1、经济类专业学位联考综合能力数学基础（概率论）模拟试卷 10 及答案与解析单项选择题1 设事件 A 与 B 互不相容，则( )（A）P( )=0（B） P(AB)=P(A)P(B)（C） P(A)=1P(B)（D）P( )=12 对于任意两个事件 A 和 B，有结论( )（A）若 AB ，则 A，B 一定独立（B）若 AB ，则 A，B 有可能独立（C）若 AB= ，则 A，B 一定独立（D）若 AB= ，则 A， B 一定不独立3 从 100 件产品(其中有 5 件次品)中，无放回地连续抽取两件，则第一次取到正品而第二次取到次品的概率是( )（A）19400（B） 122（C） 19396（D
2、）5994 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)= 则 PX=1=( )（A）0（B） 12（C） e 1（D）1e 15 已知 f(x)为连续型随机变量 X 的密度函数，且 f(x)的不为零的定义区间为0，则 f(x)在该区间上可能为( )（A）sinx（B） 1（C） x（D）6 设随机变量 X 的分布律为 PX=1)=12，PX=0)=13PX=1)=16，则Y=X21 的分布阵为( )7 若 XN(， 2)，且密度函数为 则 ， 2 分另 0 为( ) （A）4，2（B） 3，2（C） 2，2（D）1，28 设随机变量 X，Y 分别服从正态分布 N(，4 2)，N( ，5 2)，记
3、p1=PX4) ，p2=PY+5，则( ) （A）对于任何实数 ，都有 p1=p2（B）对于任何实数 ，都有 p1p 2（C）对于任何实数 ，都有 p1p 2（D）对于 的个别值，有 p1=p29 设一次试验成功的概率为 p，进行 100 次独立重复试验，则当成功次数的标准差最大时，p=( )（A）1（B） 12（C） 13（D）1410 设随机变量 X 的分布函数为 则 EX=( )（A）1（B） 2（C） 3（D）411 设随机变量 XN(0，1)，Y=2X+1 ，则 Y 服从的分布是( )（A）N(1 ，4)（B） N(0，1)（C） N(1，1)（D）N(0 ，2)12 设随机变量 X
4、 服从参数为 的指数分布，则 PX =( )（A）12e（B） 1e（C） 2e（D）1计算题13 在 10 到 99 的所有两位数中，任取一个数，试求这个数能被 2 或 5 整除的概率14 设有两批数量相同的零件，已知有一批产品全部合格，另一批产品有 25不合格从两批产品中任取 1 个，经检验是合格品，放回原处，并在其所在批次再取 1个，试求这个产品是不合格品的概率15 甲、乙两人进行投篮比赛，约定甲先投，若投不中，乙投，若投不中再由甲投，以此类推，谁先投中谁获胜，比赛终止已知甲、乙投中的概率分别为 35 和710若记Y=1为甲获胜，记Y=0为乙获胜，求 Y 的概率分布15 某公交车每隔 1
5、0 分钟发一趟车，某乘客每天到该车始发站乘车，且到达车站的时间是等可能的16 求此人在一周内出现等车超过 5 分钟的次数的概率分布；17 求此人在一周内等车超过 5 分钟的次数不多于 3 次的概率18 设连续型随机变量 X 的分布函数为 试确定其中的常数 a，b，c ，d 18 市场上有 n 个 f 家生产大量同种电子产品，价格相同，其市场占有的份额比为1：2：n，第 i 个工 f 生产的元件寿命(单位：小时)服从参数为i(i0，i=1，2，n)的指数分布，规定元件寿命在 1000 小时以上者为优质品求：19 市场上该产品的优质品率 ；20 在市场上随机购买 m 件这种元件，其中至少有一件不是
6、优质品的概率21 设随机变量 X 服从正态分布 N(1， 12)，Y 服从正态分布 N(2， 22)，且P|X 1|1)P|Y 2|1，试比较 1 与 2 的大小关系22 假设随机变量 X 满足不等式 1X4，且 PX=1)=14，PX=4)=1 3，在区间(1，4)内服从均匀分布试求 X 的分布函数23 设离散型随机变量 X 的分布函数为 求 EX，DX24 随机地掷 6 枚骰子，求 6 枚骰子出现的点数之和的期望和方差25 假设一部机器在一天内发生故障的概率为 02，机器发生故障时，停止工作一天，若一周 5 个工作日里无故障可获利润 10 万元，发生一次故障仍可获利 5 万元，发生两次故障
7、所获利润为零，发生三次或三次以上故障就要亏损 2 万元，求一周内期望利润值26 某长途汽车站从整点开始每隔 30 分钟发一次车，某乘客在 8 点到 9 点时间间隔内任何一个时刻等可能的到达车站，求此乘客等车时间的数学期望27 设连续型随机变量 X 的密度函数为 已知 PX1=78，求常数 和 EX经济类专业学位联考综合能力数学基础（概率论）模拟试卷 10 答案与解析单项选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 选项 D，事件 A 与 B 互不相容，则有 AB= ，P(AB)=0，进而有 P()=1P(AB)=1，知选项 D 正确，选项 A 不正确选项 B，事件 A与 B 互不相容与事件 A 与
