1、经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷 10 及答案与解析单项选择题1 设对任意的 x，总有 (x)f(x)g(x)，且 img(x)(x)=0 ，则 f(x)( )（A）存在且为零（B）存在但不一定为零（C）一定不存在（D）不一定存在2 （A）14（B） 12（C） 12（D）143 设 f(x3)=2x 2+x+2，则 f(x)x 2=( )（A）1（B） 2（C） 3（D）44 （A）0（B） 1（C） 23（D）35 设 f(x)= f(x)存在，则( )（A）a=b=1（B） a=b=e（C） a=0，b=e（D）a 任意， b=e6 设 f(x)= 且 f(x)在点
2、x=0 处连续，则( )（A）a=5 3 ，b=23（B） a=52，b=32（C） a=e23 +1，b=e 23（D）a=e 32 1，b=e 327 设函数 f(x)= ，则( )（A）x=2 为 f(x)的第一类间断点，x=2 为 f(x)的第二类间断点（B） x=2 为 f(x)的第二类间断点， x=2 为 f(x)的第一类间断点（C） x=2 与 x=2 都为 f(x)的第一类间断点（D）x=2 与 x=2 都为 f(x)的第二类间断点8 已知函数 f(x)在点 x=0 处可导，则 =( )（A）12f(0)（B） f(0)（C） 2f(0)（D）4f(0)9 设函数 f(x)在点
3、 x=0 处连续，且 =0，则( )（A）f(0)=0，f(0)=0（B） f(0)=0， f(0)=1（C） f(0)=1， f(0)=0（D）f(0)=1，f(0)=110 设函数 f(x)可导，y=f(x 3)当自变量 x 在 x=1 处取得增量 x=01 时，相应的函数增量y 的线性主部为 03，则 f(1)=( )（A）1（B） 01（C） 1（D）0311 设 f(x0)=f“(x0)=0，f“(x 0)0，则下列选项正确的是 ( )（A）f(x 0)是 f(x)的极大值（B） f(x0)是 f(x)的极大值（C） f(x0)是 f(x)的极小值（D）(x 0，f(x 0)是曲线
4、y=f(x)的拐点12 若函数 f(x)=(x1)(x2)(x 3)(x4)，则 f(x)的零点的个数为( )（A）4（B） 3（C） 2（D）113 设 y=x3 cosx，则 y|x=( )（A）3（B） 3（C） 32（D）3 214 曲线 sin(xy)+ln(yx)=x 在点(0，1)处的切线方程是( )（A）y=x+1（B） y=x+1（C） y=2x+1（D）y=3x+1计算题15 求极限 lnf(1)f(2)f(n)，其中 f(x)=5x16 17 18 设 f(x)=ansinxa n(a0，x0) ，讨论 f(x)是否存在?若存在，求出极限19 确定变量 y= 在什么过程下
5、为无穷大量20 设 f(x)= 讨论 f(x)在点 x=0 处的连续性21 设 f(x)= 求其间断点，并判别其类型22 设 y=ln ，求 y23 设 y= ，求 dy24 设 f(x)=x3+3x22x+1，求曲线 y=f(x)在点(0，1)处的切线方程与法线方程25 26 求极限 ，其中 n 是给定的自然数27 设点(1，3) 为曲线 y=ax3+bx2+x 的拐点，求常数 a，b 的值28 当 a 为何值时，方程 x33x+a=0 仅有两个相异的实根29 某糖果 f 生产的奶油糖每袋售价 54 元，如果每周销售量为 Q(千袋)时，每周成本 C=2400+4000Q+100Q2(元)设价
6、格不变，求： (1)每周可以获利的销售量范围；(2)每周销售多少袋时，可获得最大利润经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷 10 答案与解析单项选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 注意题设条件与夹逼准则不同，夹逼准则中条件为当|x|M 时：(1)(x)f(x)g(x)；(2) (x)都存在!)而本题条件为 g(x)(x)=0 并不能保证 (x)都存在例如 g(x)= 符合本题条件，但 f(x)不存在而取 g(x)= 也符合本题条件，有 f(x)=0，故选 D【知识模块】 微积分2 【正确答案】 D【试题解析】 故选D【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 设 t
