1、经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷 13 及答案与解析单项选择题1 设下列不定积分都存在，则正确的是( )（A）f(x)dx=f(x)（B） df(z)=f(x)（C） ddxf(x)dx=f(x)（D）df(z)dx=f(x)2 设 f(x)为连续函数，F(x) 是 f(x)的一个原函数，则下列命题错误的是( )（A）若 F(x)为奇函数，则 f(x)比定为偶函数（B）若 f(x)为奇函数，则 F(x)必定为偶函数（C）若 f(x)为偶函数，则 F(x)必定为奇函数（D）若 F(x)为偶函数，则 f(x)必定为奇函数3 设 f(x)为 5x 的一个原函数，则 f“(x)=(
2、 )（A）5 x（B） 5xln5（C） 5xln2x（D）5x xln354 设 24f(x)dx=3， 04f(x)dx=2，则 02 f(x)dx=( )（A）1（B） 0（C） 1（D）25 设函数 f(x)在区间1， 1上连续，则 x=0 是函数 g(x)=0xf(t)dtx 的( )（A）跳跃间断点（B）可去间断点（C）无穷间断点（D）振荡间断点6 设 f(x)= ，则 01f(x)f“(x)dx=( )（A）2e 2（B） e2（C） e2（D）2e 27 设 f(x)有连续导数，f(4)=2，f(1)=0，则 12xf(x2)f(x2)dx=( )（A）0（B） 1（C） 2（
3、D）38 0 dx=( )（A）34（B） 43（C） 34（D）439 下列命题正确的是( ) （A）f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续，则两个偏导数必定存在（B） f(x，y)在点(x 0，y 0)处两个偏导数连续，则必定可微分（C） f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微分，则两个偏导数必定连续（D）f(x，y)在点(x 0，y 0)处两个偏导数存在，则必定可微分10 设 z=exy，dz| (1，1) ，dz| (0，1) ，dz| (0，1) 分别为( ) （A）dx，dy，e(dx+dy)（B） dy，dx，e(dx+dy)（C） e(dx+dy)，dx，dy（D）e(dx
4、+dy)，dy，dx11 设函数 z=(1+ )2，则 dx|(1，1) =( )（A）dxdy（B） 2(dxdy)（C） 3(dxdy)（D）4(dx dy)12 设在(1 ，2，3) 的某个邻域内 z=z(x，y)由方程 2zz 2+2xy=1 确定，则 dz|(1，2) =( )13 二元函数 z=xy，则点(0，0)为( )（A）驻点且为极值点（B）驻点但不为极值点（C）极值点但不为驻点（D）连续点，不是驻点，也不是极值点14 设 f(x+y， yx)=x 2y 2，x=f(x，y)可微，则 =( )15 设 z=arctan =( )计算题16 计算不定积分 dx17 设 y=y(
5、x)可微，且 yx2 0y dt=0，求 dy18 设 f(x)为连续函数，且 0xtf(2xt)dt=1 2arctanx 2，f(1)=0 ，求 12f(x)dx19 计算定积分 18 dx20 计算定积分 02 ex cosxdx21 设 y=y(x)由 0y dx=12(x 13 1) 2(x0)确定，求 y(x)的极值22 设生产 x 单位产品的总成本为 C(x)，固定成本为 C(0)=200(万元)，边际成本为C(x)=6x+10(万元单位)求总成本 C(x)23 设二元函数 z= ，求 dz|(1，2) 24 设二元函数 z=5x 2y+ |(3，4) 25 26 设三元函数 u
6、= ，求 du27 设 u=f(x， y，z)有连续偏导数，y=y(x)由 exyxy=2 确定，z=z(x)由 ez=0xz dt 确定，求 dudx28 求函数 u=xyz 在条件 (x0，y0，z0，a 0)下的极值29 某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养 x(万尾)，乙种鱼放养 y(万尾)，收获时两种鱼的收获量分别为(3xy)x 和(4 x 2y)y，其中 0求使鱼总产量最大的放养数经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷 13 答案与解析单项选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 对于 A，由不定积分的性质知应为 f(x)dx=f(x)+C，可知 A 不正确同理 B 应为d
