1、考研数学三真题 2015 年及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设x n 是数列，下列命题中不正确的是_。 A若 ，则 B若 ，则 C若 ，则 D若 ，则 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设函数 f(x)在(-，+)内连续，其二阶导函数 f“(x)的图形如图所示，则曲线 y=f(x)的拐点个数为_。 （分数：4.00）A.0B.1C.2D.33.设 D=(x，y)|x 2 +y 2 2x，x 2 +y 2 2y，函数 f(x，y)在 D 上连续，则 _。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.下列级数中发散的
2、是_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.5.设矩阵 ，若集合 =1，2，则线性方程组 Ax=b 有无穷多解的充分必要条件为_。 A B ，d Ca， （分数：4.00）A.B.C.D.6.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )在正交变换 x=Py 下的标准形为 ，其中 P=(e 1 ，e 2 ，e 3 )。若Q=(e 1 ，-e 3 ，e 2 )，则 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )在正交变换 x=Qy 下的标准形为_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.若 A，B 为任意两个随机事件，则_。 AP(AB)P(A)P(B) BP(AB)P(A)P(
3、B) C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设总体 XB(m，)，X 1 ，X 2 ，X n 为来自该总体的简单随机样本， 为样本均值，则 （分数：4.00）A.(m-1)n(1-)B.m(n-1)(1-)C.(m-1)(n-1)(1-)D.mn(1-)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）10.设函数 f(x)连续， （分数：4.00）11.若函数 z=z(x，y)由方程 e x+2y+3z +xyz=1 确定，则 dz| (0，0) = 1。 （分数：4.00）12.设函数 y=y(z)是微分方程 y“+y“-2y=0 的解，且在 x=0 处取得极值 3
4、，则 y(x)= 1。 （分数：4.00）13.设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2，-2，1，B=A 2 -A+E，其中 E 为 3 阶单位矩阵，则行列式|B|= 1。 （分数：4.00）14.设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(1，0；1，1；0)，则 PXY-Y0= 1。 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx，g(x)=kx 3 。若 f(x)与 g(x)在 x0 时是等价无穷小，求 a，b，k的值。 （分数：10.00）_16.计算二重积分 （分数：10.00）_为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品
5、确定其定价模型，设 Q 为该商品的需求量，P 为价格，MC 为边际成本， 为需求弹性(0)。（分数：10.00）(1).证明定价模型为 （分数：5.00）_(2).若该商品的成本函数为 C(Q)=1600+Q 2 ，需求函数为 Q=40-P，试由上小题中的定价模型确定此商品的价格。（分数：5.00）_17.设函数 f(x)在定义域上的导数大于零，若对任意 x 0 ，曲线 y=f(x)在点(x 0 ，f(x 0 )处的切线与直线 x=x 0 及 x 轴所围成区域的面积恒为 4，且 f(0)=2，求 f(x)表达式。 （分数：10.00）_(1).设函数 u(x)，v(x)可导，利用导数定义证明u
6、(x)v(x)“=u“(x)v(x)+u(x)v“(x)；（分数：5.00）_(2).设函数 u 1 (x)，u 2 (x)，u n (x)可导，f(x)=u 1 (x)u 2 (x)u n (x)，写出 f(x)的求导公式。（分数：5.00）_设矩阵 （分数：11.00）(1).求 a 的值；（分数：5.50）_(2).若矩阵 X 满足 X-XA 2 -AX+AXA 2 =E，其中 E 为 3 阶单位矩阵，求 X。（分数：5.50）_设矩阵 相似于矩阵 （分数：11.00）(1).求 a，b 的值；（分数：5.50）_(2).求可逆矩阵 P，使 P -1 AP 为对角矩阵。（分数：5.50）
7、_设随机变量 X 的概率密度为 （分数：11.00）(1).求 Y 的概率分布；（分数：5.50）_(2).求 EY。（分数：5.50）_设总体 X 的概率密度为 （分数：11.00）(1).求 的矩估计量；（分数：5.50）_(2).求 的最大似然估计量。（分数：5.50）_考研数学三真题 2015 年答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设x n 是数列，下列命题中不正确的是_。 A若 ，则 B若 ，则 C若 ，则 D若 ，则 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 数列极限与子列极限的关系。 解析 数列收敛，那么它的任何
