1、考研数学一真题 2016年及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若反常积分 （分数：4.00）A.a1 且 b1B.a1 且 b1C.a1 且 a+b1D.a1 且 a+b12.已知函数 ，则 f(x)的一个原函数是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.3.y=(1+x 2 ) 2 - ；y=(1+x 2 ) 2 + 是微分方程 y“+p(x)y=q(x)的两个解，则 q(x)=_ A3x(1+x 2 ) B-3x(1+x 2 ) C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.已知函数 （分数：4.00）A.x=0是
2、 f(x)的第一类间断点B.x=0是 f(x)的第二类间断点C.f(x)在 x=0处连续但不可导D.f(x)在 x=0处可导5.设 A，B 是可逆矩阵，且 A与 B相似，则下列结论错误的是_ A.AT与 BT相似 B.A-1与 B-1相似 C.A+AT与 B+BT相似 D.A+A-1与 B+BT相似（分数：4.00）A.B.C.D.6.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= （分数：4.00）A.单叶双曲面B.双叶双曲面C.椭球面D.柱面7.设随机变量 XN(， 2 )(0)，记 P=PX+ 2 ，则_（分数：4.00）A.p随着 的增加而增加B.p随着 的增加而增加C.p随着 的增加
3、而减小D.p随着 的增加而减小8.随机试验 E有三种两两不相容的结果 A 1 ，A 2 ，A 3 ，且三种结果发生的概率均为 将试验 E独立重复做 2次，X 表示 2次试验中结果 A 1 发生的次数，Y 表示 2次试验中结果 A 2 发生的次数，则 X与 Y的相关系数为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）10.向量场 A(x，y，x)=(x+y+z)i+xyj+zk 的旋度 rotA= 1 （分数：4.00）11.设函数 f(u，v)可微，z=z(x，y)由方程(x+1)z-y 2 =x 2 f(x-z，y)确
4、定，则 dz| (0，1) = 1 （分数：4.00）12.设函数 f(x)=arctanx- （分数：4.00）13. （分数：4.00）14.设 x 1 ，x 2 ，x n 为来自总体 N(， 2 )的简单随机样本，样本均值 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知平面区域 D=(r，)|2r2(1+cos， ，计算二重积分 （分数：10.00）_设函数 y(x)满足方程 y * +2y“+ky=0，其中 0k1（分数：10.00）(1).证明：反常积分 （分数：5.00）_(2).若 y(0)=1，y“(0)=1，求 （分数：5.00）_16.设函数 f(x
5、，y)满足 =(2x+1)e 2x-y ，且 f(0，y)=y+1，L t 是从点(0，0)到点(1，t)的光滑曲线，计算曲线积分 （分数：10.00）_17.设有界区域 由平面 2x+y+2z=2与三个坐标平面围成，为 整个表面的外侧，计算曲面积分 I= （分数：10.00）_18.已知函数 f(x)可导，且 f(0)=1，0f“(x) ，设数列x n 满足 x n+1 =f(x n )(n=1，2，)，证明： ()级数 绝对收敛； () 存在，且 （分数：10.00）_19.设矩阵 （分数：11.00）_已知矩阵 （分数：11.00）(1).求 A 99 （分数：5.50）_(2).设 3
6、阶矩阵 B=( 1 ， 2 ， 3 )满足 B 2 =BA记 B 100 =( 1 ， 2 ， 3 )，将 1 ， 2 ， 3 分别表示为 1 ， 2 ， 3 的线性组合（分数：5.50）_设二维随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)|0x1，x 2 y 上服从均匀分布，令 （分数：11.01）(1).写出(X，Y)的概率密度；（分数：3.67）_(2).U与 X是否相互独立?并说明理由；（分数：3.67）_(3).求 Z=U+X的分布函数 F(z)（分数：3.67）_设总体 X的概率密度为 （分数：11.00）(1).求 T的概率密度；（分数：5.50）_(2).确定 a，使得 aT为 的
7、无偏估计（分数：5.50）_考研数学一真题 2016年答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若反常积分 （分数：4.00）A.a1 且 b1B.a1 且 b1C.a1 且 a+b1 D.a1 且 a+b1解析：考点 反常积分 解析 由题可知： 因为 在 p1 时收敛，可知 a1，而此时(1+x) b 无影响 同理，等式右边第二项，可得 ， 在 p1 时收敛，可知 a+b1，此时 2.已知函数 ，则 f(x)的一个原函数是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 求分段函数的原函数 解析 由定理可知，原函数可导
