1、经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷 7 及答案与解析单项选择题1 “对任意给定的 0，总存在正整数 N，当 nN 时，恒有|x na|3”是数列xn收敛于 a 的( ) （A）充分但非必要条件（B）必要但非充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分也非必要条件2 （A）等于 1（B）等于 e（C）为 （D）不存在，也不为3 （A）12（B） 14（C） 18（D）1164 （A）0（B） 12（C） 1（D）25 （A）等于 0（B）等于 4（C）为 （D）不存在，也不为6 设 xn= e1n ，则当 n 时，x n 的极限( )（A）14（B）为 1（C）为 （D）不存在，也
2、不为7 函数 f(x)= 在点 x=1 处连续，则( )（A）a=e，b=e（B） a=1，b=e（C） a=0，b=e（D）a=1 e，b=e8 设 f(x)在点 x=2 处可导，且 =13 则 f(2)=( )（A）1（B） 1（C） 13（D）139 设 f(x)= 在点 x=1 处可导，则( )（A）a=e，b=0（B） a=0，b=e（C） a=e，b=1（D）a=1 ，b=e10 设 f(x)，g(x) 是恒大于零的可导函数，且 f(x)g(x)g(x)f(x)0，则当 axb时，有( ) （A）f(x)g(b) f(b)g(x)（B） f(x)g(a)f(a)g(x)（C） f(
3、x)g(x)f(b)g(b)（D）f(x)g(x) f(a)g(a)11 设 f(x)=2x+3x2，当 x0 时( )（A）f(x)与 x 为等价无穷小（B） f(x)与 x 为同阶无穷小但不等价（C） f(x)为较 x 高阶的无穷小（D）f(x)为较 x 低阶的无穷小12 设周期函数 f(x)在(，+)内可导，f(x)的周期为 4， =1，则曲线 y=f(x)在点(5，f(5)处的切线斜率为( )（A）2（B） 1（C） 1（D）213 设 y=y(x)是由方程 ey=(x2+1)2y 确定的隐函数，则点 x=0( )（A）不是 y 的驻点（B）是 y 的驻点，但不是极值点（C）是 y 的
4、驻点，且为极小值点（D）是 y 的驻点，且为极大值点14 设函数 f(x)满足 f“(x)+f(x)2=x，且 f(0)=0，则( )（A）f(0)为 f(x)的极大值（B） f(0)为 f(x)的极小值（C） f(0)不为 f(x)的极值，但 (0，f(0) 为曲线 y=f(x)的拐点（D）f(0)不为 f(x)的极值，(0，f(0)也不为曲线 y=f(x)的拐点计算题15 16 17 若极限 (cosxb)=5 ，求 a，b 的值18 若 f(x)= f(x)存在，求常数 k 的值19 设当 x时， ，讨论常数 a，b，c 的关系20 设 f(x)= 在(，+)内连续，求 a，b 的值21
5、 设 f(x)= 判定 f(x)的定义域与连续区间，对于间断点判别其类型22 设 f(x)=x3+x+1，证明：函数 f(x)至少有一个零点23 设 y=y(x)由方程 ln(x2+y)=x3y+sinx 确定，求 dy|x=024 设 x=y y，求 dy25 设曲线 y=x3+ax 与曲线 y=bx3+c 相交于点(1，0)，并且在该点有公共切线，求a，b，c 和公切线方程26 27 设 f(x)=x(x1)(x2)(x 3)，讨论驻点的个数与范围28 设曲线 y=x42x 3+3，求曲线 y 的凹凸区间与拐点29 将长为 a 的铁丝截成两段，一段围成正方形，另一段围成圆，为使正方形与圆的
6、面积之和最小，问两段铁丝的长应各为多少?经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷 7 答案与解析单项选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 对照数列极限的定义：对任意给定的 10，总存在正整数 N1，当nN 1 时，恒有|x na| 1，则称数列x n收敛于 a仔细分析题设条件知命题的提法与定义相比要强些，但实质是等价的，由定义可知，对任意给定 10，必定存在正整数 N1，当 nN 1 时，总有|x na| 1取 1=3，N 1=N故选 C【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【试题解析】 令 xn 当 n=2k1时， 故选A【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【试题解析】
