1、2015 年考研（数学一）真题试卷及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)在( )内连续，其 2 阶导函数 的图形如右图所示，则曲线 yf(x)的拐点个数为 （A）0（B） 1（C） 2（D）32 设 y e2x(x )ex 是二阶常系数非齐次线性微分方程 byce x 的一个特解，则（A）a一 3，b=2 ，c一 1（B） a3，b=2，c 一 1（C） a3，b=2，C=1（D）a3， b=2，C13 若级数 an 条件收敛，则 x 与 x3 依次为幂级数 nan(x1) n 的（A）收敛点，收敛点（B）收敛点，发散点（C）发散点，收敛
2、点（D）发散点，发散点4 设 D 是第一象限中由曲线 2xy1，4xy1 与直线 yx，y 围成的平面区域，函数 f(x，y)在 D 上连续，则 f(x，y)dxdy（A） rdr（B） rdr（C） dr（D） dr5 设矩阵 A= b 若集合 1，2 ，则线性方程组 Ax=b 有无穷多解的充分必要条件为（A）（B）（C）（D）6 设二次型 f(x1，x 2，x 3)在正交变换 x=Py 下的标准形为 其中P=(e1，e 2，e 3)，若 Q=(e1，一 e3，e 2)，在正交变换 x=Qy 下的标准形为（A）（B）（C）（D）7 若 A，B 为任意两个随机事件，则（A）P(AB)P(A)P
3、(B)（B） P(AB)P(A)P(B)（C） P(AB)（D）P(AB)8 设随机变量 X，Y 不相关，且 EX=2，EY=1 ，DX=3，则 EX(X+Y 一 2)=（A）一 3（B） 3（C）一 5（D）5二、填空题9 10 11 若函数 z z(x，y) 由方程 ezxyzxcosx2 确定，则12 设 是由平面 x+y+z=1 与三个坐标平面所围成的空间区域，则13 n 阶行列式 14 设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(1，0；1，1；0)，则 PXYY三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设函数 f(x)=xaln(1 x)bxsinx,g(x)kx 3,
4、若 f(x)与 g(x)在 x0 时是等价无穷小,求 a,b,k,的值16 设函数 f(x)在定义域 I 上的导数大于零，若对任意的 曲线 y=f(x)在点(x0，f(x 0)处的切线与直线 x=x0 及 x 轴所围成区域的面积恒为 4，且 f(0)=2，求 f(x)的表达式17 已知函数 f(x，y)xyxy，曲线 C：x 2y 2xy=3，求 f(x，y) 在曲线 C 上的最大方向导数18 (I)设函数 u(x)，v(x)可导，利用导数定义证明 ()设函数 u1(x)，u 2(x)，u n(x)可导，f(x) u 1(x)u2(x)un(x),写出 f(x)的求导公式。19 已知曲线 L
5、的方程为 起点为 A(0， 0)，终点为 B(0， 0)，计算曲线积分，I L(y+z)dx(z 2 一 x2y)dy+x 2y2dz20 设向量组 1， 2， 3 为 R3 的一个基， 1=212k 3,22=22， 3 1(k+1) 3 (I)证明向量组 1， 2， 3 为 R3 的一个基； ( )当 k 为何值时，存在非零向量 在基 1， 2， 3 与基 1， 2， 3 下的坐标相同，并求所有的 21 设矩阵 A= 相似于矩阵 B= (I)求 a，b 的值； () 求可逆矩阵 P，使 P-1AP 为对角矩阵22 设随机变量 X 的概率密度为 对 X 进行独立重复的观测，直到第 2 个大于
6、 3 的观测值出现时停止，记 Y 为观测次数 (I)求 Y 的概率分布； ( )求 EY23 设总体 X 的概率密度为 其中 为未知参数X 1，X 2，X n 为来自该总体的简单随机样本 (I)求 的矩估计量； ()求 的最大似然估计量2015 年考研（数学一）真题试卷答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C2 【正确答案】 A3 【正确答案】 B4 【正确答案】 B5 【正确答案】 D6 【正确答案】 A7 【正确答案】 C8 【正确答案】 D二、填空题9 【正确答案】 10 【正确答案】 11 【正确答案】 一 dx12 【正确答案】 1
