1、2015 年考研（数学二）真题试卷及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列反常积分中收敛的（A） dx（B） dx（C） dx（D） dx2 函数 f(x) 在( 一，+)内（A）连续（B）有可去间断点（C）有跳跃间断点（D）有无穷间断点3 设函数 f(x) (0，0)若 (x)在 x0 处连续，则（A） 一 1（B） 02（D）0 一 24 设函数 f(x)在 内连续，其 2 阶导函数 (x)的图形如右图所示，则曲线 yf(x)的拐点个数为 （A）0（B） 1（C） 2（D）35 设函数 f(u， v)满足 f(x y， )x 2 一 y2，则 与
2、依次是（A） ，0（B） 0， （C） ，0（D）0， 6 设 D 是第一象限中由曲线 2xy=1，4xy=1 与直线 yx，y 围成的平面区域，函数 f(x，y)在 D 上连续，则 f(x，y)dxdy（A） (rcos，rsin)rdr（B） (rcos，rsin)rdr（C） (rcos，rsin)dr（D） (rcos，rsin)dr7 设矩阵 A b 若集合 1，2，则线性方程组 Axb 有无穷多解的充分必要条件为8 设二次型 f(x1，x 2，x 3)在正交变换 xPy 下的标准形为 其中P(e 1， e2，e 3) 若 Q(e 1，一 e3，e 2)，则 f(x1，x 2，x 3
3、)在正交变换 x=Qy 下的标准形为二、填空题9 设10 函数 f(x)=x22x 在 x0 处的 n 阶导数 f(n)(0)_ 11 设函数 f(x)连续，(x) xf(t)dt若 (1)=1， (1)=5，则 f(1)_12 设函数 y=y(x)是微分方程 一 2y=0 的解，且在 x0 处 y(x)取得极值 3，则 y(x)_ 13 若函数 z=z(x，y)由方程 ex2y3z xyz=1 确定，则 dz (n)(0，0)= _14 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2，一 2，1，B=A 2 一 AE ，其中 E 为 3 阶单位矩阵，则行列式B_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演
4、算步骤。15 设函数 f(x)xaln(1x)bxsinx，g(x)=kx 3若 f(x)与 g(x)在 x0 时是等价无穷小，求 a， b，k 的值16 设 A0，D 是由曲线段 y=Asinx(0x )及直线 y0，x 所围成的平面区域，V 1，V 2 分别表示 D 绕 x 轴与绕 y 轴旋转所成旋转体的体积，若 V1V 2，求A 的值17 已知函数 f(x，y)满足 35(x，y)2(y+1)e x， 36(x，0)(x 1) e x，f(0，y)y 22y，求 f(x，y)的极值18 计算二重积分 x(xy)dxdy，其中 D(x，y)x 2y 22，yx 2)19 已知函数 f(x)
5、 求 f(x)零点的个数20 已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比现将一初始温度为 120的物体在 20恒温介质中冷却，30min 后该物体温度降至 30，若要将该物体的温度继续降至 21，还需冷却多长时间?21 已知函数 f(x)在区间a，)上具有 2 阶导数，f(a)0， (x)0， (x)0，设 ba ，曲线 yf(x)在点(b，f(b) 处的切线与 x 轴的交点是(x 0，0)，证明ax 0b22 设矩阵 A 且 A30(I)求 a 的值； ()若矩阵 X 满足 XXA2一 AXAXA 2E，其中 E 为 3 阶单位矩阵，求 X23
6、 设矩阵 A 相似于矩阵 B (I) 求 a，b 的值； (II)求可逆矩阵 P，使 P1 AP 为对角矩阵2015 年考研（数学二）真题试卷答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D2 【正确答案】 B3 【正确答案】 A4 【正确答案】 C5 【正确答案】 D6 【正确答案】 B7 【正确答案】 D8 【正确答案】 A二、填空题9 【正确答案】 4810 【正确答案】 n(n 一 1)(ln2)n211 【正确答案】 212 【正确答案】 2e xe 2x13 【正确答案】 dx dy14 【正确答案】 21三、解答题解答应写出文字说明、证
