1、考研数学一真题 2015 年及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)在(-，+)内连续，其二阶导函数 f“(x)的图形如图所示，则曲线 y=f(x)的拐点的个数为_。 （分数：4.00）A.0B.1C.2D.32.设 （分数：4.00）A.a=-3，b=2，c=-1B.a=3，b=2，c=-1C.a=-3，b=2，C=1D.a=3，b=2，C=13.若级数 条件收敛，则 和 x=3 依次为幂级数 （分数：4.00）A.收敛点，收敛点B.收敛点，发散点C.发散点，收敛点D.发散点，发散点4.设 D 是第一象限由曲线 2x
2、y=1，4xy=1 与直线 y=x， 围成的平面区域，函数 f(x，y)在 D 上连续，则 =_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.5.设矩阵 ，若集合 =1，2，则线性方程组 Ax=b 有无穷多解的充分必要条件为_。 A B C （分数：4.00）A.B.C.D.6.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )在正交变换为 x=Py 下的标准形为 ，其中 P=(e 1 ，e 2 ，e 3 )，若 Q=(e 1 ，-e 3 ，e 2 )，则 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )在正交变换 x=Qy 下的标准形为_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.若 A，
3、B 为任意两个随机事件，则_。 AP(AB)P(A)P(B) BP(AB)P(A)P(B) C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X，Y 不相关，且 EX=2，EY=1，DX=3，则 EX(X+Y-2)=_。（分数：4.00）A.-3B.3C.-5D.5二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）10. （分数：4.00）11.若函数 z=z(x，y)由方程 e z +xyz+x+cosx=2 确定，则 dz| (0,1) = 1。 （分数：4.00）12.设 是由平面 x+y+z=1 与三个坐标平面所围成的空间区域，则 （分数：4.00）13.n 阶
4、行列式 （分数：4.00）14.设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(1，0；1，1；0)，则 PXY-Y0= 1。 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx，g(x)=kx 3 ，若 f(x)与 g(x)在 x0 时是等价无穷小，求 a，b，k的值。 （分数：10.00）_16.设函数 f(x)在定义域 I 上的导数大于零，若对任意的 x 0 I，曲线 y=f(x)在点(x 0 ，f(x 0 )处的切线与直线 x=x 0 及 x 轴所围成区域的面积恒为 4，f(0)=2，求 f(x)的表达式。 （分数：10.0
5、0）_17.已知函数 f(x，y)=x+y+xy，曲线 C：x 2 +y 2 +xy=3，求 f(x，y)在曲线 C 上的最大方向导数。 （分数：10.00）_(1).设函数 u(x)，v(x)可导，利用导数定义证明u(x)v(x)“=u“(x)v(x)+u(x)v“(x)；（分数：5.00）_(2).设函数 u 1 (x)，u 2 (x)，u n (x)可导，f(x)=u 1 (x)u 2 (x)u n (x)，写出 f(x)的求导公式。（分数：5.00）_18.已知曲线 L 的方程为 ，起点为 ，终点为 。计算曲线积分 （分数：10.00）_设向量组 1 ， 2 ， 3 是 R 3 内的一
6、个基， 1 =2 1 +2k 3 ， 2 =2 2 ， 3 = 1 +(k+1) 3 。（分数：11.00）(1).证明向量组 1 ， 2 ， 3 为 R 3 的一个基；（分数：5.50）_(2).当 k 为何值时，存在非 0 向量 在基 1 ， 2 ， 3 与基 1 ， 2 ， 3 下的坐标相同，并求所有的 。（分数：5.50）_设矩阵 相似于矩阵 （分数：11.00）(1).求 a，b 的值；（分数：5.50）_(2).求可逆矩阵 P，使 P -1 AP 为对角矩阵。（分数：5.50）_设随机变量 X 的概率密度为 （分数：11.00）(1).求 Y 的概率分布；（分数：5.50）_(2)
7、.求 EY。（分数：5.50）_设总体 X 的概率密度为： （分数：11.00）(1).求 的矩估计量；（分数：5.50）_(2).求 的最大似然估计量。（分数：5.50）_考研数学一真题 2015 年答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)在(-，+)内连续，其二阶导函数 f“(x)的图形如图所示，则曲线 y=f(x)的拐点的个数为_。 （分数：4.00）A.0B.1C.2 D.3解析：考点 拐点的判定。 解析 若曲线函数在拐点处有二阶导数，则在拐点处二阶导数异号(由正变负或由负变正)或不存在。因此，由 f“(x)由的
