1、2017 年考研（数学三）真题试卷及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.若函数 f(x)= （分数：2.00）A.ab=12B.ab=-C.ab=0D.ab=23.二元函数 z=xy(3-x-y)的极值点是( )（分数：2.00）A.(0，0)B.(0，3)C.(3，0)D.(1，1)4.设函数 f(x)可导，且 f(x)f“(x)0，则( )（分数：2.00）A.f(1)f(-1)B.f(1)f(-1)C.|f(1)|f(-1)|D.|f(1)|f
2、(-1)|5.若函数 （分数：2.00）A.1B.2C.-1D.-26.设 为 n 维单位向量，E 为 n 阶单位矩阵，则( )（分数：2.00）A.E- T 不可逆B.E+ T 不可逆C.E+2 T 不可逆D.E-2 T 不可逆7.已知矩阵 A= （分数：2.00）A.A 与 C 相似，B 与 C 相似B.A 与 C 相似，B 与 C 不相似C.A 与 C 不相似，B 与 C 相似D.A 与 C 不相似，B 与 C 不相似8.设 A，B，C 为三个随机事件，且 A 与 C 相互独立，B 与 C 相互独立，则 AB 与 C 相互独立的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.A 与 B 相互独
3、立B.A 与 B 互不相容C.AB 与 C 相互独立D.AB 与 C 互不相容9.设 X 1 ，X 2 ，X n (n2)为来自总体 N(，1)的简单随机样本，记 （分数：2.00）A.B.2(X n -x 1 ) 2 服从 2 分布C.D.n( 二、填空题(总题数：7，分数：14.00)10.二、填空题（分数：2.00）_11. - (sin 3 x+ （分数：2.00）填空项 1:_12.差分方程 y t+1 -2y t =2 t 通解为 y t = 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设生产某产品的平均成本 （分数：2.00）填空项 1:_14.设函数 f(x，y)具有一阶连续偏导数
4、，且 （分数：2.00）填空项 1:_15.设矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_16.设随机变量 X 的概率分布为 PX=-2=12，P=X=1=a，PX=3=b，若 EX=0，则 DX= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：28.00)17.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_18. （分数：2.00）_19.计算积分 dxdy，其中 D 是第一象限中以曲线 y= （分数：2.00）_20. （分数：2.00）_21.已知方程 （分数：2.00）_设 a 0 =1，a 1 =0，a n+1 = (na n +a n-1 )(n=1，2，
5、3)，S(x)为幂级数 （分数：4.00）(1).证明 （分数：2.00）_(2).证明(1-x)S“(x)-xS(x)=0(x(-1，1)，并求 S(x)表达式（分数：2.00）_设 3 阶矩阵 A=( 1 ， 2 ， 3 )有 3 个不同的特征值，且 3 = 1 +2 2（分数：4.00）(1).证明 r(A)=2；（分数：2.00）_(2).若 = 1 + 2 + 3 ，求方程组 AX= 的通解（分数：2.00）_22.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 2 -x 2 2 +ax 3 2 +2x 1 x 2 -8x 1 x 3 +2x 2 x 3 在正交变换x=Qy
6、下的标准型为 1 y 1 2 + 2 y 2 2 ，求 a 的值及一个正交矩阵 Q（分数：2.00）_设随机变量 X，Y 相互独立，且 X 的概率分布为 P(X=0)=P(X=2)=12，Y 的概率密度为 f(y)= （分数：4.00）(1).求 P(YEY)；（分数：2.00）_(2).求 Z=X+Y 的概率密度（分数：2.00）_某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做 n 次测量，该物体的质量 是已知的，设n 次测量的结果 X 1 ，X n 相互独立且服从正态分布 N(， 2 )，该工程师记录的是 n 次测量的绝对误差 Z i =|X i -|(i=1，2，n)，利用 Z
7、1 ，Z n 估计 （分数：6.00）(1).求 Z i 的概率密度；（分数：2.00）_(2).利用一阶矩求 的矩估计量；（分数：2.00）_(3).求 的最大似然估计量（分数：2.00）_2017 年考研（数学三）真题试卷答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.若函数 f(x)= （分数：2.00）A.ab=12 B.ab=-C.ab=0D.ab=2解析：解析： =12a，f(x)在 x=0 处连续，12a=b3.二元函数 z=xy(3-x-y
8、)的极值点是( )（分数：2.00）A.(0，0)B.(0，3)C.(3，0)D.(1，1) 解析：解析： 4.设函数 f(x)可导，且 f(x)f“(x)0，则( )（分数：2.00）A.f(1)f(-1)B.f(1)f(-1)C.|f(1)|f(-1)| D.|f(1)|f(-1)|解析：解析：举特例，设 f(x)=e x ，可排除 BD；设 f(x)=-e x ，可排除 A，故选 C5.若函数 （分数：2.00）A.1B.2C.-1 D.-2解析：解析： 因为原级数收敛，所以 1+k=06.设 为 n 维单位向量，E 为 n 阶单位矩阵，则( )（分数：2.00）A.E- T 不可逆 B