8、，因此原函数必然连续，所以原函数在 x=1处连续，选项 A和选项 C被排除； 在 B选项中，可以验证 F“ + (1)=2，根据题意又可知，原函数满足 F“(1)=f(1)=0 故 B不符合，因此选 D3.y=(1+x 2 ) 2 - ；y=(1+x 2 ) 2 + 是微分方程 y“+p(x)y=q(x)的两个解，则 q(x)=_ A3x(1+x 2 ) B-3x(1+x 2 ) C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 微分方程 解析 由微分方程解的关系可知，y 1 -y 2 = 是一阶齐次微分方程 y“+p(x)y=0的解，代入得 ， 所以 ， 根据解的性质得， 4.已知函数
9、 （分数：4.00）A.x=0是 f(x)的第一类间断点B.x=0是 f(x)的第二类间断点C.f(x)在 x=0处连续但不可导D.f(x)在 x=0处可导 解析：考点 间断点 解析 根据题意易知： 5.设 A，B 是可逆矩阵，且 A与 B相似，则下列结论错误的是_ A.AT与 BT相似 B.A-1与 B-1相似 C.A+AT与 B+BT相似 D.A+A-1与 B+BT相似（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 矩阵相似 解析 由相似定义可知，A 与 B相似，存在可逆矩阵 P，使 P -1 AP=B，则 B T =(P -1 AP) T =P T A T (P -1 ) T =P T
10、A T (P T ) -1 =(P T ) -1 ) -1 A T (P T ) -1 ，所以 A正确B -1 =(P -1 AP) -1 =P -1 A -1 (P -1 ) -1 =P -1 A -1 P，所以 B正确B+B -1 =P -1 AP+P -1 A -1 P=P -1 (A+A -1 )P，所以 D正确 所以不正确的为 C选项，故选 C6.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= （分数：4.00）A.单叶双曲面B.双叶双曲面 C.椭球面D.柱面解析：考点 二次型 解析 根据题意易知，二次型矩阵 又根据|E-A|=0，可得其特征值为 1 =5， 2 = 3 =-1(一正
11、两负) 所以其正惯性指数和负惯性指数分别为 1，2 故二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )的规范形为 f=z 1 2 -z 2 2 -z 3 2 ，即 z 1 2 -z 2 2 -z 3 2 =2 移项得 7.设随机变量 XN(， 2 )(0)，记 P=PX+ 2 ，则_（分数：4.00）A.p随着 的增加而增加B.p随着 的增加而增加 C.p随着 的增加而减小D.p随着 的增加而减小解析：考点 概率论 解析 由题意可知： 8.随机试验 E有三种两两不相容的结果 A 1 ，A 2 ，A 3 ，且三种结果发生的概率均为 将试验 E独立重复做 2次，X 表示 2次试验中结果 A 1 发生的次
12、数，Y 表示 2次试验中结果 A 2 发生的次数，则 X与 Y的相关系数为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 相关系数 解析 由题意可知： 所以 E(X)=E(Y)= ，D(X)=D(Y)= ，E(XY)=11P(X=1，Y=1)= 所以 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）解析： 考点 求极限 解析 10.向量场 A(x，y，x)=(x+y+z)i+xyj+zk 的旋度 rotA= 1 （分数：4.00）解析：(0，1，y-1) 考点 旋度 解析 根据旋度公式易得 11.设函数 f(u，v)可微，z=z(x，y)由方程(x+1)z
13、-y 2 =x 2 f(x-z，y)确定，则 dz| (0，1) = 1 （分数：4.00）解析：-dx+2dy 考点 全微分 解析 根据题意：对(x+1)x-y 2 =x 2 f(x-z，y)两边分别关于 x，y 求导可得 z+(x+1)z x “=2xf(x-z，y)+x 2 f 1 “(x-z，y)(1-z x “) (x+1)z y “-2y=x 2 f 1 “(x-z，y)(-z y “)+f 2 “(x-z，y) 将 12.设函数 f(x)=arctanx- （分数：4.00）解析： 考点 导数 解析 根据题意并结合泰勒公式易得 所以 f (3) (0)=1， 13. （分数：4.
