 的曲线段，计算曲线积分20 已知 (1)计算行列式A (2)当实数 为何值时，方程组 Ax 有无穷多解，并求其通解21 已知 ，二次型 f(x1，x 2，x 3)x T(ATA)x 的秩为 2(1)求实数 a 的值；(2)求正交变换 xQy 将 f 化为标准形22 设二维离散型随机变量 X、Y 的概率分布为(
5、I)求 PX2Y ；()求Cov(XY，Y)与 XY23 设随机变量 X 与 Y 相互独立且分别服从正态分布 N(， 2)与 N(，2 2)，其中是未知参数且 0设 ZXY (1)求 x 的概率密度 fZ(z)； (2)设Z1，Z 2，Z n 为来自总体 z 的简单随机样本，求 2 的最大似然估计量 ； (3)证明 为 2 的无偏估计量2012 年考研（数学一）真题试卷答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C2 【正确答案】 A3 【正确答案】 B4 【正确答案】 D5 【正确答案】 C6 【正确答案】 B7 【正确答案】 A8 【正确答案】
6、 D二、填空题9 【正确答案】 齐次方程 f(x)f(x)2f(x)0 的特征方程为 r2r20，得特征根为 r11，r 22，则有通解 f(x)c 1exc 2e2x ，代人方程 f(x)f(x)2e x 得2c1exc 2e2x 2e x，则 c11，c 20因此 f(x) ex10 【正确答案】 根据题意，令 tx1，则本题用到奇函数在对称区间上积分值为零的结论11 【正确答案】 根据题意，令将点(2 ，1，1)代入，上式(1，1，1) 12 【正确答案】 其中 D 为 投影在xOy 平面上的区域，D(x，y)x0，y0，xy113 【正确答案】 根据题意设 X(1，0，0) T，14 【正确答案】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 20 【正确答案】 21 【正确答案】 22 【正确答案】 23 【正确答案】