7、明过程或演算步骤。15 【正确答案】 因为 b(sinxxcosx)=1a， (x) 3kx20， 所以当 1a0 时， 与题设矛盾 故 1+a0，即 a一 1 又 b(2cosx 一 xsinx)a+2b1+2b， 6kx0， 由题设，同理可知 12b0，即 b 由于 且1，所以 1，即 k16 【正确答案】 V 1 A2sin2xdxA 2 由 A0，可得 V 22 x.Asinxdx 2A xdcosx 2A(xcosx cosxdx 2A 因为 V1V 2，即 2A，所以 A17 【正确答案】 由 2(y1)e x，得 (y+1) 2ex(x) 因为 (x，0)(x 1)ex，所以 e
8、x(x)(x1)e x 得 (x)xe x，从而 (y1) 2exxe x 对x 积分得 f(x， y)=(y+1)2ex(x 一 1)ex(y)， 因为 f(0，y)y 22y，所以 (y)0，从而 f(x，y)(xy 22y)e x 于是 (2y2)e x， (xy 22y2)ex， 2e x 令 0， 0，得驻点(0，一 1)，所以 A= (0，一 1)=1，B (0，一 1)0，C (0，一 1)=2 由于 ACB20，A 0，所以极小值为 f(0，一 1)118 【正确答案】 因为区域 D 关于 y 轴对称，所以 xydxdy0 x(xy)dxdy x2dxdy 2 x2dy 2 一
9、 x2)dx 2dx 一 2 x4dx 令 x sint，则 dx4sin2tcos2tdt (1cos4t)dt 又 x4dx ，所以 19 【正确答案】 令 (x)0，得驻点x 当 x 时， (x)0，f(x) 单调减少；当 x 时， (x)0，f(x)单调增加 因为 f(1)0，所以 f(x)在( ，)存在唯一零点 又 f f(1)0， f(x)，所以 f(x)在( 一， )存在唯一零点 综上可知，f(x)有且仅有 2 个零点20 【正确答案】 设该物体在 t 时刻的温度为 T(t)()由题意得 k(T 一 20)，其中 k 为比例系数，k0 解得 T=Cekt 20 将初始条件 T（0
10、）120 代入上式，接得 C100 故 T100e kt 20 将 t30,T30 代入上式得 k 所以T100 20令 T21，t60 因此要降至 21，还需 603030(min)21 【正确答案】 曲线 yf(x)在点(b ，f(b) 处的切线方程是 yf(b) (b)(x 一 b)，解得切线与 x 轴交点的横坐标 x 0b 由于 (x)0，故 f(x)单调增加，由ba 可知 f(b)f (a)=0 又 (b)0，故 0 即有 x0b x 0ab由拉格朗日中值定理得 f(b)f(b)f(a) ()(ba)，a b 因为 (x)0，所以 (x)单调增加，从而 () (b)，故 f(b)(b
11、 a) (b) 由此可知 x0a0，即 x0a 综上，ax 0b22 【正确答案】 (I)由于 A30，所以 于是a0 (II)由于 XXA 2 一 AXAXA 2E， 所以 (EA)X(EA 2)=E 由(I)知 EA EA 2 因为 EA ，E A 2 均可逆，所以 X(EA) 1 (EA2)1 23 【正确答案】 (I)由于矩阵 A 与矩阵 B 相似，所以 tr(A)tr(B)，AB， 于是 3a2b，2a3b， 解得 a4，b5 ()由(I) 知 A 由于矩阵 A 与矩阵 B 相似，所以 E A E B ( 一 1)2( 一 5) 故 A 的特征值为 1 21， 35 当 1 21 时，解方程组( E A)x0，得线性无关的特征向量 1 ， 2 当 35 时，解方程组(5E A)x0，得特征向量 3 令 P( 1， 2， 3)，则 P 1 AP 故 P 为所求可逆矩阵