7、=x3，则 x=t+3，由题设可得 f(t)=2(t+3)2+(t+3)+2=2t2+13t+23，即 f(x)=2x2+13x+23则 故选B【知识模块】 微积分4 【正确答案】 D【试题解析】 当 x时， 为无穷小量，因此故选 D【知识模块】 微积分5 【正确答案】 D【试题解析】 点 x=0 为 f(x)的分段点，在分段点两侧函数表达式不同，应利用左极限与右极限判定 (1+x)1x =e当 b=e 时， f(x)存在，且 f(x)=e由于极限值与函数在该点有无定义无关，因此 a 可以取任意值故选 D【知识模块】 微积分6 【正确答案】 D【试题解析】 由于在点 x=0 两侧 f(x)表达
8、式不同，应分左极限、右极限来讨论f(x)= (1+3x)12x =e32 ， 由于 f(0)=a+1，仅当a+1=e32 =b 时，即当 a=e32 1，b=e 32 时，f(x)在点 x=0 处连续故选 D【知识模块】 微积分7 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(x)在 x=2，x=2 处没有定义，可知 x=2 与 x=2 为 f(x)的两个间断点由可知 x=2与 x=2 都为 f(x)的第一类间断点故选 C【知识模块】 微积分8 【正确答案】 C【试题解析】 所给题设条件为导数定义的等价形式，有故选 C【知识模块】 微积分9 【正确答案】 A【试题解析】 由于 又由于 f(x)在点 x
9、=0 处连续，从而 f(0)= f(x)=0可知应排除 C，D故选 A【知识模块】 微积分10 【正确答案】 A【试题解析】 由于当 f(x)可导且 x0 时，由微分的定义知y 与 dy 的差为x 的高阶无穷小量，且 dy 为y 的线性主部，因此有 y=dy+o(x)=y x+o(x)， 当y=f(x3)时，有 y=3x2f(x3)，由题设有 f(x 3)3x 2|x=1 x=03， 3f(1)( 01)=03， f(1)=1， 故选 A【知识模块】 微积分11 【正确答案】 D【试题解析】 需注意如果 f“(x0)=0，则判定极值的第二充分条件失效 如果记F(x)=f(x)，由题设条件有 F
10、(x0)=0，F“(x 0)0由极值的第二充分条件知 F(x0)为F(x)的极小值，即 f(x0)为 f(x)的极小值，因此 A 不正确，排除 A 取 f(x)=x3，则f(x)=3x2，f“(x)=6x ，f“(x)=6因此 f(0)=f“(0)=0，f“(0)=60而 x=0 既不为f(x)=x 3 的极小值，也不为 f(x)=x3 的极大值，可知 B，C 都不正确，排除B，C 由于 f“(x0)0，知 f“(x)在点 x0 处连续，又 f“(x0)=0，由导数定义可以验证 f“(x)在 x0 两侧异号，从而知点(x 0，f(x 0)为曲线 y=f(x)的拐点故选 D 利用泰勒公式可以证明
11、下述命题： 若 f(x0)=f“(x0)=f(n1) (x0)=0，而 f(n)(x0)0，则 (1)当 n 为偶数时， x0 为 f(x)的极值点，且 当 f(n)(x0)0 时，x 0 为 f(x)的极小值点； 当 f(n)(x0) 0 时，x 0 为 f(x)的极大值点 (2)当 n 为奇数时，x 0 不为 f(x)的极值点但点(x 0，f(x 0)为曲线 y=f(x)的拐点 以后可以将上述结论作为定理使用【知识模块】 微积分12 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)的零点即为 f(x)=0 的根，也就是 f(x)的驻点可以直接求 f(x)，令 f(x)=0 求解，但运算较复杂注意到由
12、 f(x)=(x1)(x2)(x3)(x4)，可知f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=0在1，2，2，3，3，4上 f(x)满足罗尔定理，因此必定存在 1(1，2)， 2(2，3)， 3(3，4)，使得 f( 1)=f(2)=f(3)=0， 由于 f(x)为四次多项式，f(x)为三次多项式，因此三次方程 f(x)=0 至多有三个实根故选 B【知识模块】 微积分13 【正确答案】 C【试题解析】 y=x 3cosx，则y|x=3 2故选 C【知识模块】 微积分14 【正确答案】 B【试题解析】 所给问题为由隐函数形式确定的函数曲线的切线问题，这类问题与由显函数形式确定的函数曲线切线问题相仿，