9、.E+ T 不可逆C.E+2 T 不可逆D.E-2 T 不可逆解析：解析：选项 A，由(E- T )=-=0 得(E- T )x=0 有非零解，故|E- T |=0 即 E- T 不可逆，选项 B，由 r( T )=1 得 T 的特征值为 n-1 个 0，1 故 E- T 的特征值为 n-1个 1，2，故可逆7.已知矩阵 A= （分数：2.00）A.A 与 C 相似，B 与 C 相似B.A 与 C 相似，B 与 C 不相似 C.A 与 C 不相似，B 与 C 相似D.A 与 C 不相似，B 与 C 不相似解析：解析：由(E-A)=0 可知 A 的特征值为 2，2，1 因为 2E-A= 得 r(
10、2E-A)=1，A 可相似对角化。且 A 由|E-B|=0 可知 B 特征值为 2，2，1 因为 2E-B=8.设 A，B，C 为三个随机事件，且 A 与 C 相互独立，B 与 C 相互独立，则 AB 与 C 相互独立的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.A 与 B 相互独立B.A 与 B 互不相容C.AB 与 C 相互独立 D.AB 与 C 互不相容解析：解析：由题设知，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)，由 AB 与 C 相互独立知，P(AB)C=P(AB)P(C)=P(AC)+P(BC)-P(ABC) 而 P(AB)C =P(ACBC) =P(AC)+P(B
11、C)-P(ABC)9.设 X 1 ，X 2 ，X n (n2)为来自总体 N(，1)的简单随机样本，记 （分数：2.00）A.B.2(X n -x 1 ) 2 服从 2 分布 C.D.n( 解析：二、填空题(总题数：7，分数：14.00)10.二、填空题（分数：2.00）_解析：11. - (sin 3 x+ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 3 2）解析：解析： - (sin 3 x+ )dx=2 0 ( 2 0 2 costcostdt=2 2 0 2 cos 2 tdt=2 2 2 12.差分方程 y t+1 -2y t =2 t 通解为 y t = 1（分数：2
12、.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： t =C2 t + ）解析：解析：由 y t+1 -2y 1 =2 t =2， =C2 t 设 y 1 * =C 1 t2 1 ，则 y 1+1 * =C 1 (t+1)2 i+1 =2 t 13.设生产某产品的平均成本 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1+(1-Q)e -Q）解析：解析：C= Q=Q(1+e -Q ) 14.设函数 f(x，y)具有一阶连续偏导数，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：xye y）解析：解析：f“k=ye y ，f“ y =x(1+y)e y ，f(x，y)=ye y
13、 dx=xye y +c(y)，故 f“ y =xe y +xye y +c“(y)=xe y +xye y ，故 c“(y)=0，由 f(0，0)=0，即 f(x，y)=xye y 15.设矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：由 a 1 ，a 2 ，a 3 ，线性无关，可知矩阵 a 1 ，a 2 ，a 3 ，可逆，故 r(Aa 1 ，Aa 2 ，Aa 3 )=r(A(a 1 ，a 2 ，a 3 )=r(A)再由 r(A)=2 得 r(Aa 1 ，Aa 2 ，Aa 3 )=216.设随机变量 X 的概率分布为 PX=-2=12，P=X=1=a，P
14、X=3=b，若 EX=0，则 DX= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：92）解析：解析：由归一性得 +a+b=1，再由 EX=0 得-1+a+3b=0 故 a=b=14，故 EX 2 =(-2) 2 三、解答题(总题数：10，分数：28.00)17.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：18. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： dt，令 x-t=u，则有 )解析：19.计算积分 dxdy，其中 D 是第一象限中以曲线 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： = 0 1
15、lnx(1+x)dx= 0 1 ln(1+x)dx 2 = (ln(1+x)x 2 | 0 1 - 0 1 )解析：21.已知方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)= -k x(0，1) f(1)= -1-k 由题意可知( -k)0 2ln2k 2 -(2-ln2)k+(1-ln2)0 即 )解析：设 a 0 =1，a 1 =0，a n+1 = (na n +a n-1 )(n=1，2，3)，S(x)为幂级数 （分数：4.00）(1).证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 a n+1 = (na n +a n-1 ) a n+1 -a n =- (a n-1
16、 -a n-2 ) a n =a n+1 + 由 )解析：(2).证明(1-x)S“(x)-xS(x)=0(x(-1，1)，并求 S(x)表达式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：S“(x)= (1-x)S“(x)=(1-x) na n x n-1 = na n x n-1 = na n x n = (n+1)a n+1 x n - na n x n = (n+1)a n+1 -na n x n +a 1 x xS(x)= a n+1 x n ，所以 (1-x)S“(x)-xS(x)= (n+1)a n+1 -na n -a n-1 x n +a 1 x 由 a n+1 = (na n