14、00）解析： 4 + 3 +2 2 +3+4 考点 求行列式 解析 根据题意并展开第一列有 14.设 x 1 ，x 2 ，x n 为来自总体 N(， 2 )的简单随机样本，样本均值 （分数：4.00）解析：(8.2，10.8) 考点 置信区间 解析 因为 ，且 ，所以 所以置信下限 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知平面区域 D=(r，)|2r2(1+cos， ，计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：根据题意，将原式放在极坐标系下进行计算，且积分区域关于 x轴对称，则有 设函数 y(x)满足方程 y * +2y“+ky=0，其中 0k1（分数：10.00）(
15、1).证明：反常积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：由题意可知：微分方程的特征方程为 r 2 +2r+k=0因 0k1，所以特征方程有两个不相同的特征值， 由二阶常系数齐次线性方程的解的关系可知，y(x)=C 1 e r1x +C 2 e r2x 又因为 r 1，2 0，所以 (2).若 y(0)=1，y“(0)=1，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：根据 y(x)=C 1 e r1x +C 2 e r2x ，y(0)=1，y“(0)=1 可知， 解得 C 1 =C 2 = ，代入 16.设函数 f(x，y)满足 =(2x+1)e 2x-y ，且 f(0，y)=y+1，L
16、t 是从点(0，0)到点(1，t)的光滑曲线，计算曲线积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：()由题意可知： ，两边关于 x积分可得 =e -y xe 2x +(y)=xe 2x-y +(y) 又因为 f(0，y)=y+1，故知 (y)=y+1 所以 f(x，y)=xe 2x-y +y+1， 又因为 ， 所以 I(t)= Lt (2x+1)e 2x-y dx+(1-xe 2x-y )dy 其中：P=(2x+1)e 2x-y ，Q=1-xe 2x-y 故有 因此，积分与路径无关 17.设有界区域 由平面 2x+y+2z=2与三个坐标平面围成，为 整个表面的外侧，计算曲面积分 I= （分
17、数：10.00）_正确答案：()解析：由题意已知： I= (x 2 +1)dydz-2ydzdx+3zdxdy 其中，P=x 2 +1，Q=-2y，R=3z 由高斯公式可得 18.已知函数 f(x)可导，且 f(0)=1，0f“(x) ，设数列x n 满足 x n+1 =f(x n )(n=1，2，)，证明： ()级数 绝对收敛； () 存在，且 （分数：10.00）_正确答案：()解析：证明：根据拉格朗日中值定理易知： |x n+1 -x n |=|f(x n )-f(x n-1 )|=|f“( n )|(x n -x n-1 )|，其中 n (x n ，x n-1 ) 因为 0f“(x)
18、，所以|x n+1 -x n | |x n -x n-1 | 由此可得 易知 收敛，所以 绝对收敛 因为 收敛，所以部分和数列 S n =x n+1 -x n +x n -x n-1 +x 2 -x 1 =x n+1 -x 1 收敛，即 存在，所以 存在 设 ，则 所以 a=f(a) 令 g(x)=f(x)-x，所以 g(0)=10， g(2)=f(2)-2=f(0)+f“()(2-0)-2f(0)+ (2-0)-20， 所以 g(x)在(0，2)上有一个根又 g“(x)=f“(x)-10，则 g(x)在(-，+)内唯一的根在(0，2)上 所以 0a1，即 0 19.设矩阵 （分数：11.00
19、）_正确答案：()解析：()根据线性方程组的解的关系可知，当|A|0 时，方程 AX=0有唯一解，故有|A|=(a-1)(a+2)，即当 a1 或 a-2 时，方程有唯一解，则增广矩阵有 令 ，所以方程组 Ax= 1 的解为 方程组 Ax= 2 的解为 所以 ()当 a=1时，方程 Ax=B有无穷多解 方程组 Ax= 1 的解为 已知矩阵 （分数：11.00）(1).求 A 99 （分数：5.50）_正确答案：()解析：根据题意并结合特征值的定义，有 所以 A的特征值为 1 =-1， 2 =-2， 3 =0 当 1 =-1时，解(-E-A)x=0由于 所以 A对应于 2 =-2的无关特征向量
20、特征向量 由 P -1 AP=A，易知 ，故 A=PP -1 ，所以 当 3 =0时，解(0E-A)x=0，即 Ax=0由于 所以 A对应于 3 =0的无关特征向量 (2).设 3阶矩阵 B=( 1 ， 2 ， 3 )满足 B 2 =BA记 B 100 =( 1 ， 2 ， 3 )，将 1 ， 2 ， 3 分别表示为 1 ， 2 ， 3 的线性组合（分数：5.50）_正确答案：()解析：由题意可知：B 2 =BA，所以 B 3 =BBA=B 2 A=BAA=BA 2 ，B 4 =B 2 A 2 =BAA 2 =BA 3 由此可得 B 100 =BA 99 ，所以有 ( 1 ， 2 ， 3 )=
21、( 1 ， 2 ， 3 )A 99 设二维随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)|0x1，x 2 y 上服从均匀分布，令 （分数：11.01）(1).写出(X，Y)的概率密度；（分数：3.67）_正确答案：()解析：D 的面积 ，则(X，Y)的概率密度为 (2).U与 X是否相互独立?并说明理由；（分数：3.67）_正确答案：()解析： 当 U=0时， (3).求 Z=U+X的分布函数 F(z)（分数：3.67）_正确答案：()解析：F(z)=PX+Uz=PU=1PX+Uz|U=1+PU=0PX+Uz|U=0= 其中， 故 设总体 X的概率密度为 （分数：11.00）(1).求 T的概率密度；（分数：5.50）_正确答案：()解析：T 的分布函数为 F T (x)=PTx=PX 1 x，X 2 x，X 3 x= PX i x)=F(x) 3 ， 则 T的概率密度为 (2).确定 a，使得 aT为 的无偏估计（分数：5.50）_正确答案：()解析：考点 随机变量的数字特征