7、f(x)=f(x)+C，可知 B 也不正确对于 D 应为 df(x)dx=f(x)dx，可知 D 也不正确故由排除法，可知 C 正确故选 C【知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【试题解析】 对于 A，因为 F(x)为 f(x)的一个原函数，因此 F(x)=f(x)若 F(x)为奇函数，即 F(x)= F(x) ，两端关于 x 求导，可得F(x)=F(x) ，即 F(x)=F(x)从而知 f(x)=f(x)，即 f(x)为偶函数，可知 A 正确对于 B，由于 F(x)是f(x)的一个原函数，可知 F(x)=0xf(t)dt+C0，则 F(x)= 0x f(t)dt+C0，令 u=t，则F(x
8、)= 0xf( u)(1)du+C 0，当 f(x)为奇函数时，有 f(u)=f(u)从而有F(x)= 0xf(u)du+C0=F(x)，即 F(x)为偶函数，可知 B 正确对于 C，取 f(x)=x2，则 f(x)为偶函数，又( x3+1)=x2，则 x3+1 为 f(x)=x2 的一个原函数，但 x3+1 不是奇函数，可知 C 不正确对于 D，若 F(x)为偶函数，即 F(x)=F(x) ，两端关于x 求导，可得F(x)=F(x) ，即f(x)=f(x) ，可知 f(x)为奇函数，因此 D 正确故选 C【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 由于 f(x)为 5x 的一个原函
9、数，因此 f(x)=5 x，f“(x)=(5 x)=5xln5 故选 B【知识模块】 微积分4 【正确答案】 A【试题解析】 由定积分的可加性质知 2 4f(x)dx+04f(x)dx=42 f(x)dx+04f(x)dx=02 f(x)dx， 又由题设 2 4f(x)dx=3， 04f(x)dx=2，可知 02 f(x)dx=3+2=1 故选 A【知识模块】 微积分5 【正确答案】 B【试题解析】 由于 g(x)在 x=0 处没有定义，可知 x=0 为 g(x)的间断点又可知点 x=0 为 g(x)的可去间断点故选B【知识模块】 微积分6 【正确答案】 D【试题解析】 因为 01f(x)f“
10、(x)dx=01f(x)df(x)= |01又由于 f(x)= ，因此 f(1)=2e 1 ，f(0)=0 ，所以 01f(x)f“(x)dx=2e2 故选 D【知识模块】 微积分7 【正确答案】 B【试题解析】 由于 f(x)为抽象函数，题设条件没有给出 f(x)的表达式，只给出其在特定点的值，因此不应求 f(x)的表达式所以 12xf(x2)f(x2)dx=1212f(x 2)f(x2)=1212f(x 2)df(x2) =14f 2(x2)|12=14f 2(4)f 2(1)=1 故选 B【知识模块】 微积分8 【正确答案】 B【试题解析】 由于 故选 B【知识模块】 微积分9 【正确答
11、案】 B【试题解析】 若偏导数连续，函数必定可微分；而函数可微分则必定存在偏导数；函数可微分必定连续，但是函数连续，并不一定保证偏导数存在，也不保证函数可微分；函数存在偏导数也不能保证函数连续，更不能保证函数可微分故选 B【知识模块】 微积分10 【正确答案】 D【试题解析】 由于 =xexy 都为连续函数，因此故选 D【知识模块】 微积分11 【正确答案】 D【试题解析】 设 u=xy，则 z=(1+ )=(1+u)2，所以 dz|(1，1)=4(dxdy)故选 D【知识模块】 微积分12 【正确答案】 B【试题解析】 解法 1 记 F(x，y，z)=2z z 2+2xy1，则 x=1，y=
12、2，z=3 满足方程F(x，y，z)=0又 Fx=2y，F y=2x，F z=22z，F x(1，2，3)=4 ，F y(1，2，3)=2， Fz(1，2 ，3)=4所以 因此 dz=dx+ dy故选B解法 2 由于 2zz 2+2xy=1，将方程两端直接求微分，可得 2dzd(z 2)+2d(xy)=0，即 2dz2zdz+2ydx+2xdy=0，当 x=1，y=2，z=3 时，代入上式，可得4dz+4dx+2dy=0，即 dz|(1，2) =dx+ dy故选 B【知识模块】 微积分13 【正确答案】 B【试题解析】 由于 z=xy，则 =x，且在点(0 ，0)处 连续，可知 z=xy在点(
