1、2015 年考研（数学三）真题试卷及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设x n是数列下列命题中不正确的是（A）若 xna ，则 x2n x2n1 a （B）若 x2n x2n1 a，则 xna（C）若 xna，则 x3n x3n1 a（D）若 x3n x3n1 a，则 xna 2 设函数 f(x)在( )内连续，其 2 阶导函数 (x)的图形如右图 所示，则曲线 yf(x)的拐点个数为 （A）0（B） 1（C） 2（D）33 设 D(x，y)x 2y 22x，x 2y 22y，函数 f(x，y)在 D 上连续，则 f(x，y)dxdy（A） f(rco
2、s,rsin)rdr，十 f(rcos，rsin)rdr（B） f(rcos，rsin)rdr f(rcos，rsin)rdr（C） 2 f(x，y)dy（D）2 f(x，y)dy4 下列级数中发散的是5 设矩阵 A ，b 若集合 1，2则线性方程组 Axb有无穷多解的充分必要条件为（A）a ，d （B） a ，d（C） a，d （D）a，d6 设二次型 f(x1，x 2，x 3)在正交变换 x=Py 下的标准形为 2 ，其中P(e 1， e2，e 3)若 Q(e 1，一 e3，e 2)，则 f(x1，x 2，x 3)在正交变换 xQy 下的标准形为7 若 A，B 为任意两个随机事件，则（A）
3、P(AB)P(A)P(B) （B） P(AB)P(A)P(B)（C） P(AB)（D）P(AB)8 设总体 XB(m，)，X 1，X 2，X n 为来自该总体的简单随机样本， 为样本均值，则 E （A）(m 一 1)n(1一 )（B） m(n 一 1)( 1 一 )（C） (m1)(n 一 1)(1)（D）mn(1 一 )二、填空题9 10 设函数 f(x)连续，(x) xf(t)dt若 (1)1 ， (1)5，则 f(1)_11 若函数 z z(x ，y) 由方程 ex2y3z xyz1 确定，则 dz (0，0) _12 设函数 yy(x) 是微分方程 2y0 的解，且在 x0 处 y(x
4、)取得极值 3，则 y(x) _ 13 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2，一 2，1BA 2AE，其中 E 为 3 阶单位矩阵则行列式B_14 设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(1，0；1，1；0)，则 PXYY0_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设函数 f(x)xaln(1 十 x)bxsinx.g(x)kx 3若 f(x)与 g(x)在 x0 时是等价无穷小，求 a， b，k 的值16 计算二重积分 (xy)dxdy，其中 D(x，y)x 2y 22，yx 2)17 为了实现利润最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型设 Q 为该商品的需求量，p 为价格，M
5、C 为边际成本， 为需求弹性(0) (I)证明定价模型为 P() 若该商品的成本函数为 C(Q)1600Q 2，需求函数为 Q40 一 P，试由(I)中的定价模型确定此商品的价格18 设函数 f(x)在定义域 I 上的导数大于零若对任意的 x0I，曲线 yf(x)在点(x0，f(x 0)处的切线与直线 xx 0 及 x 轴所围成区域的面积恒为 4且 f(0)2，求f(x)的表达式19 (I)设函数 u(x)，v(x)可导，利用导数定义证明 ()设函数 u1(x)，u 2(x)，u n(x)可导，f(x) u 1(x)u2(x)un(x)，写出 f(x)的求导公式20 设矩阵 A 且 A30 (
6、I)求 a 的值； ()若矩阵 X 满足 XXA2一 AXAXA 2E，其中 E 为 3 阶单位矩阵，求 X21 设矩阵 A 相似于矩阵 B (I) 求 a，b 的值； ()求可逆矩阵 P，使 P1 AP 为对角矩阵22 设随机变量 X 的概率密度为 对 X 进行独立重复的观测直到第 2 个大于 3 的观测值出现时停止，记 Y 为观测次数 (I)求 y 的概率分布； ( )求 EY23 设总体 X 的概率密度为 其中 为未知参数，X1，X 2，X n 为来自该总体的简单随机样本 (I)求 的矩估计量； ()求 的最大似然估计量2015 年考研（数学三）真题试卷答案与解析一、选择题下列每题给出的
7、四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D2 【正确答案】 C3 【正确答案】 B4 【正确答案】 C5 【正确答案】 D6 【正确答案】 A7 【正确答案】 C8 【正确答案】 B二、填空题9 【正确答案】 10 【正确答案】 211 【正确答案】 dx dy12 【正确答案】 2e xe 2x13 【正确答案】 2114 【正确答案】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 因为 (x) 1 b(sinxxcosx)1a (x) 3kx20所以当 1+a0时， 与题设矛盾 故 1a 0，即 a一 1 又 (x) 十b(2cosxxsinx)一
8、a2b一 12b， (x) 6kx0，由题设，同理可知 1+2b0，即 b 由于 且1，所以 1，即 k16 【正确答案】 因为区域 D 关于 y 轴对称，所以 xydxdy0 令 x sint，则 dx 4sin2tcos2tdt (1cos4t)dt 又 所以 x(xy)dxdy17 【正确答案】 (I)由收益 RPQ，得边际收益 MR pQ欲使利润最大应有 MRMC，即 p(1 一 )MC， 所以定价模型为 p ()由题设知 MC2Q. 由(I)有p 解得 p30 所以此商品的价格为 P3018 【正确答案】 曲线 yf(x)在点(x 0，f(x 0)处的切线方程为 yf(x 0) (x
9、0)(xx 0)， 该切线与 x 轴的交点为(x 0 一 ，0) 根据题设条件可知4，即 yf(x)满足方程 解得 y因为 f(0)2，所以 C 故 f(x) ，xI19 【正确答案】 解 (I)因为函数 u(x)，v(x)可导，所以 从而20 【正确答案】 解 (I)由于 A30，所以 于是 a0 () 由于 XXA 2AXAXA 2E 所以 (EA)X(EA 2)E 由(I)知 因为 EA ，EA 2 均可逆，所以 X(E A) 1 (EA 2)1 21 【正确答案】 (I)由于矩阵 A 与矩阵 B 相似，所以 tr(A)tr(B) ，AB 于是 3a2 b，2a 3 b， 解得 a4，b
10、5 () 由(I)知由于矩阵 A 与矩阵 B 相似，所以 E A EB (1) 2(5) 故 A 的特征值为 1 21， 35当1 21 时，由方程组(EA)x 0，得线性无关的特征向量 1 2当 35 时，由方程组(5EA)x0，得特征向量 3 令P( 1， 2， 3) 则 P 1 AP 故 P 为所求可逆矩阵22 【正确答案】 () 每次观测中，观测值大于 3 的概率为 Px3 f(x)dx2x ln2dx 故 Y 的概率分布为 PYk(k1)k2，3，.() 23 【正确答案】 (I)由于总体 X 服从区间0 ，1上的均匀分布，所以 EX 令 其中 为样本均值，得 的矩估计量 (II)记x1，x 2，x n 为样本 X1，X 2，X n 的观测值，则似然函数为 由此可知，当 minx 1，x 2，x n时，L()达到最大，故 的最大似然估计量 minX 1，X 2，X n
