1、经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷 9 及答案与解析单项选择题1 设 xn= 则当 n时，变量 xn 为( )（A）无穷大量（B）无穷小量（C）有界变量（D）无界变量2 （A）等于 23（B）等于 32（C）为 （D）不存在，也不为3 （A）1（B） 1（C） 2（D）34 （A）32（B） 23（C） 23（D）325 设 f(x)= 若 f(x)+g(x)在 x=0 和 x=1 处都有极限，则( ) （A）a=2 ，b=0（B） a=2，b=sin1（C） a=1，b=0（D）a=1 ，b=sin16 （A）a=1 ，b=12（B） a=1，b=2（C） a=12，b=1
2、（D）a=1 2 ，b=27 函数 f(x)= ，则( )（A）x=1 为 f(x)的可去间断点，x=1 为无穷间断点（B） x=1 为 f(x)的无穷间断点， x=1 为可去间断点（C） x=1 与 x=1 都是 f(x)的可去间断点（D）x=1 与 x=1 都是 f(x)的无穷间断点8 已知函数 y=f(x)在点=1 处可导，且 =2，则 f(1)=( )（A）1（B） 2（C） 3（D）69 设函数 f(x)在点 x=0 处连续，且 f(x)x=1 ，则下列命题不正确的是( )（A） f(x)=0（B） f(0)=0（C） f(0)=0（D）f(0)=110 若 y=f(x)可导，则当x
3、0 时， ydy 为x 的 ( )（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）同阶但不等价无穷小（D）等价无穷小11 若在0 ，1上 f“(x)0，则 f(1)，f(0)，f(1)f(0)或 f(0)f(1)的大小顺序是( )（A）f(1)f(0)f(1)f(0)（B） f(1)f(1)f(0)f(0)（C） f(1)一 f(0)f(1) f(0)（D）f(1)f(0)f(1)f(0)12 设函数 f(x)在(，+)内连续，其导数的图形如图 121 所示则 f(x)有( )（A）一个极小值点和两个极大值点（B）两个极小值点和一个极大值点（C）两个极小值点和两个极大值点（D）三个极小值点和一个极大值点
4、13 设 y= sinx，则 y=( )14 已知函数 f(x)连续，且 f(x)x=2，则曲线 y=f(x)上对应 x=0 处的切线方程是( )（A）y=x（B） y=x（C） y=2x（D）y=2x计算题15 求极限 xln(x+2)lnx16 求极限 (3n +4n )1 n17 求极限 (1+2n+3n)1n 18 若 =0，求常数 a 的值19 设当 x0 时，( 1)ln(1+x 2)是比 xnsinx 高阶的无穷小量，而 xnsinx 是比1cosx 高阶的无穷小量，求正整数 n 的值20 设 f(x)= 在点 x=0 处连续，求 a，b 的值21 求函数 y=ln 的连续区间2
5、2 设 y=cos(2x+x2)，求 dy23 设 y= +sinx，求 y24 设 y=f(x)由方程 sin(xy)+lnyx=1 确定，求 nf(2n)e 25 26 27 设函数 y=x2+ax+b 在点 x=2 处取得极小值 3，求常数 a，b 的值28 当 ex 1 x2 时，问 lnx1x 1 与 lnx2x 2 哪个大，为什么 ?29 假设某种商品的需求量 Q 是单价 p(单位：千元)的函数 Q=1208p商品的固定成本为 25(千元) ，每多生产一单位产品，成本增加 5(千元)试求使销售利润最大的商品单价和最大销售利润经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷 9
6、答案与解析单项选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 由题设可知所以 xn 不是无穷大量，不是无穷小量，也不是有界变量，是无界变量，故选 D【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【试题解析】 当 x4 时，分子与分母的极限都为零，不能直接利用极限的商的运算法则又由于分子与分母中都含有根式，先有理化再求极限故选 A【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 所给极限为“” 型，不能利用极限的四则运算法则，也不能利用洛必达法则求之通常对无穷大量运算的基本原则是转化为无穷小量运算故选 B【知识模块】 微积分4 【正确答案】 A【试题解析】 当 x1 时，x 25x+40，因此故选 A【知