7、当 n 时，分子与分母的极限皆为，故选 D【知识模块】 微积分4 【正确答案】 C【试题解析】 当 x0 时，x 2 为无穷小量，sin1 x 为有界变量，因此 x2sin1x为无穷小量 故选 C【知识模块】 微积分5 【正确答案】 D【试题解析】 而当 x2 +时，1(x2)+， e1(x 2)+ 当 x2 时，1(x2)，e 1(x2) 0可知e1 (x2) 不存在，也不为 故选 D【知识模块】 微积分6 【正确答案】 A【试题解析】 当 n 时，cos2n1，e 1n 1，sin1 n1n则故选 A【知识模块】 微积分7 【正确答案】 D【试题解析】 由于 (a+bx2)=a+b， ln
8、(b+x+x2)=lnb由于 f(1)=1，可知当 a+b=lnb=1，即 a=1e，b=e 时，f(x) 在点 x=1 处连续故选 D【知识模块】 微积分8 【正确答案】 B【试题解析】 由题设 f(x)在 x=2 处可导，而题中极限过程为 x1若设 u=x+1，则当 x1 时，u2 ，因此 因此 f(2)=1故选 B【知识模块】 微积分9 【正确答案】 A【试题解析】 由于 f(x)在点 x=1 处可导，因此必定连续又由于因此 a+b=e由于 f(x)在点 x=1 连续，且当 x1时，f(x)=e x，f(x)=e x， 当 x1 时，f(x)=ax+b，f(x)=a ， 由于 f(1)存
9、在，从而有 f (1)=f+(1)，因此 a=e进而可知 b=0故选 A【知识模块】 微积分10 【正确答案】 A【试题解析】 f(x)，g(x) 都为抽象函数，可以先将选项 A，B 变形：A 可以变形为f(x)g(x) f(b)g(b)；B 可以变形为 f(x)g(x)f(a)g(a)由此可得 A，B 是比较 f(x)g(x) 与其两个端点值的大小而 C，D 是比较 f(x)g(x)与其两个端点值的大小由于题设条件不能转化为f(x)g(x)，而题设 f(x)0，g(x)0，且 f(x)g(x)g(x)f(x) 0，因此有 从而知 f(x)g(x)在a，b上为单调减少函数，因此当 axb 时，
10、有 f(x)g(x)f(b)g(b)，进而知f(x)g(b)f(b)g(x)故选 A【知识模块】 微积分11 【正确答案】 B【试题解析】 由题意应考查极限 ，所给极限为“00”型，应利用洛必达法则求解 =ln2+ln3可知当 x0 时，f(x)与 x 为同阶无穷小，但不等价故选 B【知识模块】 微积分12 【正确答案】 A【试题解析】 由于 f(x)在( ，+) 内可导，且 f(x)=f(x+4)，又由于周期函数的导函数也是周期函数，且其周期与相应周期函数的周期相同，都为 4即 f(1)=f(5)又由 =1，可得 f(1)=2因此知曲线 y=f(x)在点(5，f(5)处的切线斜率为 f(5)
11、=2故选 A【知识模块】 微积分13 【正确答案】 C【试题解析】 将所给方程两端关于 x 求导，可得 eyy=4x(x 2+1)y，y= 4x(x 2+1)令 y=0，可得 y 的唯一驻点 x=0当 x0 时，y0；当 x0 时，y0由极值的第一充分条件可知 x=0 为 y 的极小值点故选 C【知识模块】 微积分14 【正确答案】 C【试题解析】 由于 f(0)=0，f“(x)+f(x) 2=x，可得 f“(0)=0， 可知判定极值的第二充分条件失效由题设知有 f“(x)=xf(x) 2， 上式右端可导，表示 f(x)三阶可导，且 f“(x)=12f(x)f“(x)，f“(0)=1 可知：f
12、(0) 不是函数 f(x)的极值，点(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点 故选 C【知识模块】 微积分计算题15 【正确答案】 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 =e2e 3 =e5【知识模块】 微积分17 【正确答案】 所给问题为求极限的反问题所给表达式为分式，分子的极限sinx(cosxb)=0，而表达式的极限存在，因此分母的极限应为零，即(exa)=1a=0 ，可得 a=1，原式化为=1b=5 ，可得 b=4【知识模块】 微积分18 【正确答案】 由于点 x=0 为函数的分段点，在点 x=0 两侧 f(x)的表达式不同，应考虑利用左极限与右极限来求解 (1+kx)1x =ek，