8、无穷子列均收敛，所以 A 项与 C 项正确；一个数列存在多个无穷子列并集包含原数列所有项，且这些子列均收敛于同一个值，则原数列是收敛的，所以 B 项正确。因 D 项中两个无穷子列的并集未包含原数列所有项，所以 D 项错误，故选 D 项。2.设函数 f(x)在(-，+)内连续，其二阶导函数 f“(x)的图形如图所示，则曲线 y=f(x)的拐点个数为_。 （分数：4.00）A.0B.1C.2 D.3解析：考点 拐点的定义和判断。 解析 根据拐点的必要条件，拐点可能是 f“(x)不存在的点或 f“(x)=0 的点，所以 y=f(x)有三个点可能是拐点；根据拐点的定义，拐点为凹凸性改变的点，即二阶导函
9、数 f“(x)符号发生改变的点。所以从图中可知，拐点个数为 2，故选 C 项。3.设 D=(x，y)|x 2 +y 2 2x，x 2 +y 2 2y，函数 f(x，y)在 D 上连续，则 _。 A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 二重积分的转化与几何意义。 解析 根据下图可得，在极坐标系下该二重积分要分成两个积分区域： ， ，所以 ，故选 B 项。 4.下列级数中发散的是_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 级数的收敛与发散。 解析 A 项为正项级数，因为 ，所以根据正项级数的比值判别法可知 收敛；B 项为正项级数，因为 ，根据 P
10、级数收敛准则，知 收敛；C 项， ，根据莱布尼茨判别法知 收敛， 发散，所以根据级数收敛定义知， 发散；D 项为正项级数，因为 ， 所以根据正项级数的比值判别法知 5.设矩阵 ，若集合 =1，2，则线性方程组 Ax=b 有无穷多解的充分必要条件为_。 A B ，d Ca， （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 线性方程组有无穷多解的充要条件。 解析 由已知得 6.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )在正交变换 x=Py 下的标准形为 ，其中 P=(e 1 ，e 2 ，e 3 )。若Q=(e 1 ，-e 3 ，e 2 )，则 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )在正交变换 x=Q
11、y 下的标准形为_。 A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 二次型的正交变换和标准形式。 解析 由 x=Py，得 ，且 所以 7.若 A，B 为任意两个随机事件，则_。 AP(AB)P(A)P(B) BP(AB)P(A)P(B) C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 概率的基本性质。 解析 由于 AB A，AB B，根据概率的基本性质，有 P(AB)P(A)且 P(AB)P(B)，从而 8.设总体 XB(m，)，X 1 ，X 2 ，X n 为来自该总体的简单随机样本， 为样本均值，则 （分数：4.00）A.(m-1)n(1-)B.m(n-1)(1-)
12、 C.(m-1)(n-1)(1-)D.mn(1-)解析：考点 期望的计算。 解析 根据样本方差 的性质，得 E(S 2 )=D(X)，D(X)=m(1-)，从而， 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）解析： 考点 等价无穷小量和极限的计算。 解析 10.设函数 f(x)连续， （分数：4.00）解析：2 考点 变限积分求导。 解析 因为 f(x)连续，所以 (x)可导，且 ；因为 (1)=1，所以 ，又因为 “(1)=5，所以 11.若函数 z=z(x，y)由方程 e x+2y+3z +xyz=1 确定，则 dz| (0，0) = 1。 （分数：4.00）解析：
13、考点 全微分的计算。 解析 对方程 e x+2y+3z +xyz=1 两边求偏导， 得 及 。 当 x=0，y=0 时，z=0， 将(0，0，0)代入，得到 ， 12.设函数 y=y(z)是微分方程 y“+y“-2y=0 的解，且在 x=0 处取得极值 3，则 y(x)= 1。 （分数：4.00）解析：y(x)=e -2x +2e x 考点 齐次微分方程的通解和特解。 解析 y“+y“-2y=0 的特征方程为 2 +-2=0，所以特征根为 1 =-2， 2 =1，所以该齐次微分方程的通解为 y(x)=C 1 e -2x +C 2 e x ，因为 y(x)可导，所以 x=0 为驻点，即 y(0)
14、=3，y“(0)=0，代入得 C 1 =1，C 2 =2，故 y(x)=e -2x +2e x 。13.设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2，-2，1，B=A 2 -A+E，其中 E 为 3 阶单位矩阵，则行列式|B|= 1。 （分数：4.00）解析：21 考点 行列式与特征值的关系及特征值的计算。 解析 由 A 的特征值为 2，-2，1，且 B=A 2 -A+E，得 B 的所有特征值为 3，7，1，所以|B|=371=21。14.设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(1，0；1，1；0)，则 PXY-Y0= 1。 （分数：4.00）解析： 考点 联合分布的概率计算。 解析 由题可知 XN(