8、图形可得，曲线 y=f(x)存在两个拐点，故选 C 项。2.设 （分数：4.00）A.a=-3，b=2，c=-1 B.a=3，b=2，c=-1C.a=-3，b=2，C=1D.a=3，b=2，C=1解析：考点 二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题由已知解来确定微分方程的系数。 解析 由题意可知， 3.若级数 条件收敛，则 和 x=3 依次为幂级数 （分数：4.00）A.收敛点，收敛点B.收敛点，发散点 C.发散点，收敛点D.发散点，发散点解析：考点 幂级数的收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。 解析 已知 条件收敛，即 x=2 为幂级数 的条件收敛点，所以 的收敛半径为 1，收敛区间为(0，2)。
9、因幂级数与其导数的收敛区间相同，故 的收敛区间还是(0，2)，则 与 x=3依次为幂级数 4.设 D 是第一象限由曲线 2xy=1，4xy=1 与直线 y=x， 围成的平面区域，函数 f(x，y)在 D 上连续，则 =_。 A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 将二重积分化成极坐标系下的累次积分和极坐标变换。 解析 平面区域 D 的图形为图中阴影部分。 作极坐标变换，令 ，则该二重积分的积分区域变为 ，所以 5.设矩阵 ，若集合 =1，2，则线性方程组 Ax=b 有无穷多解的充分必要条件为_。 A B C （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 线性方程组 A
10、x=b 有无穷多解的充要条件。 解析 线性方程组 Ax=b 有无穷多解的充分必要条件为 r(A)=r(A，b)n。(A，b)= 6.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )在正交变换为 x=Py 下的标准形为 ，其中 P=(e 1 ，e 2 ，e 3 )，若 Q=(e 1 ，-e 3 ，e 2 )，则 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )在正交变换 x=Qy 下的标准形为_。 A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 二次型在正交变换下的标准型。 解析 由 x=Py，得 ，且 ， 则 7.若 A，B 为任意两个随机事件，则_。 AP(AB)P(A)P(B) BP(AB)
11、P(A)P(B) C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 随机事件概率的基本性质。 解析 由于 ，根据概率的基本性质，有 P(AB)P(A)且 P(AB)P(B)，从而 8.设随机变量 X，Y 不相关，且 EX=2，EY=1，DX=3，则 EX(X+Y-2)=_。（分数：4.00）A.-3B.3C.-5D.5 解析：考点 随机变量的均值与方差。 解析 随机变量 X，Y 不相关，因此 E(XY)=E(X)E(Y)。进而得：EX(X+Y-2)=E(X 2 +XY-2X)=E(X 2 )+E(XY)-2E(X)=D(X)+E 2 (X)+E(X)E(Y)-2E(X)=3+2 2 +2
12、1-22=5，故选 D 项。二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）解析： 考点 应用洛必达法则或等价替换求 型未定式极限。 解析 可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换。 方法一： 方法二： 10. （分数：4.00）解析： 考点 定积分的计算。 解析 用奇偶函数在对称区间上的性质化简： 11.若函数 z=z(x，y)由方程 e z +xyz+x+cosx=2 确定，则 dz| (0,1) = 1。 （分数：4.00）解析：-dx 考点 隐函数求导。 解析 令 F(x，y，z)=e z +xyz+x+cosx-2，则 F“ x (x，y，z)=yz+1-sinx
13、，F“ y (x，y，z)=xz，F“ z (x，y，z)=e z +xy，又当 x=0，y=1 时，e z =1，所以 z=0。 所以 12.设 是由平面 x+y+z=1 与三个坐标平面所围成的空间区域，则 （分数：4.00）解析： 考点 三重积分的计算。 解析 由轮换对称性，得 其中 D z 为平面 z=z 截空间区域 所得的截面，其面积为 13.n 阶行列式 （分数：4.00）解析：2 n+1 -2 考点 行列式的展开公式。 解析 将 n 阶行列式按第一行展开。 14.设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(1，0；1，1；0)，则 PXY-Y0= 1。 （分数：4.00）解析： 考点
14、 二维正态分布的性质。 解析 由题设知，XN(1，0)，YN(1，1)，并且 X，Y 相互独立，从而 PXYY0=P(X-1)Y0=PX-10，Y0+PX-10，Y0 =PX1，Y0+PX1，Y0 =P(X1)P(Y0)+P(X1)P(Y0)(X，Y 相互独立) 又 XN(1，0)，则 ，可得 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx，g(x)=kx 3 ，若 f(x)与 g(x)在 x0 时是等价无穷小，求 a，b，k的值。 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解：此题为 型极限，可用泰勒展开公式，也可直接用洛必达法则。 方法