7、识模块】 微积分5 【正确答案】 B【试题解析】 需先求出 f(x)+g(x)的表达式 显然点 x=0，x=1 为 f(x)+g(x)的分段点，在分段点两侧函数表达式不同，应考虑左极限与右极限 f(x)+g(x)= (2ex +b)=2+b， f(x)+g(x)= (a+b)=a+b由于 f(x)+g(x)在点 x=0 处有极限，因此 a+b=2+b，可知 a=2 f(x)+g(x)= (a+b)=a+b， f(x)+g(x)= (a+sinx)=a+sin1由于 f(x)+g(x)在点 z=1 处有极限，因此 a+b=a+sin1，可知b=sin1故选 B【知识模块】 微积分6 【正确答案】
8、 A【试题解析】 由于 =b，且分母的极限为零，则必定有分子的极限为零，即 (acosx)=a1=0，从而得 a=1，因此有故选 A【知识模块】 微积分7 【正确答案】 B【试题解析】 当 x=1 与 x=1 时，f(x)没有定义这两个点是 f(x)的间断点可知 x=1 为 f(x)的无穷间断点，x=1 为 f(x)的可去间断点故选 B【知识模块】 微积分8 【正确答案】 D【试题解析】 所给题设为导数定义的等价形式，由导数定义可知可得 f(1)=6故选D【知识模块】 微积分9 【正确答案】 C【试题解析】 已知 x=0，所以必有 f(x)=0又 f(x)在点 x=0 处连续，故f(0)= f
9、(x)=0于是 故选 C【知识模块】 微积分10 【正确答案】 A【试题解析】 由微分的定义可知，当x0 时， 0， ydy 为 x 的高阶无穷小，故选 A【知识模块】 微积分11 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查导数值的关系题设条件为二阶导数大于零，可考虑利用二阶导数符号来判定一阶导函数的增减性来求解由于在0 ，1上 f“(x)0，可知 f(x)为0，1 上的单调增加函数，因此 f(1)f(0)又 f“(x)在0 ， 1上存在，可知 f(x)在0，1 上连续f(x)在0，1上满足拉格朗日中值定理，可知必定存在点 (0，1)，使得f(1)f(0)=f()，由于 f(x)在0，1上为单调增
10、加函数，必有f(1)f()f(0)，即f(1)f(1) f(0) f(0) 故选 B【知识模块】 微积分12 【正确答案】 A【试题解析】 由于极值点只能是导数为零的点或不可导的点，因此只需考虑这两类特殊点由图 121 可知，导数为零的点有三个，自左至右依次记为x1，x 2，x 3 在这些点的两侧，f(x)异号：当 xx 1 时，f(x)0；当 x1xx 2 时，f(x)0可知 x1 为 f(x)的极大值点当 x1xx 2 时，f(x)0；当 x2x0 时，f(x)0可知 x0 为 f(x)的极小值点当 0xx 3 时，f(x)0；当 xx 3 时，f(x) 0可知 x3 为f(x) 的极大值
11、点由导函数图形知，在点x=0 处 f(x)不可导，但在 x=0 左侧 f(x)0，在 x=0 右侧 f(x)0可知点 x=0 不为f(x)的极值点综上可知函数 f(x)有一个极小值点和两个极大值点故选 A【知识模块】 微积分13 【正确答案】 D【试题解析】 y= sinx，则 y=(x13 )sinx+x13 (sinx)=13x 23 sinx+x13 cosx= 故选 D【知识模块】 微积分14 【正确答案】 C【试题解析】 由于 f(x)为连续函数， f(x)x=2，可知 f(0)= f(x)=0因此曲线 y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y=2x故选 C【知识模块】 微积分