8、B 相互独立没有必然联系选项 B 未必成立选项 C，事件 A 与 B 互不相容是事件 A 与 B 对立的必要但非充分条件，因此，A 与 B 未必对立，选项 C 未必成立故选 D【知识模块】 概率论2 【正确答案】 B【试题解析】 选项 B，事件的独立性只能由概率公式 P(A)P(B)=P(AB)判断，仅由事件的关系是不能推断事件独立性的因此，当 AB 时，A，B 可能独立，也可能不独立，故选 B选项 A，反例：若 P(A)=15，P(B)=12，P(A|B)=23，则有 P(AB)=130，显然 AB ，但 P(A)P(B)P(AB)，A ，B 不独立，因此，A 不成立当 AB= 时，则 A，
9、B 相互独立，否则不相互独立故选项 C，D 也不成立【知识模块】 概率论3 【正确答案】 C【试题解析】 设事件 A=第一次取到正品，B=第二次取到次品，用古典概型的方法可得 P(A)=951000，由于第一次抽取正品后不放回，因此，第二次抽取是在 99 件产品(不合格品仍然是 5 件)中任取一件，所以 P(B|A)=599，由乘法公式即得 P(AB)=P(A)P(B|A)= 故选 C【知识模块】 概率论4 【正确答案】 C【试题解析】 由 PX=1=F(1)F(1 0)=1e 1 e 1 故选 C【知识模块】 概率论5 【正确答案】 B【试题解析】 选项 B，由 01dx=1，知 f(x)在
10、该区间上可能为 1 选项 A，由 0sinxdx=2，知 f(x)在该区间上不可能为 sinx 选项 C，由0xdx=1 2x 2|0=2，知 f(x)在该区间上不可能为 x 选项 D，由0dx=2，知 f(x)在该区间上不可能为 故选 B【知识模块】 概率论6 【正确答案】 B【试题解析】 解法 1 按计算离散型随机变量 X 概率分布的一般步骤随机变量 X的正概率点为1，0，1，则随机变量 Y=X21 的正概率点为 1，0，且PY=1=PX=0=13，PY=0=P(X=1 或 X=1=PX=1+PX=1=23，因此 故选 B解法 2 利用离散型随机变量 X 和随机变量函数 Y=f(X)概率分
11、布对照表解题离散型随机变量 X 和随机变量函数 Y=f(X)概率分布对照表如下：【知识模块】 概率论7 【正确答案】 B【试题解析】 由 可知 =3， 2=2，故选B【知识模块】 概率论8 【正确答案】 A【试题解析】 比较概率大小，先标准化再讨论由 p1=Px4=P 1=(1)=1(1)，p 2=PY+5=P 1=1P 1=1(1) ，所以对于任何实数 ，都有 p1=p2，故选 A【知识模块】 概率论9 【正确答案】 B【试题解析】 设 X 为独立重复试验成功的次数，由题意知， XB(100，p)，则EX=100p，DX=100p(1p)，从而有因此，当 p=12 时，成功次数的标准差最大故
12、选 B【知识模块】 概率论10 【正确答案】 A【试题解析】 求随机变量 X 的期望必须先给出 X 的密度函数由题设，可得于是 EX= +xf(x)dx=01x2dx+12x(2x)dx故选 A【知识模块】 概率论11 【正确答案】 A【试题解析】 本题首先是求线性随机变量函数的分布问题相关的结论是，线性随机变量 函数与随机变量服从同一分布类型，因此，Y=2X+1 仍服从正态分布N(， 2)，又根据正态分布的参数与其数字特征的关系，即有 EX=0，DX=1 ，从而有 =EY=2EX+11， 2=DY=4DX=4， 所以 Y=2X+1N(1 ，4)，故选 A【知识模块】 概率论12 【正确答案】
13、 B【试题解析】 由题设，X 服从参数为 的指数分布，可知 DX=1 2，于是 PX=PX1= 1 +ex dx=e x |1 +=1e故选 B【知识模块】 概率论计算题13 【正确答案】 从 10 到 99 的所有两位数中，任取一个数，总样本点数为 90设事件 A=取出的两位数能被 2 整除 ，B= 取出的两位数能被 5 整除 则所求事件取出的两位数能被 2 或 5 整除=A+B ，而 AB=取出的两位数能同时被 2 和 5 整除)显然， A 包含样本点数为 45 个，B 包含样本点数为 9951=18(个)，AB 包含样本点数为9910=9( 个 )，其中符号x表示数字的整数部分于是 P(