13、0 ，0) 处可微分，因此必定连续，由于在点(0，0)处 =0，知点(0，0)为 z=xy 的驻点又当(x，y)在一、三象限时，z=xy0；当(x，y)在二、四象限时，z=xy0，知点(0，0) 不是 z=xy 的极值点，故选 B【知识模块】 微积分14 【正确答案】 B【试题解析】 需先求出 f(x，y)为此设 u=x+y，v=y x，则可解得故选 B【知识模块】 微积分15 【正确答案】 C【试题解析】 由于 z=arctan ，则故选 C【知识模块】 微积分计算题16 【正确答案】 令 t= ，则 x=t2，dx=2tdt所以【知识模块】 微积分17 【正确答案】 将所给方程两端同时关于
14、 x 求导，可得yx2+2xy y=0所以【知识模块】 微积分18 【正确答案】 欲求 12f(x)出需知 f(x)或 f(x)的原函数题设条件中 f(x)出现在可变限积分的被积函数内，可变限的变元隐含在 f(2xt)中，应先变换，化为可直接求导的形式令 u=2xt，则 t=2xu，dt=du当 t=0 时，u=2x；当 t=x 时，u=x则 0xtf(2xt)dt= 2xx(2xu)f(u)du= 2x 2xxf(u)du+2xxuf(u)du，即2x 2xxf(u)du+2xxuf(u)du=12arctanx 2将上式两端同时关于 x 求导，可得2 2xxf(u)du2xf(x)2f(2
15、x)+xf(x)22xf(2x)= 即 22xxf(u)duxf(x)= 已知f(1)=0，令 x=1，可得2 21f(u)du1f(1)=12，所以 12f(x)dx=14【知识模块】 微积分19 【正确答案】 应先去掉根式，设 t= ，则 x=t3，dx=3t 2dt当 x=1 时，t=1 ；当x=8 时， t=2因此【知识模块】 微积分20 【正确答案】 由于 0 2ex cosxdx=ex sinx|02 +02 sinxdx =e2 +(e x cosx|02 02 ex cosxdx) =e2 +1 02 cosxdx， 202 ex cosxdx=e2 +1， 02 ex cos
16、xdx=12(e 2 +1)【知识模块】 微积分21 【正确答案】 将所给方程两端同时关于 x 求导，得令 y=0，得 y(x)的唯一驻点x=1当 0x 1 时，y0；当 x1 时，y0因此 x=1 为 y 的极小值点，极小值由原方程确定将 x=1 代入原方程得 0y dx=12(11) 2=0，由被积函数0，可知极小值为 y(1)=0【知识模块】 微积分22 【正确答案】 由题设得 C(x)=C(x)dx=(6x+10)dx=3x2+10x+C 又由 C(0)=200，得 C=200，故总成本 C(x)=3x 2+10x+200【知识模块】 微积分23 【正确答案】 设 u=x2xy，则 z
17、=eu因此 dz|(1，2) = e 1 dy【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 由题意可知 z 为 y 与 v 的函数，x，u 为中间变量由于复合关系比较复杂，可利用全微分形式不变性求解只需将 dx 与 du 用含有 dy 与 dv 的关系式表示，有【知识模块】 微积分26 【正确答案】 将等式两端微分，得【知识模块】 微积分27 【正确答案】 由题设知 y=y(x)，z=z(x)，因此 u 为 x 的一元函数由于 f 有连续偏导数，可知 dudx=f 1+f2y+f 3z 将 exyxy=2 两端关于 x 求导数，可得exy(y+xy)(y+xy
18、)=0， 将 ez=0xz sinttdt 两端关于 x 求导，可得【知识模块】 微积分28 【正确答案】 构造拉格朗日函数 L(x，y，z ，)=xyz+( )令x+y+z 可得注意到 ，上式可化为 3xyz=a ，代回式可得 x=3a；同理代回， 式可得 y=z=3a由此得到点 (3a，3a，3a) 是函数u=xyz 在给定的约束条件下唯一可能的极值点若记由约束条件确定的隐函数z=z(x，y) ，将目标函数看作 u=xyz(x，y)=F(x，y)由二元函数极值的充分条件可知(3a ，3a，3a)为 u=xyz 在给定约束条件下的极小值点，相应的极小值为 27a3【知识模块】 微积分29 【正确答案】 设鱼总产量为 z，则 z=3x+4yx 22y 22xy，由极值的必要条件，得方程组 由于 0，则=4(2 2 2)0，可得唯一一组解B2AC=428 2=4(2 2 2)，由题设可知 B2AC0，且 A0因此(x 0，y 0)为极大值点，其中 x0，y 0 分别为两种鱼的放养数【知识模块】 微积分
