1、考研数学三真题 2016年及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)在(-，+)内连续，其导函数的图形如下图所示，则_ （分数：4.00）A.函数 f(x)有 2个极值点，曲线 y=f(x)有 2个拐点B.函数 f(x)有 2个极值点，曲线 y=f(x)有 3个拐点C.函数 f(x)有 3个极值点，曲线 y=f(x)有 1个拐点D.函数 f(x)有 3个极值点，曲线 y=f(x)有 2个拐点2.已知函数 （分数：4.00）A.f“x-f“y=0B.f“x+f“y=0C.f“x-f“y=fD.f“x+f“y=f3.设 ，其
2、中 D 1 =(x，y)|0x1，0y1， （分数：4.00）A.J1J2J3B.J3J1J2C.J2J3J1D.J2J1J34.级数为 （分数：4.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与 k有关5.设 A，B 是可逆矩阵，且 A与 B相似，则下列结论错误的是_ A.AT与 BT相似 B.A-1与 B-1相似 C.A+AT与 B+BT相似 D.A+A-1与 B+B-1相似（分数：4.00）A.B.C.D.6.设二次型 （分数：4.00）A.a1B.a-2C.-2a1D.a=1或 a=-27.设 A，B 为两个随机变量，且 0P(A)1，0P(B)1，如果 P(A|B)=1，则_ A
3、 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X与 Y相互独立，且 XN(1，2)，YN(1，4)，则 D(XY)=_（分数：4.00）A.6B.8C.14D.15二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知函数 f(x)满足 ，则 （分数：4.00）10.极限 （分数：4.00）11.设函数 f(u，v)可微，z=z(x，y)由方程(x+1)z-y 2 =x 2 f(x-z，y)确定，则由| (0，1) = 1 （分数：4.00）12.设 D=(x，y)|x|y1，-1x1，则 （分数：4.00）13.行列式 （分数：4.00）14.设袋子中有红、白、黑球各一个，从中有放回地取球
4、，每次取一个，直到三种颜色的球都取到为止，则取球次数恰为 4的概率是 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_设某商品的最大需求量为 1200件，该商品的需求函数 Q=Q(p)，要求弹性 （分数：10.00）(1).求需求函数的表达式（分数：5.00）_(2).求 p=100万元时的边际收益，并说明其经济意义。（分数：5.00）_16.设函数 （分数：10.00）_17.设函数 f(x)连续 （分数：10.00）_18.求幂级数 （分数：10.00）_设矩阵 （分数：11.00）(1).求 的值；（分数：5.50）_(2).求方程组
5、A T Ax=A T 的通解（分数：5.50）_已知矩阵 （分数：11.00）(1).求 A 90 ；（分数：5.50）_(2).设 3阶矩阵 B=( 1 ， 2 ， 3 )，满足 B 2 =BA记 B 100 =( 1 ， 2 ， 3 )，将 1 ， 2 ， 3 分别表示为 1 ， 2 ， 3 的线性组合（分数：5.50）_设二维随机变量(X，Y)在区域 上服从均匀分布，令 （分数：11.01）(1).写出(X，Y)的概率密度；（分数：3.67）_(2).问 U与 X是否相互独立?说明理由；（分数：3.67）_(3).求 Z=U+X的分布函数 F(z)（分数：3.67）_设总体 X的概率密度
6、为 （分数：11.00）(1).求 T的概率密度；（分数：5.50）_(2).确定 a，使得 aT，为 的无偏估计（分数：5.50）_考研数学三真题 2016年答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)在(-，+)内连续，其导函数的图形如下图所示，则_ （分数：4.00）A.函数 f(x)有 2个极值点，曲线 y=f(x)有 2个拐点B.函数 f(x)有 2个极值点，曲线 y=f(x)有 3个拐点 C.函数 f(x)有 3个极值点，曲线 y=f(x)有 1个拐点D.函数 f(x)有 3个极值点，曲线 y=f(x)有 2个拐
7、点解析：考点 极值点和拐点 解析 根据图像，可导函数为零的点有 3个，但是最右边都恒大于 0，故不是极值点，所以极值点有 2个拐点是一阶导函数的极值点或者不可导点一阶导函数极值点有 2个，不可导点有 1个，因此拐点有3个故答案选 B2.已知函数 （分数：4.00）A.f“x-f“y=0B.f“x+f“y=0C.f“x-f“y=fD.f“x+f“y=f 解析：考点 多元函数偏导数 解析 由已知条件，有 所以 3.设 ，其中 D 1 =(x，y)|0x1，0y1， （分数：4.00）A.J1J2J3B.J3J1J2 C.J2J3J1D.J2J1J3解析：考点 重积分 解析 J 1 =0，J 2 0
8、，J 3 0；J 3 J 1 J 2 ，故选 B4.级数为 （分数：4.00）A.绝对收敛 B.条件收敛C.发散D.收敛性与 k有关解析：考点 级数敛散 解析 由于级数 5.设 A，B 是可逆矩阵，且 A与 B相似，则下列结论错误的是_ A.AT与 BT相似 B.A-1与 B-1相似 C.A+AT与 B+BT相似 D.A+A-1与 B+B-1相似（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 矩阵相似 解析 由相似定义可知，A 与 B相似，存在可逆矩阵 P，使 P -1 AP=B，则 B T =(P -1 AP) T =P T A T (P -1 ) T =P T A T (P T ) -1