12、计算题15 【正确答案】 所求极限为“0”型，不能利用极限的四则运算法则由对数性质及连续函数的性质有： =lne2=2【知识模块】 微积分16 【正确答案】 (3n +4n )1n 令 x=(34) n，则 (34)n=0，即 x=0原式= 13(1+x) 1n = 13(1+x) 1x xn =13【知识模块】 微积分17 【正确答案】 由于 由极限存在准则(夹逼定理)可知 =13 lim(1+2n+3n)1n =1， (1+2n+3n)1n =3【知识模块】 微积分18 【正确答案】 所给表达式中，由于当 x0 时 sin3xx 极限存在，由极限的性质可知当 x0 时，ln( )1x 极限
13、存在，且有=lnea+1=a+1因此 a+1=3，得 a=2【知识模块】 微积分19 【正确答案】 当 x0 时，( 1)ln(1+x 2)x 2x 2=x4，x nsinxx n+1，1cosxx 22由题设可知，应有2n+1 4，因此 n=2【知识模块】 微积分20 【正确答案】 f(x)为分段函数，点 x=0 为分段点，在分段点两侧 f(x)表达式不同，考查 f(x)在点 x=0 处左连续与右连续 由于sin1 x 为有界变量，当 x0 时，x 为无穷小量，因此 xsin1x=0而可得 f(x)=3，由 f(0)=a，可知当 a=3 时，f(x)在点x=0 处左连续 (1+bx)2x =
14、e2b可知当 e2b=a，即 b=12lna 时，f(x)在点 x=0 处右连续综上可知，当 a=3，b=12ln3 时，f(x)在点 x=0 处连续【知识模块】 微积分21 【正确答案】 首先求 y=ln 的定义域，应有 0，且 1x0，解得0x1可知 y=ln 的定义域为 (0，1) ，y=ln 为初等函数，在其定义区间(0，1)内必定为连续函数，可知(0，1) 为所求【知识模块】 微积分22 【正确答案】 解法 1 先求 y，由 dy=ydx 解之 y=cos(2x+x2)， y=sin(2 x+x2)(2 x+x2)=sin(2 x+x2)(2 xln2+2x) 因此 dy=ydx=s
15、in(2 x+x2)(2 xln2+2x)dx 解法 2 利用微分形式不变性解之 dy=dcos(2x+x2)=sin(2 x+x2)d(2 x+x2) =sin(2 x+x2)(2 xln2+2x)dx【知识模块】 微积分23 【正确答案】 先将所给函数分为两项之和，第一项为连乘除形式，应利用对数求导法，对此，令 则有ln|y1|=2ln|x|ln|1x|+ ln|2+x| ln|2x|，两端关于 x 求导，可得【知识模块】 微积分24 【正确答案】 由于 n时，2n0，f(2n)f(0)，先将 x=0 代入所给方程，可得 f(0)=e 只需求 f(0)将方程两端对 x 求导，有 cosxy
16、(y+xy)+ y1=0将 x=0 及 y|x=0=e 代入上式，可得y|x=0=f(0)=e(1e)，所以 nf(2n)e=2e(1e)【知识模块】 微积分25 【正确答案】 本题是“苦 00” 型极限，但若直接用洛必达法则，求导比较麻烦考虑到分子、分母都有 ，故可先设 t= ，然后用洛必达法则【知识模块】 微积分26 【正确答案】 当 x时，ln(1+ )1x，可知所以本题是“ ”型应先做变换，令t=1x，则【知识模块】 微积分27 【正确答案】 由于函数 y 在点 x=2 处取得极小值 3，因此有 3=2 2+2a+b， 即 2a+b=1 又 y=2x+a，y| x=2=4+a=0， 可
17、得 a= 4，进而知 b=7【知识模块】 微积分28 【正确答案】 由题目可知是考查函数 y=lnxx 的单调性当 xe 时，y 有定义，由于 令 y=0 得 y 的驻点 x=e当 xe 时，y0，可知函数y=lnx x 单调减少因此当 ex 1x 2 时，有 lnx1x 1lnx 2x 2【知识模块】 微积分29 【正确答案】 利润等于销售收益减去总成本，所以首先求出成本函数C=C(Q)然后求 L=pQC 的最大值 已知商品固定成本为 25(千元)，可变成本呈线性增长所以总成本函数 C=25+5Q 总销售利润 L=RC=pQC=p(1208p)255(120 8p)=160p 8p2625， L=160 16p 令 L=0，得驻点 p=10由L“=16 0 及唯一性可知当 p=10(千元)时，总销售利润最大最大销售利润为 L(10)=16010810 2625=175(千元) 【知识模块】 微积分