15、1，0)，YN(1，1)，并且 X，Y 相互独立，从而 PXY-Y0=P(X-1)Y0=P(X-1)0，Y0+PX-10，Y0 =PX1，Y0+PX1，Y0 =P(X1)P(Y0)+P(X1)P(Y0)(X，Y 相互独立) 又 XN(1，0)，则 ，可得 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx，g(x)=kx 3 。若 f(x)与 g(x)在 x0 时是等价无穷小，求 a，b，k的值。 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解：方法一： 因为 ， 。 那么 ， 可得： 所以 方法二： 由题得 ， 由分母 ，得分子 ，求得 a=-
16、1， 于是 由分母 ，得分子 求得 ； 进一步，将 b 值代入原式 求得 16.计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解：由已知得 为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设 Q 为该商品的需求量，P 为价格，MC 为边际成本， 为需求弹性(0)。（分数：10.00）(1).证明定价模型为 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：由于利润函数 L(Q)=R(Q)-C(Q)=PQ-C(Q)，两边对 Q 求导，得 ， 当且仅 时，利润 L(Q)最大，又由于 ，所以 ，故 (2).若该商品的成本函数为 C(Q)=1600+Q 2 ，需求函数为 Q=40-P，试由上
17、小题中的定价模型确定此商品的价格。（分数：5.00）_正确答案：()解析：解：由于 MC=C“(Q)=2Q=2(40-P)，则 ，代入上小题中的定价模型，得17.设函数 f(x)在定义域上的导数大于零，若对任意 x 0 ，曲线 y=f(x)在点(x 0 ，f(x 0 )处的切线与直线 x=x 0 及 x 轴所围成区域的面积恒为 4，且 f(0)=2，求 f(x)表达式。 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解：曲线的切线方程为 y-f(x 0 )=f“(x 0 )(x-x 0 )，切线与 x 轴的交点为 ，故由切线、直线 x=x 0 及 x 轴所围成区域的面积为： =4，故 f(x)满足
18、的方程为 f 2 (x)=8f“(x)，此为可分离变量的微方程，即 ， 积分得 ，又由于 f(0)=2，带入可得 C=-4，从而 (1).设函数 u(x)，v(x)可导，利用导数定义证明u(x)v(x)“=u“(x)v(x)+u(x)v“(x)；（分数：5.00）_正确答案：()解析：解：(2).设函数 u 1 (x)，u 2 (x)，u n (x)可导，f(x)=u 1 (x)u 2 (x)u n (x)，写出 f(x)的求导公式。（分数：5.00）_正确答案：()解析：解：由题意得 f“(x)=u 1 (x)u 2 (x)u n (x)“ =u 1 “(x)u 2 (x)u n (x)+u
19、 1 (x)u 2 (x)u n (x)“ =u 1 “(x)u 2 (x)u n (x)+u 1 (x)u 2 (x)u 3 (x)u n (x)“ =u 1 “(x)u 2 (x)u n (x)+u 1 (x)u 2 “(x)u n (x)+u 1 (x)u 2 (x)u n “(x)。设矩阵 （分数：11.00）(1).求 a 的值；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解：(2).若矩阵 X 满足 X-XA 2 -AX+AXA 2 =E，其中 E 为 3 阶单位矩阵，求 X。（分数：5.50）_正确答案：()解析：解：由题意知 X-XA 2 -AX+AXA 2 =E X(E-A 2
20、)-AX(E-A 2 )=E (E-A)X(E-A 2 )=E X=(E-A) -1 (E-A 2 ) -1 ， 故 设矩阵 相似于矩阵 （分数：11.00）(1).求 a，b 的值；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解：AB tr(A)=tr(B) 3+a=1+b+1 (2).求可逆矩阵 P，使 P -1 AP 为对角矩阵。（分数：5.50）_正确答案：()解析：解： C 的特征值为 1 = 2 =0， 3 =4。 =0 时，(0E-C)x=0 的基础解系为 1 =(2，1，0) T ， 2 =(-3，0，1) T ； =4 时，(4E-C)x=0 的基础解系为 3 =(-1，-1，1
21、) T ， A 的特征值 A =1+ C ，分别为 1，1，5。 令 设随机变量 X 的概率密度为 （分数：11.00）(1).求 Y 的概率分布；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解：记 p 为观测值大于 3 的概率，则 ，从而 PY=n(2).求 EY。（分数：5.50）_正确答案：()解析：解：方法一：将随机变量 Y 分解成 Y=M+N 两个过程，其中 M 表示从 1 到 n(nk)次试验观测值大于3 首次发生，N 表示从 n+1 次到 k 试验观测值大于 3 的首次发生。 则 MGe(n，p)，NGe(k-n，p) 所以 。 方法二： ， 设级数 ， 设总体 X 的概率密度为 （分数：11.00）(1).求 的矩估计量；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解： ， 令 ，解得 为 的矩估计量，其中 (2).求 的最大似然估计量。（分数：5.50）_正确答案：()解析：解：似然函数 ， 当 x1 时， ，则 lnL()=-nln(1-)， 从而