9、=(P T ) -1 -1 A T (P T ) -1 ，所以 A正确； B -1 =(P -1 AP) -1 =P -1 A -1 (P -1 ) -1 =P -1 A -1 P，所以 B正确； B+B -1 =P -1 AP+P -1 A -1 P=P -1 (A+A -1 )P，所以 D正确 所以不正确的为 C，故选择答案 C6.设二次型 （分数：4.00）A.a1B.a-2C.-2a1 D.a=1或 a=-2解析：考点 二次型正惯性指数 解析 由题意已知，二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )对应的矩阵为 由 7.设 A，B 为两个随机变量，且 0P(A)1，0P(B)1，如果 P
10、(A|B)=1，则_ A （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 随机变量 解析 由题意可知： 8.设随机变量 X与 Y相互独立，且 XN(1，2)，YN(1，4)，则 D(XY)=_（分数：4.00）A.6B.8C.14 D.15解析：考点 随机变量及概率分布 解析 D(XY)=E(X 2 Y 2 )-E(XY) 2 ， E(XY)=E(X)E(Y)=1， E(X 2 Y 2 )=E(X 2 )E(Y 2 )=35=15，D(XY)=14二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知函数 f(x)满足 ，则 （分数：4.00）解析：6 考点 极限 解析 由等价无穷小替换得 故 1
11、0.极限 （分数：4.00）解析：sin1-cos1 考点 定积分的定义 解析 由题意可知： 又由定积分的定义得 根据定积分原理， 11.设函数 f(u，v)可微，z=z(x，y)由方程(x+1)z-y 2 =x 2 f(x-z，y)确定，则由| (0，1) = 1 （分数：4.00）解析：-dx+2dy 考点 全微分 解析 根据题意，对(x+1)x-y 2 =x 2 f(x-z，y)两边分别关于 x，y 求导可得 z+(x+1)z“ x =2xf(x-z，y)+x 2 f“ 1 (x-z，y)(1-z“ x ) (x+1)z“ y -2y=x 2 f“ 1 (x-z，y)(-z“ y )+f
12、“ 2 (x-z,y)， 将 12.设 D=(x，y)|x|y1，-1x1，则 （分数：4.00）解析： 考点 二重积分 解析 根据积分对称定理，得 13.行列式 （分数：4.00）解析：4+ 3 +2 2 +3+4 考点 求行列式 解析 根据题意并展开第一列有 14.设袋子中有红、白、黑球各一个，从中有放回地取球，每次取一个，直到三种颜色的球都取到为止，则取球次数恰为 4的概率是 1 （分数：4.00）解析： 考点 概率论 解析 要求前三次必须恰好取到两个不同颜色的球，第四次取到剩下一种 颜色的球 ，前三次恰好取到两种不同颜色的球的概率是 ，故最终概率 故所求概率为 三、解答题(总题数：9，
13、分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_正确答案：()解析：考点 求极限设某商品的最大需求量为 1200件，该商品的需求函数 Q=Q(p)，要求弹性 （分数：10.00）(1).求需求函数的表达式（分数：5.00）_正确答案：()解析：因需求弹性定义 ，而题设 ，故 即 ，得(2).求 p=100万元时的边际收益，并说明其经济意义。（分数：5.00）_正确答案：()解析：收益函数 R(p)=pQ=10p(120-P) 边际收益 R“(p)=1200-20p，当 p=100时，R“(100)=-800 其经济意义是当价格为 100万元时，再增加一个单位价格，收益将减少 800万元
14、考点 微分方程16.设函数 （分数：10.00）_正确答案：()解析： f(x)=4x 2 -2x=2x(2x-1)，且 ，从而 f(x)在 处取极小值且为最小值， 17.设函数 f(x)连续 （分数：10.00）_正确答案：()解析： 做变量替换，u=x-t，则 化简方程可得 两边同时求导后得 (1) 由于 f(x)连续，可知 可导，从而 f(x)也可导，对上式两边再次求导得出 f“(x)=f(x)+e -x ， 对于式(1)令 x=0可得,f(0)=-1 解微分方程可得 18.求幂级数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：易知 的收敛半径 R=1，且当 x=1与 x=-1时，级数收敛
15、，可知幂级数的收敛域为-1，1 令 ，两边同时求导得 再求导可得 积分可得 设矩阵 （分数：11.00）(1).求 的值；（分数：5.50）_正确答案：()解析：将增广矩阵进行初等行变换： 当 a=0时， (2).求方程组 A T Ax=A T 的通解（分数：5.50）_正确答案：()解析：当 a=0时， 已知矩阵 （分数：11.00）(1).求 A 90 ；（分数：5.50）_正确答案：()解析： 所以得 A的特征值为 1 =-1， 2 =-2， 3 =0其对应的特征向量分别是 1 =(1，1，0) T ， 2 =(1，2，0) T ， 3 =(3，2，2) T 令 有 P -1 AP=A易
16、知 (2).设 3阶矩阵 B=( 1 ， 2 ， 3 )，满足 B 2 =BA记 B 100 =( 1 ， 2 ， 3 )，将 1 ， 2 ， 3 分别表示为 1 ， 2 ， 3 的线性组合（分数：5.50）_正确答案：()解析： 依次类推得 B 100 =BA 99 ，所以有 设二维随机变量(X，Y)在区域 上服从均匀分布，令 （分数：11.01）(1).写出(X，Y)的概率密度；（分数：3.67）_正确答案：()解析：D 的面积 ，则(X，Y)的概率密度(2).问 U与 X是否相互独立?说明理由；（分数：3.67）_正确答案：()解析： 当 U=0时， (3).求 Z=U+X的分布函数 F(z)（分数：3.67）_正确答案：()解析： 其中 故 设总体 X的概率密度为 （分数：11.00）(1).求 T的概率密度；（分数：5.50）_正确答案：()解析：T 的分布函数为 则 T的概率密度为 (2).确定 a，使得 aT，为 的无偏估计（分数：5.50）_正确答案：()解析：，则 ，可知 考点 随机变量的数字特征
