1、2016 年考研（数学一）真题试卷及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若反常积分 收敛，则_（A）a1（B） a1 且 b1（C）改 1（D）a1 且日 +b12 已知函数 则 f(1)的一个原函数_（A）（B）（C）（D）3 若 y=(1+x2)2 一 ， y=(1+x2)2+ 是微分方程 y+p(x)y=q(x)的两个解，则 q(x)=_.（A）3x(1 十 x2)（B）一 3x(1+x2)（C）（D）4 已知函数 ，则_（A）x=0 是 f(x)的第一类间断点（B） x=0 是 f(x)的第二类间断点（C） f(x)在 x=0 处连续但不可导（D
2、）f(x)在 x=0 处可导5 没 A，B 是可逆矩阵，且 A 与 B 相似则下列结论错误的是_（A）A T 与 BT 相似（B） A-1 与 B-1 相似（C） A+AT 与 B+BT 相似（D）A+A -1 与 B+B-1 相似6 设二次型 f(x1x2，x 3)= +4x1x2+4x1x3+4x2x3，则 f(x1，x 2，x 3)=2 在空间直角坐标下表示的二次曲面为_（A）单叶双曲面（B）双叶双曲面（C）椭球面（D）柱面7 设随机变量 XN(， 2)(0)，记 p=P X+2)，则_（A）p 随着 的增加而增加（B） p 随着 的增加而增加（C） p 随着， 的增加而减少（D）p 随
3、着 的增加而减少8 随机试验 E 有三种两两不相容的结果 A1，A 2A 3，且三种结果发生的概率均为将试验 E 独立重复做 2 次，X 表示 2 次试验中结果 A1 发生的次数，y 表示 2 次试验中结果 A2 发生的次数，则 X 与 y 的相关系数为_（A）（B）（C）（D）二、填空题9 _10 向量场 A(x，y，z)=(x+y+x)i+xyj+zk 的旋度 rotA_11 设函数 f(u，) 可微，z=z(x ，y)由方程(x+1)zy 2=x2f(xz，y)确定，则dz(0.1)=_ 12 设函数 f(x)=arctanx ，且 f(0)=1，则 a=_13 14 设 x1，x 2，
4、x n 为来自总体 N(， 2)的简单随机样本，样本均值 =95，参数 的置信度为 095 的双侧置信区间的置信上限为 108，则 的置信度为095 的双侧置信区间为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 已知平面区域 D=(r，) 2r2(1+cos) ，一 ，计算二重积分16 设函数 y(x)满足方程 +2 +ky=0，其中 0 y(x)dx 收敛；(II)若 y(0)=1， (0)=1，求 y(x)dx 的值17 设函数 f(x，y)满足 =(2x+1)e2xy ，且 f(0，y)=y+1 ， 是从点(0，0)到点(1，t)的光滑曲线计算曲线积分 I(t)= ，并求 I
5、(t)的最小值.18 设有界区域 由平面 2x+y+2z=2 与三个坐标平面围成，为 整个表面的外侧，计算曲面积分 I= (x2+1)dydz 一 2ydzd+3zdxdy19 已知函数 f(x)可导，且 f(0)=1，0f(x) 设数列 xn满足 xn+1=f(xn)(n=1，2，)证明：(I)级数 (xn+1 一 xn)绝对收敛；(II) 存在，且 0220 设矩阵 当 a 为何值时，方程AX=B 无解、有唯一解、有无穷多解? 在有解时，求解此方程21 已知矩阵 A= (I)求 A99；()设 3 阶矩阵 B=(a1，a 2，a 3)满足B2=BA记 B100(1， 2， 3)，将 1，
6、2， 3 分别表示为 a1，a 2，a 3 的线性组合22 设二维随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)0 2 )上服从均匀分布，令 U= (I)写出(X，y)的概率密度；()问 U 与 X 是否相互独立? 并说明理由；()求 Z=U+X 的分布函数 F(z)23 设总体 X 的概率密度为 其中 (0，+)为未知参数 X1，X 2，X 3 为来自总体 X 的简单随机样本，令 T=maxX1，X 2，X 3 ()求丁的概率密度； (II)确定 a，使得 a 丁为 的无偏估计2016 年考研（数学一）真题试卷答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】
