1、经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷 4 及答案与解析单项选择题1 积分 sinx2dx 的值( )。（A）大于 0（B）小于 0（C）等于 0（D）不确定2 不定积分sinxcosxdx 不等于( )。3 不定积分 =( )4 设 则 I，J 的大小关系是 ( )。（A）IJ（B） IJ（C） IJ（D）IJ5 设函数 y=f(x)在区间0，a上有连续导数，则定积分 0axf(x)dx 在几何上表示( ) 。（A）曲边梯形的面积（B）梯形的面积（C）曲边三角形的面积（D）三角形的面积6 设函数 f(x)与 g(x)在a，b连续，且 f(x)g(x)，则对任何 c(0，1)，有
2、 )。7 设函数连续，则下列函数中必为偶函数的是( )。（A） 0xf(t2)dt（B） 0xf2(t)dt（C） 0xtf(t)一 f(一 t)dt（D） 0xtf(t)+f(一 t)dt8 设f(x)dx=x 2+C，则xf(1 一 x2)dx 为( ) 。（A）一 2(1 一 x2)2+C（B） 2(1x2)2+C（C） (1-x2)2+C（D） (1-x2)2+C9 下列反常积分发散的是( )。10 下列反常积分中收敛的是( )。11 设 则 I1 与 I2 的关系为( )。（A）I 1I 2（B） I1I 2（C） I1=I2（D）不确定12 设可导函数 f(x)的原函数是 F(x
3、)，可导函数 g(x)的原函数是 G(x)，g(x)是 f(x)在区间 I 上的反函数，则( )。（A）F(x)G(x)=1（B） f(x)g(f(x)=1（C）（D）13 把 x0 +时的无穷小量 =0xcost2dt， 排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是( )。（A），（B） ，（C） ， （D）， 14 设 f(t)= 则 f(t)在 t=0 处( )。（A）极限不存在（B）极限存在但不连续（C）连续但不可导（D）可导填空题15 设 f(x)连续，且 f(x)=x+201f(t)dt，则 f(x)=_。16 0xsinxdx=_。17 18 19 20 0nx
4、sinx|dx=_。21 设 f(x)有一个原函数 dx=_22 23 函数 f(x)在1，+)上连续，且反常积分 1+f(x)dx 收敛，并满足则函数 f(x)的表达式是_。24 设位于曲线 (ex+) 下方，x 轴上方的无界区域为 G，则 G 绕x 轴旋转一周所得空间区域的体积为_。计算题25 试求下列反常积分的值26 求由曲线 y=xex 与直线 y=ex 所围成图形的面积。27 求曲线 y=sinx 与 y=sin2x 在0 ， 上所围成图形的面积 S。28 过 P(1，0)作抛物线 的切线，与抛物线及 x 轴围成一平面图形，求此图形绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积。29 某产品的
5、边际成本 C(x)=4+ (万元/百台)，边际收益 R(x)=8 一 x(万元百台)，试求： (1)产量由 1 百台增加到 5 百台时的总成本与总收益的增加值； (2)若固定成本 C(0)=1(万元 )，求总成本函数与利润函数； (3)当产量为多大时，利润最大? (4)求最大利润时的总成本与总收益。30 计算31 计算不定积分32 求定积分33 求 f(t)=601x|x 一 t|dt。34 求定积分35 设 F(x)= 试求： (1)F(x)的极值；(2)曲线 y=F(x)拐点的横坐标；(3) -23x2F(x)dx。36 设 f(x)是连续函数，证明 0x0uf(t)dtdu=0x(x 一
6、 u)f(u)du。37 设 f(x)在0，1上连续， (0，1)内可导，且 证明 c(0，1)使得f(c)=0。38 计算max(1，|x|)dx。39 40 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，且 g(x)0，x a，b，试证明：至少存在一个a，6) 使得 abf(x)dx abg(x)dx= 。41 求曲线 y=x22x，y=0，x=1，x=3 所围成的平面图形的面积 S，并求该平面图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 V。经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷 4 答案与解析单项选择题1 【正确答案】 A【知识模块】 数学基础2 【正确答案】 A【知识模块】 数学