17、+a n-1 )可知(n+1)a n+1 -na n -a n-1 =0，由 a 1 =0，所以(1-x)S“(x)-xS(x)=0 解微分方程得 S(x)= ，由 S(0)=a n =1 )解析：设 3 阶矩阵 A=( 1 ， 2 ， 3 )有 3 个不同的特征值，且 3 = 1 +2 2（分数：4.00）(1).证明 r(A)=2；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 3 = 1 +2 2 可得 1 +2 2 - 3 =0，即 1 ， 2 ， 3 线性相关，因此，|A|=| 1 2 3 |=0，即 A 的特征值必有 0 又因为 A 有三个不同的特征值，则三个特征值中只有 1 个 0
18、，另外两个非 0 且由于 A 必可相似对角化，则可设其对角矩阵为 )解析：(2).若 = 1 + 2 + 3 ，求方程组 AX= 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 r(A)=2，知 3-r(A)=1，即 AX=0 的基础解系只有 1 个解向量， 由 1 +2 2 - 3 =0 可得( 1 ， 2 ， 3 ) =0，则 Ax=0 的基础解系为 又 = 1 + 2 + 3 ，即( 1 ， 2 ， 3 ) =，则 AX= 的一个特解为 综上，AX= 的通解为 k )解析：22.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 2 -x 2 2 +ax 3 2 +2x 1 x
19、2 -8x 1 x 3 +2x 2 x 3 在正交变换x=Qy 下的标准型为 1 y 1 2 + 2 y 2 2 ，求 a 的值及一个正交矩阵 Q（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX，其中 A= 由于 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX 经正交变换后，得到的标准形为 1 y 1 2 + 2 y 2 2 ， 故 r(A)=2 a=2， 将 a=2 代入，满足 r(A)=2，因此 a=2 符合题意，此时 A= ，则 |E-A|= 1 =-3， 2 =0， 3 =6， 由(-3E-A)x=0，可得 A 的属于特征值-3 的特征向量为
20、 1 = 由(6E-A)x=0，可得 4 的属于特征值 6 的特征向量为 2 = 由(0E-A)x=0，可得 A 的属于特征值 0 的特征向量为 3 = 令 P=( 1 ， 2 ， 3 )，则 P -1 AP= ，由于 1 ， 2 ， 3 彼此正交，故只需单位化即可： 1 = (1，-1，1) T ， 2 = (-1，0，1) T ， 3 = (1，2，1) T ， 则 Q=( 1 2 3 )= ，Q T AQ= )解析：设随机变量 X，Y 相互独立，且 X 的概率分布为 P(X=0)=P(X=2)=12，Y 的概率密度为 f(y)= （分数：4.00）(1).求 P(YEY)；（分数：2.0
21、0）_正确答案：(正确答案：E(Y)= 0 1 y2ydy=23 P(YEY)=P(Y23)= 0 23 2ydy=49)解析：(2).求 Z=X+Y 的概率密度（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Fz(Z)=P(Zz)=P(X+Yz) =P(X+Yz，X=0)+P(X+Yz，X=2) =P(Yz，X=0)+P(Yz-2，X=2) = P(Yz-2) (1)当 z0，z-20，而 z0，则 F x (Z)=0 (2)当 z-21，z1，即 z3 时，F z (Z)=1 (3)当 0z1 时，F z (Z)= z 2 (4)当 1x2 时，F z (Z)=12 (5)当 0z1 时，F z
22、 (Z)= (z-2) 2 所以综上 所以，F z (Z)=F z (Z)= )解析：某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做 n 次测量，该物体的质量 是已知的，设n 次测量的结果 X 1 ，X n 相互独立且服从正态分布 N(， 2 )，该工程师记录的是 n 次测量的绝对误差 Z i =|X i -|(i=1，2，n)，利用 Z 1 ，Z n 估计 （分数：6.00）(1).求 Z i 的概率密度；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F zi (z)=P(Z i z)=P(|X i -|z) 当 z0，F zi (z)=0 当 z0，F Zi (z)=P(-zX i -
23、z)=P(-zX i +z)=P-z z=2(z)-1， f Zi (z)=F Zi (z)= 综上 )解析：(2).利用一阶矩求 的矩估计量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E(Z i )= 0 + z dz 2 令 E(Z i )= |X i -| 由此可得 的矩估计量 )解析：(3).求 的最大似然估计量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对于总体 X 的 n 个样本 X 1 ，X 2 ，X n ，则相交的绝对误差的样本 Z 1 ，Z 2 ，Z n ，Z i =|X i -|，i=1，2，n，令其样本值为 Z 1 ，Z 2 ，Z n ，Z i =|X i -|，则对应的似然函数 lnL()=nln Z i 2 令 i=1 n Z i 2 所以 )解析：