7、3 【正确答案】 2 n+1 一 214 【正确答案】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由于 ln(1x)x 0(x 3)， sinxx 一 0(x 3)， 所以 f(x)xaln(1x)+bxsinx xa(x )bx 20(x 3) (1a)x (b0(x 3) 因为 f(x)与 g(x)kx 3 在 x0 时等价，所以 解得 a-1 ，b ，k16 【正确答案】 曲线 yf(x)在点(x 0,f(x0)处的切线方程为 y该切线与 x 轴的交点为 根据题设条件可知 4， 即 y=f(x)满足方程 解得 y=因为 f(0)2，所以 c 故 f(x)17
8、【正确答案】 因为函数在每一点沿梯度方向的方向导数最大，且最大方向导数是该点梯度向量的长度，而 gradf(x，y)(1+y，1+x)，gradf(x，y)因此，问题转化为求 在条件x2y 2xy=3 下的最大值 令 F(x，y，)(1+x) 2(1y) 2(x 2y 2xy 一 3)，由 解得又 gradf(1，1) gradf(一 1，一 1) =0， gradf(2，一 1)gradf(一 1，2)3， 所以 f(x，y)在曲线 C 上的最大方向导数为 318 【正确答案】 (I)因为函数 u(x)，v(x)可导，所以 19 【正确答案】 设 L1 是从点 B 到点 A 的直线段，为平面
9、 zx 上由 L 与 L1 围成的半圆面下侧，其法向量的方向余弦为 由 Stokes 公式 (y+z)dx+(z2 一 x2y)dy+x 2y2dz (2x2y1)ds 由于曲面 关于 x0z 平面对称，所以 2x2yds0，故 (yz)dx(z 2x 2y)dyx 2y2dz ds 又 L1 的参数方程为x0，yy，z 0(y 从 到 )，所以 L1(yz)dx(z 2x 2y)dyx 2y2dzydy0 因此 I20 【正确答案】 (I)由于 ( 1， 2， 3)(2 12k 3，2 2， 1(k1) 3) （ 1， 2， 3)p， 其中 且P40，所以1， 2， 3 为 R3 的一个基
10、(II)设 在基 1， 2， 3 与基 1， 2， 3 下的坐标向量为 x，则 ( 1， 2， 3)x( 1， 2， 3)x( 1， 2， 3)Px， 所以 (PE)x=0 对 PE 施以初等行变换 PE 所以当k=0 时，方程组(P E)x=0 有非零解，且所有非零解为 xc ，c 为任意非零常数 故在两个基下坐标相同的所有非零向量为 ( 1， 2， 3)c( 1 3)，c 为任意非零常数21 【正确答案】 (I)由于矩阵 A 与矩阵 B 相似，所以 tr(A)tr(B)，AB， 于是 3+a 2+b ，2a-3b， 解得 a=4，b=5 ()由(I)知 A=B 由于矩阵 A 与矩阵 B 相
11、似，所以 E-AE B(1) 2( 一 5) 故 A 的特征值为 1 21， 35 当 1 21 时，解方程组(E 一 A)x=0，得线性无关的特征向量 1 ， 2当 35 时，解方程组(5E-A)x0，得特征向量 3 令P=(1， 2， 3)= 则 P -1AP= 故 P 为所求可逆矩阵22 【正确答案】 (I)每次观测中，观测值大于 3 的概率为 PX3 故 Y 的概率分布为 PYK(K 1) K2，3， () 23 【正确答案】 (I)由于总体 X 服从区间 ，1上的均匀分布，所以 EX= 令 其中 为样本均值，得 的矩估计量 (II)记x1，x 2，x n 为样本 X1，X 2，X n 的观测值，则似然函数为 由此可知，当=minx1，x 2，x n时，L() 达到最大，故 的最大似然估计量 minX 1，X 2，X n