15、一：因 f(x)与 g(x)在 x0 时是等价无穷小，则有 由于 ln(1+x)与 sinx 的泰勒展开式分别为 则 即 1+a=0， 16.设函数 f(x)在定义域 I 上的导数大于零，若对任意的 x 0 I，曲线 y=f(x)在点(x 0 ，f(x 0 )处的切线与直线 x=x 0 及 x 轴所围成区域的面积恒为 4，f(0)=2，求 f(x)的表达式。 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解：设 f(x)在点(x 0 ，f(x 0 )处的切线方程为：y-f(x 0 )=(x-x 0 )f“(x 0 )，令 y=0，得到 。故由题意，得 ，即 ，可以转化为一阶微分方程，即 ，可分离变
16、量得到通解为： 。已知 y(0)=2，得到 ，因此 ，即 17.已知函数 f(x，y)=x+y+xy，曲线 C：x 2 +y 2 +xy=3，求 f(x，y)在曲线 C 上的最大方向导数。 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解：f(x，y)沿着梯度方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模。 因为 f“ x (x，y)=1+y，f“ y (x，y)=1+x，故 gradf(x，y)=(1+y，1+x)， 模为 ，此题目转化为求函数 在约束条件 C：x 2 +y 2 +xy=3 下的最大值，即为条件极值问题。为了计算简单，可以转化为求 d(x，y)=(1+y) 2 +(1+x) 2 在约束条
17、件 C：x 2 +y 2 +xy=3 下的最大值。 构造函数：F(x，y，)=(1+y) 2 +(1+x) 2 +(x 2 +y 2 +xy-3)， 得到 M 1 1，1，M 2 -1，-1，M 3 2，-1，M 4 -1，2。 因此，dM 1 =8，dM 2 =0，dM 3 =9，dM 4 =9， 故 f(x，y)在曲线 C 上的最大方向导数为 (1).设函数 u(x)，v(x)可导，利用导数定义证明u(x)v(x)“=u“(x)v(x)+u(x)v“(x)；（分数：5.00）_正确答案：()解析：解： (2).设函数 u 1 (x)，u 2 (x)，u n (x)可导，f(x)=u 1 (
18、x)u 2 (x)u n (x)，写出 f(x)的求导公式。（分数：5.00）_正确答案：()解析：得 f“(x)=u 1 (x)u 2 (x)u n (x)“=u 1 (x)u 2 (x)u n (x)“+u“ 1 (x)u 2 (x)u n (x)= =u“ 1 (x)u 2 (x)u n (x)+u 1 (x)u“ 2 (x)u n (x)+u 1 (x)u 2 (x)u“ n (x)。18.已知曲线 L 的方程为 ，起点为 ，终点为 。计算曲线积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解：由题意，假设参数方程 则 设向量组 1 ， 2 ， 3 是 R 3 内的一个基， 1 =2
19、1 +2k 3 ， 2 =2 2 ， 3 = 1 +(k+1) 3 。（分数：11.00）(1).证明向量组 1 ， 2 ， 3 为 R 3 的一个基；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解：证明： 又 (2).当 k 为何值时，存在非 0 向量 在基 1 ， 2 ， 3 与基 1 ， 2 ， 3 下的坐标相同，并求所有的 。（分数：5.50）_正确答案：()解析：解：根据题意设 =k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 =k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 ，0 则 k 1 ( 1 - 1 )+k 2 ( 2 - 2 )+k 3 ( 3 - 3 )=0，k i 0，i=1，2，3，
20、k 1 (2 1 +2k 3 - 1 )+k 2 (2 2 - 2 )+k 3 ( 1 +(k+1) 3 - 3 )=0， k 1 ( 1 +2k 3 )+k 2 2 +k 3 ( 1 +k 3 )=0 (1) 则 1 +2k 3 ， 2 ， 1 +k 3 |=0， 即 设矩阵 相似于矩阵 （分数：11.00）(1).求 a，b 的值；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解： (2).求可逆矩阵 P，使 P -1 AP 为对角矩阵。（分数：5.50）_正确答案：()解析：解： C 的特征值为 1 = 2 =0， 3 =4。 =0 时(OE-C)x=0 的基础解系为 1 =(2，1，0) T
21、 ； 2 =(-3，0，1) T 。 =4 时(4E-C)x=0 的基础解系为 3 =(-1，-1，1) T 。 A 的特征值为 A =1+ C ，分别为 1，1，5。 设随机变量 X 的概率密度为 （分数：11.00）(1).求 Y 的概率分布；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解：记 p 为观测值大于 3 的概率，则 从而 (2).求 EY。（分数：5.50）_正确答案：()解析：解：由已知得 。 记 ，-1 则设总体 X 的概率密度为： （分数：11.00）(1).求 的矩估计量；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解：令 ，即 ，解得 ，其中 ， 故 的矩估计量为 (2).求 的最大似然估计量。（分数：5.50）_正确答案：()解析：解：似然函数 ， 当 x i 1 时， ，则 lnL()=-nln(1-) 从而 ，故 lnL()关于 单调增加， 所以