14、A+B)=P(A)+P(B)P(AB)【知识模块】 概率论14 【正确答案】 设 Hi(i=1，2)为第一次从第 i 批产品中抽取， A 为取到合格品，则有 P(H1)=P(H2)=12，P(A|H 1)=1，P(A|H 2)=34，即有 P(A)=P(H1)P(A|H1)+P(H2)P(A|H2)=78，从而有 P(H1|A)= =47，P(H 2|A)=1P(H 1|A)=37，又设 Ci(i=1，2) 为第二次从第 i 批产品中抽取，则有 P( )=P(C1)P( |C1)+P(C2)P( |C2)【知识模块】 概率论15 【正确答案】 甲、乙两人进行投篮比赛，从理论上来说这是一个无限延
15、续的过程，即甲、乙两人的总投篮次数 X 是一个无穷数列 1，2，依题设，甲获胜对应的事件及其概率依次为因此，甲获胜的概率为 PY=1 乙获胜的概率为PY=0=1 PY=1=7 22，所以 Y 的概率分布为【知识模块】 概率论【知识模块】 概率论16 【正确答案】 设此人每天等车超过 5 分钟的事件为 A，则由几何概型，得 P(A)=510=12 ， 于是 7 天中事件 A 发生的次数 X 服从参数为 n=7，p=12 的二项分布，其分布律为 PX=k=C 7k(12) k(12) 7k (k=0，1，2，7)【知识模块】 概率论17 【正确答案】 依题设，得 PX3= C7k(12) k(12
16、)7k =1 2【知识模块】 概率论18 【正确答案】 由连续型随机变量分布函数的性质，有 F()=a=0，F(+)=d=1，解得 a=0，d=1 又 F(x)在 x=1，x=e 处连续，有 F(1)= F(x)=c+d=0，F(e)= F(x)=be+ce+d=1，即 c+1=0，be+ce+1=1，解得 c=1，b=c=1【知识模块】 概率论【知识模块】 概率论19 【正确答案】 设事件 Ai(i=1，2，n)表示“从市场上随机抽取一件产品是第 i厂生产的”，事件 B 表示“从市场上随机抽取一件产品为优质品”显然，Ai(i=1，2，n)互不相容，其和构成样本空间 S，因此 Ai(i=1，2
17、，n)为一个完备事件组依题设，有 若记Xi(i=1，2，n)为第 i 厂生产的产品的寿命，则 P(B|Ai)=PXi1000= (i=1，2，n)，从而由全概率公式，有【知识模块】 概率论20 【正确答案】 由于产品数量较大，随机购买 m 件产品，其中所含优质品数 可近似服从参数为 m， 的二项分布 B(m，)，因此，买 m 件中至少有一件不是优质品的概率为 P m=1P=m=1 m【知识模块】 概率论21 【正确答案】 由 P|X 1|1及 P|X 1|1P|Y 2|1，有 从而有 (1 1)(1 2)，又由 (x)为单调增加函数，有 1 11 2，即 1 2【知识模块】 概率论22 【正确
18、答案】 本题随机变量同时在定点 X=1， X=4 和区间(1，4) 取正概率值，为混合型随机变量由题意，设 X 在区间(1，4)的密度函数为于是有 P1X4=PX=1+P1X 4+PX=4= +14adx=1，即有 14adx=1 =512，a=536因此，当 x1 时，F(x)=PXx=0；当 x=1 时，F(x)=PXx=1 4；当 1x4 时，F(x)=PX1+P1Xx 当 x4 时，F(x)=1从而得 X 的分布函数为【知识模块】 概率论23 【正确答案】 求随机变量 X 的期望必须先求出 X 的分布阵由题设得于是EX=10 2+003+103+20 2=05，E(X 2)=(1)20
19、2+0 203+1 203+2 202=1 3，DX=E(X 2)(EX) 2=13(05)2=105 【知识模块】 概率论24 【正确答案】 设 Xi 为第 i 枚骰子投掷出现的点数 (i=1，2，6) ，显然Xi(i=1，2，6)相互独立同分布，则 记 X 为投掷 6 枚骰子出现点数之和，则 X= Xi，由 EXi=72，E(X i2)=16(1+2 2+62)=916 ，DX i= =3512，得【知识模块】 概率论25 【正确答案】 设一周内发生故障的次数为 X，则 XB(5，02)，有 PX=0=C5002 00 850328；PX=1=C 5102 108 40410；PX=2=C5202 20 830205；PX3=1 PX=k=0057设一周内所获利润为 Y万元，则 所以EY=100328+50 410+00205+( 2)0057=5216(万元)【知识模块】 概率论26 【正确答案】 依题设，该乘客到达时间 X 在区间 0，60服从均匀分布，密度函数为 设等车时间为 Y，则于是 EY= +f(x)p(x)dx【知识模块】 概率论27 【正确答案】 由题设 PX1=7 8 知，1，否则，若 1，必有 PX1=0，与题设矛盾因此，PX 1= 1+(x)dx 解得=2从而有 EX= +x(x)dx【知识模块】 概率论