13、只需求出导数值，代入切线方程求解即可将所给方程两端关于 x 求导，可得 cosxy(xy)+ (yx)=1，点(0，1)在曲线上，在点(0，1)处有y|x=0=1，切线方程为 y=x+1故选 B对于显函数，如果 y=f(x)在点 x=x0 处可导，则曲线 y=f(x)在点 x0 处必定存在切线，切线斜率为 f(x0)，切线方程为 yf(x 0)=f(x0)(xx 0)当 f(x0)0 时，法线方程为 yf(x 0)= (xx 0)特别当 f(x0)=0 时，相应的切线方程为 y=f(x0)对于隐函数，如果曲线方程 y=y(x)由 F(x，y)=0 确定，如果(x 0，y 0)在曲线上，求过该点
14、的切线方程时，只需先依隐函数求导方法求出 dydx ，再代入切线方程即可【知识模块】 微积分计算题15 【正确答案】 1n 21nf(1)f(2)f(n)【知识模块】 微积分16 【正确答案】 所给极限为“00” 型，不能直接利用极限的四则运算法则由于f(x)存在，则 f(x)sinx=0，当 x0 时， 112f(x)sinx，因此 可得 f(x)=12【知识模块】 微积分17 【正确答案】 由于由极限存在准则(夹逼定理) 可知【知识模块】 微积分18 【正确答案】 极限过程为 n，式中 a 为参数， an 的值不仅与 n 有关，且与 a也有关，因此应对 a 进行讨论当 |a|1 时， an
15、=0，由于 sinxa n 为有界变量，因此 ansinxa n=0当 |a|=1 时， ansinxa n= (1)nsinx(1) n=sinx当|a|1 时， an=， xa n=0，因此 综上所述，得【知识模块】 微积分19 【正确答案】 所给表达式为分式，分母在(，+)内皆非零，因此函数的定义域为(， +)又由于表达式为有理式，分母为二次多项式，最高次幂数为2，分子也为多项式，最高次幂数为 83因此 可知当x时，y 为无穷大量【知识模块】 微积分20 【正确答案】 由可知当 f(x)=f(0)，即 a=1 时，f(x)在点 x=0 处连续；当 a1 时，f(x)在点 x=0 处间断，
16、点 x=0 为 f(x)的第一类间断点【知识模块】 微积分21 【正确答案】 由题设可知，当 x=0 时，f(x) 间断由于可知f(x)不存在所以点 x=0 为 f(x)的第一类间断点(跳跃间断点)【知识模块】 微积分22 【正确答案】 在求导函数时有对数运算时，先利用对数运算法则化简再求导，往往能使运算过程简化【知识模块】 微积分23 【正确答案】 先将所给函数两端取对数，有两端关于 x 求导，可得【知识模块】 微积分24 【正确答案】 点(0，1)在所给曲线 y=f(x)上 y=3x 2+6x2，y| x=0=2 因此曲线 y=f(x)在点(0，1)处的切线方程为 y1=2(x0)，即 2
17、x+y1=0， 法线方程为 y1=1 2(x0)， 即 x2y+2=0【知识模块】 微积分25 【正确答案】 本题是“00” 型极限，注意到当 x+时，ln(1+ )1x，可得【知识模块】 微积分26 【正确答案】 因为 =nn=1，所以本题是“1 ”型可以利用取对数法【知识模块】 微积分27 【正确答案】 由点(1，3)为曲线 y 的拐点，可知点(1，3)在曲线上，因此有 3=a+b1， 即 a+b=4 (*) y=3ax2+2bx+1，y“=6ax+2b， 因此 y“|x=1 =6a+2b=0， 可解得 b=3a，代入(*)式可得 a=2，b=6【知识模块】 微积分28 【正确答案】 所给
18、方程为三次方程，最多可能存在三个实根设 y=x33x+a，则问题转化为讨论 a 为何值时函数 y 仅有两个零点所给函数 y 的定义域为(， +)且 (x33x+a)= ， (x33x+a)=+，y 在(，+)内连续，由连续函数性质可知 y 必定存在零点y=3x 23=3(x1)(x+1)，令 y=0，可得x1=1 ，x 2=1 为 y 的两个驻点可知 y(1)=2+a 为 y 的极大值，y(1)= 2+a 为 y 的极小值当 y 的极大值或极小值之一为零时，y 仅有两个不同的零点，即当 a=2 或 a=2 时，y 仅有两个不同的零点因此当 a=2 或 a=2 时，方程 x33x+a=0 仅有两个相异的实根【知识模块】 微积分29 【正确答案】 单价 p=54 元，那么每周销售量为 Q(千袋)时的收益为1000Q54=5400Q(注意单位) (1)设利润为 L， L=5400QC=100Q 2+1400Q2400 要想获得利润，需 L0，即 100Q 2+1400Q24000， 得 2Q12 即每周销售量在 2000 至 12000 袋之间，可以获利 (2)由(1) 得 L=200Q+1400 令 L=0，得唯一的驻点 Q=7又L“0，所以在 Q=7(千袋)时利润最大即每周销售 7000 袋时可获得最大利润【知识模块】 微积分