13、由于 f(x)，所以ek=2，即 k=ln2【知识模块】 微积分19 【正确答案】 由题设知，当 x时， 高阶的无穷小量，因此【知识模块】 微积分20 【正确答案】 当 x0 时，f(x)=sinbxx 处处有定义，且为初等函数，(，0)为其定义区间，因此必定连续当 x0 时，f(x)=a+kx 2 也为初等函数，(0，+)为其定义区间，也必定连续只需考查 f(x)在点 x=0 处的连续性由于 x=0 为分段点，在 x=0 两侧 f(x)表达式不同，应考查其左连续与右连续 (或左极限、右极限，再依连续性要素判定) 可知当 a=b 时，f(x)在点x=0 处左连续 (a+如 bx2)=a=f(0
14、)可知对于 a 为任意值，f(x)在点x=0 处右连续综之，对于 a=b 取任何值，函数 f(x)都在点 x=0 处连续，进而知f(x)在(，+)内连续【知识模块】 微积分21 【正确答案】 f(x)= =1x，其定义域为( ，0) (0，+)在其定义域内 f(x)为初等函数，其连续区间为( ，0)(0，+) 由 1x=，可知点x=0 为 f(x)的第二类间断点【知识模块】 微积分22 【正确答案】 由于 f(x)=x3+x+1 在定义区间( ，+)内为连续函数，且 f(1)=1 0，f(1)=30 由闭区间上连续函数的性质知，至少存在一点 (1，1)，使 f()=0即 f(x)至少存在一个零
15、点【知识模块】 微积分23 【正确答案】 当 x=0 时，由方程 ln(x2+y)=x3y+sinx 可得 y=1将方程两端关于x 求导，可得 (2x+y)=3x 2y+x3y+cosx，(*)将 x=0，y=1 代入上式，可得y|x=0=1，因此 dy|x=0=y|x=0dx=dx【知识模块】 微积分24 【正确答案】 将所给函数两端取对数，得 lnx=ylny，两端关于 x 求导数，得1x=ylny+y1yy=(1+lny)y，因此 dy=ydx= dx【知识模块】 微积分25 【正确答案】 由于两条曲线相交于点(1，0)，因此有 可得a=1，b=c 由 y=x3+ax 得 y=3x2+a
16、=3x21，y| x=1 =2由 y=bx3+c 得y=3bx2，y| x=1 =3b由于两曲线在点(1，0)处有公切线，因此 3b=2即b=23 ，c=23此时公切线方程为 y0=2x(1)，即 y=2(x+1)【知识模块】 微积分26 【正确答案】 本题属于“0”型，应先变形为“00” 或“ ”型此时极限为“00”型设 t=1x，则【知识模块】 微积分27 【正确答案】 使 f(x)=0 的点为 f(x)的驻点若直接求 f(x)，再判定 f(x)=0 的点很复杂由于 f(x)=x(x1)(x2)(x 3)， 因此 f(0)=f(1)=f(2)=f(3)=0f(x)在0，1 ，1，2，2，3
17、上满足罗尔定理，由罗尔定理可知至少有点 1(0，1)， 2(1，2)，3(2， 3)，满足 f( 1)=0，f( 2)=0，f( 3)=0 即 f(x)有驻点 1， 2， 3又由于 f(x)为四次多项式，其导函数为三次多项式，三次方程至多有三个实根，综之，f(x)有且仅有三个驻点，分别位于(0，1)，(1，2) ，(2，3) 内【知识模块】 微积分28 【正确答案】 由 y=x42x 3+3，可得 y4x 36x 2，y“=12x 212x=12x(x 1)， 令 y“=0，得 x1=0，x 2=1 当 x0 时，y“ 0，可知曲线在(，0)内为凹 当0x1 时，y“0，可知曲线在 (1，1)
18、内为凸 当 x1 时，y“ 0，可知曲线在(1，+) 内为凹 当 x=0 时，y=3，且在 x=0 两侧 y“异号，因此点(0，3)为曲线的拐点 当 x=1 时，y=2 ，在 x=1 两侧 y“异号，因此点(1，2)也是曲线的拐点【知识模块】 微积分29 【正确答案】 设围成圆的一段长为 x，则围成正方形的一段长为 ax，正方形与圆的面积之和 令 S=0，解得x= 为 S 的唯一驻点，S“= 0，由极值第二充分条件可知，x= 为 S 的极小值点由于驻点唯一，且实际问题存在最小值，故当 x=时，面积之和最小即围成圆的一段长为 ，围成正方形的一段长为时，正方形与圆的面积之和最小【知识模块】 微积分