7、 C2 【正确答案】 D3 【正确答案】 A4 【正确答案】 D5 【正确答案】 C6 【正确答案】 B7 【正确答案】 B8 【正确答案】 A二、填空题9 【正确答案】 10 【正确答案】 j+(y 一 1)k11 【正确答案】 一 dx+2dy12 【正确答案】 13 【正确答案】 4+3+22+3+414 【正确答案】 (82，108)三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 xdxdy=2 cosdr = (1+cos)3 一 1cosod = (3cos2+3cos3+cos4)d = +516 【正确答案】 () 微分方程 +2 +ky=0 的特征方程为
8、 2+2+k=0解得 1=一1+ ， 2=一 1 一 因为 012 与 收敛由于 12，所以 y(x)= ，其中 C1 与 C2 是任意常数综上可知，反常积分 y(x)dx收敛() 由 (I)知， 1217 【正确答案】 因为 =(2x+1)e2xy ，所以 f(x,y)= =(2x+1)e2xy dx =xe2xy +C(y) 将 f(0，y)=y+1 代入上式，得 C(y)=y+1 所以 f(x，y)=xe2xy +y+1 从而 I(t)= dy=f(1，t)f(0，0)=e 2t +t. I(t)=一 e2t +1令 I(t)=0 得 t=2 由于当 t2 时，I(t)0 ，I(t) 单
9、调增加，所以 I(2) =3 是I(t)在 (一，+)上的最小值18 【正确答案】 根据高斯公式得 I= (2x+1)dxdydz因为211= ， = x(1x )dy= (1x) 2dx= ， 所以 I=2 19 【正确答案】 (I)因为 xn+1=f(xn)，所以x n+1 一 xn= f(x n)一 f(xn1 )f()(xnx n-1)，其中 介于 xn 与 xn1 之间又 0f(x) ，所以x n+1 一xn x nx n1 x 2x 1由于级数 x 2x 1收敛，所以级数 (xn+1 一 xn)绝对收敛()设 (xn 一 xn)的前 n 项和为 Sn，则Sn=xn+1x 1由 ()
10、知， 存在，即 (xn+1 x1)存在，所以 存在设=c，由,x x+1=f(xn)及 f(x)连续，得 c=fc，即 c 是 g(x)=xf(x)的零点因为 g(0)=一 1， g(2)=2 一 f(2)=1 一f(2) 一 f(O)=12f()0，其中 (0，2)，且 g(x)=1 一f(x)0，所以 g(x)存在唯一零点，且零点位于区间(0，2)内于是 0c2，即 0220 【正确答案】 对矩阵(AB)施以初等行变换 当 a1且 a一 2 时，由于所以 AX=B 有唯一解，且 当 a=1 时，由于所以 AX=B 有无穷多解，且 ，其中 k1，k 2 为任意常数当 a=一 2 时，由于所以
11、 AX=B 无解21 【正确答案】 () 因为 所以 A的特征值为 1=一 1， 2=一 2， 3=0当 1=一 1 时，解方程组(一 E 一 A)x=0，得特征向量 1=(1，1，0) T；当 2=一 2 时，解方程组(一 2E 一 A)x=0，得特征向量2=(1，2，0) T；当 3=0 时，解方程组 Ax=0，得特征向量 3=(3，2，2) T所以()因为 B2=BA，所以B100=B98B2=B99A=97B2A=B98A2=BA99，即( 1， 2， 3)=(a1，a 2，a 3)所以22 【正确答案】 ()(X ， Y)的概率密度为 f(x，y)= ()对于 0由于 PU0，XtPU0)PXt，所以 U 与 X 不相互独立()当 ZY，Xz) = ；当 1z当 z2时，F(z)=PU+Xz)=1所以 F(z)=23 【正确答案】 解(I)总体 X 的分布函数为 从而 T 的分布函数为 所以 T 的概率密度为()E(T)= ，从而 E(aT)= 令 E(aT)=，得 a= 所以当 a= 时，aT 为 的无偏估计