7、基础3 【正确答案】 B【知识模块】 数学基础4 【正确答案】 A【知识模块】 数学基础5 【正确答案】 C【知识模块】 数学基础6 【正确答案】 D【知识模块】 数学基础7 【正确答案】 D【知识模块】 数学基础8 【正确答案】 C【知识模块】 数学基础9 【正确答案】 B【知识模块】 数学基础10 【正确答案】 C【知识模块】 数学基础11 【正确答案】 A【知识模块】 数学基础12 【正确答案】 B【知识模块】 数学基础13 【正确答案】 B【知识模块】 数学基础14 【正确答案】 C【知识模块】 数学基础填空题15 【正确答案】 x 一 1【知识模块】 数学基础16 【正确答案】 【知
8、识模块】 数学基础17 【正确答案】 【知识模块】 数学基础18 【正确答案】 【知识模块】 数学基础19 【正确答案】 4 一 【知识模块】 数学基础20 【正确答案】 n 2【知识模块】 数学基础21 【正确答案】 【知识模块】 数学基础22 【正确答案】 【知识模块】 数学基础23 【正确答案】 【知识模块】 数学基础24 【正确答案】 【知识模块】 数学基础计算题25 【正确答案】 (1)当 0x 有一lnx一 1，因此令 t=一 lnx，则有：【知识模块】 数学基础26 【正确答案】 如图 34，我们可得： 即S=01|ex 一 xex|dx=01(ex 一 xex)dx=【知识模块
9、 数学基础27 【正确答案】 如图 35， 我们可以求出曲线相交的点：所以两曲线所围图形的面积为【知识模块】 数学基础28 【正确答案】 设切点为(x 0，y 0)，则斜率为 即过点 P(1，0)的切线方程为： 将(x 0，y 0)代入切线方程，得出 x0=3，得出切线方程为 即所要求的体积可以通过由切线绕轴旋转形成的椎体的体积减去由抛物线绕轴旋转形成的体积之差。【知识模块】 数学基础29 【正确答案】 (1)总成本的增加值为 C=15C(t)dt= =19(万元)总收益的增加值为R= 15R(t)dt=15(8 一 x)dx=20(万元)(2)总成本函数 C(x)=C(0)+0xC(x)d
10、x=1+ 总收益函数 R(x)=0xR(x)dx=0x(8 一 x)dx=总利润函数 L(x)=R(x)一 C(x)= (3)L(x)= 令 L(x)=0 得驻点 又 L“(x)0，故当 (百台)时，利润最大【知识模块】 数学基础30 【正确答案】 对 中的积分表达式中的 e-x 变成 再化简可得然后再将上述得到的积分表达式中的 ex 转换成 e-x 即 得到：【知识模块】 数学基础31 【正确答案】 =In|x+2|In|x+3|+C=【知识模块】 数学基础32 【正确答案】 第一步，换元设 t=1+Inx，则原式=第二步，计算定积分。【知识模块】 数学基础33 【正确答案】 当 t0 时，
11、f(t)=6 01x|x-t|dx=601x(x 一 t)dx=23t；当 0t1 时，f(t)=601x|x-t|dx=60tx(tx)dx+6t1x(x 一 t)dx=t3+2x3 一 3x2tt1=23t+2t3 当 t1 时，f(t)=601x|x 一 t|dx=601x(t 一 x)dx=3t 一 2。所以 f(t)=【知识模块】 数学基础34 【正确答案】 【知识模块】 数学基础35 【正确答案】 (1) 令 F(x)= =0 得驻点 x=0，又 F“(0)=20，故 x=0 是函数 F(x)的极小值点，其极小值为 F(0)=0。(2)令 F“(x)=0，得0所以曲线 y=F(x)
12、拐点的横坐标为 (3)-23x2F(x)dx=【知识模块】 数学基础36 【正确答案】 设 F(u)=0af(t)dt,F(0)=0 则 0x(x 一 u)f(u)du=0u(x 一 u)F(u)du =(x一 u)F(u)0x+0xF(u)dx=0xF(u)dx=0x0uf(t)dtdu【知识模块】 数学基础37 【正确答案】 由积分中值定理可知存在即存在 使得 f()=f(0)在0，上用罗尔中值定理知： (0，1) (0，1)，使 f(c)=0。【知识模块】 数学基础38 【正确答案】 max(1，|x|)= 故原式=由于连续性知，若记 C2=C，则则max(1，|x|)dx=【知识模块】
13、 数学基础39 【正确答案】 【知识模块】 数学基础40 【正确答案】 欲证 abf(x)dx abg(x)dx= 将其中的 变成 x，令 F(x)=axf(x)dx，G(x)= axg(x)dx 则原欲证明结论可化为 F(b)G(b)=故可写出辅助函数 W(x)=F(b)axg(t)dtG(b)axf(t)dt因为 W(a)=0 W(b)=F(b)G(b)一 G(b)F(b)=0 故至少存在一个 (a，b)使得 W()=F(b)g()一 G(b)f()即得到 abf(x)dx abg(x)dx=【知识模块】 数学基础41 【正确答案】 (1)所求面积是可以通过两部分构成的，一个为 x 轴下半部分 S1，一个为 x 轴上半部分 S2，那么 S1=12(2x 一 x2)dx= S2=23(x22x)dx= 即得到 S=S1+S2=2(2)平面图形 S1 绕 y 轴旋转一周所得旋转体体积 平面图形 S2 绕 y 轴旋转一周所得旋转体体积 故，所求旋转体体积为 V=V1+V2=9。【知识模块】 数学基础
