1、经济类专业学位联考综合能力数学基础（概率论）模拟试卷 11 及答案与解析单项选择题1 甲、乙两人投篮，以 A 表示事件“甲投中，乙未投中”，则其对立事件 为( )（A）“甲未投中，乙投中”（B） “甲、乙二人均投中”（C） “甲未投中或乙投中”（D）“甲未投中 ”2 5 封信投入 4 个信箱，则某一个信箱有 3 封信的概率为( )（A）45128（B） 1564（C） 15128（D）51283 某公交起点站每隔 5 分钟就发一部车，在乘客不知情的情况下，每一名乘客到站候车时间不超过 2 分钟的概率为( )（A）15（B） 37（C） 35（D）454 设 f(x)是连续型随机变量 X 的密度
2、函数，F(x)为其分布函数，则( )（A）0f(x)1（B） PX=x=f(x)（C） PX=x)F(x)（D）PX=x=F(x)5 设 f1(x)，f 2(x)分别为区间1，2和2，4上均匀分布的概率密度，若 f(x)=(a0， b0) 为概率密度，则 a，b 应满足( ) （A）a+3b=3（B） a+b=1（C） 3a+b=3（D）3a+2b=16 离散型随机变量 X 的分布函数为 则( )（A）PX=1 5=04（B） P0X1=4（C） PX 3=04（D）P1X 3=047 设随机变量 X 服从正态分布 XN(2，2 2)，且 aX+bN(0，1)，则 a，b 取值为( )（A）a
3、= 1 2，b=1（B） a=12，b=1（C） a=12，b=1 或 a=12，b=1（D）a=1 2 ，b=148 设随机变量 X 服从正态分布 N(， 2)，F(x)是 X 的分布函数，若对于任意实数，总有 F()+F()=1，则必有( )（A）=0， 2=0（B） =0， 2=1（C） =0， 为任意正常数（D）=1， 为任意正常数9 某项试验成功的概率为 p，设随机变量 X 为重复进行该项试验直到成功所需要的次数，则 EX=( )（A）p（B） 1p（C）（D）1p10 设随机变量 X 的密度函数为 且 EX=1，则 a，b 分别为( )（A）3，1（B） 4，2（C） 6，2（D）
4、6，411 设随机变量 XN(1，2)，Y=2X+3 ，则 PY1( )（A）12（B） =12（C） 12（D）的大小不能确定12 设随机变量 X1，X 2 相互独立，且分别服从参数为 1， 2 的指数分布，则下列结论正确的是( ) （A）E(X 1+X2)=1+2（B） D(X1+X2)=1+2（C） D(X1+X2)=（D）X 1+X2 服从参数为 1+2 的指数分布计算题13 k 个口袋中均装有 n 个球，编号为 1，2，n，现从每个口袋中各取一个球，求所取 k 个球中编号最大为 m(1mn)的概率14 甲、乙两人射箭比赛，约定比赛轮流进行，甲先射，甲每轮只射一次，而乙每轮射 2 次，
5、先射中者为胜已知甲、乙每次射中的概率分别为 p，05，且每人射中与否相互独立，问 p 为何值时，甲、乙两人胜率相同15 设随机变量 X1，X 2，X 3，X 4 相互独立且同分布，Xi ，i=1，2，3，4，求行列式 X= 的概率分布15 一本书有 500 页，共有 500 个错，每个错误都等可能出现在每一页上(设该书每页有 500 个印刷符号)16 求在第 100 页出现错误个数的概率分布；17 第 100 页上至少有 3 个错的概率18 设随机变量 X 的分布函数为 求常数 a，b 及概率P|X|219 某种型号电池的寿命 X 近似服从正态分布 N(， 2)，已知其寿命在 250 小时以上
6、的概率和寿命不超过 350 小时的概率均为 9236，为使其寿命在 x 和 +x之间的概率不小于 09，x 至少为多大?(143)=09236，(1 645)=0 95)19 已知某批建筑材料的强度 X 服从 N(200，18 2)，现从中任取一件时，求20 取得的材料的强度不低于 180 的概率；21 如果所用材料以 99的概率保证强度不低于 150，问这批材料是否符合这个要求(111)=08665，(278)=09973)22 设随机变量 X 与 Y 相互独立，其中 X 的概率分布为 X ，而 Y 的概率密度为 f(x)，求随机变量 U=X+Y 的概率密度 g(x)23 甲、乙两个射手，他
7、们的射击技术如下表所示：试用随机变量的数字特征分析两位射手的射击水平24 箱中装有十只电子元器件，其中有两只废品装配仪器时，从中任取一只，如果是废品，则扔掉再重新任取一只，如果还是废品，则扔掉再重新任取一只试求在取到正品之前已取得的废品数的概率分布、数学期望和方差25 设 X 为连续型随机变量，其密度函数为 求 E(|XEX|)26 点 P 随机地落在圆心在原点半径为 R 的圆周上，并对弧长服从均匀分布，求落点 P 的纵坐标的数学期望与方差27 设连续型随机变量 X 的密度函数为 已知EX=05，DX=015，求常数 a，b，c经济类专业学位联考综合能力数学基础（概率论）模拟试卷 11 答案与
8、解析单项选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 若以 A1 表示事件“甲投中”，A 2 表示事件“乙未投中”，则事件A=A1A2，对立事件为 表示“乙投中”，因此，A 的对立事件 为“甲未投中或乙投中 ”，故选 C【知识模块】 概率论2 【正确答案】 A【试题解析】 5 封信投入 4 个信箱，每封信都有 4 种投递选择，总样点数为 45，某一个信箱有 3 封信，意味着从 4 个信箱中先取出一个，从 5 封信中取出 3 封信投入其中，剩下的 2 封信可随机投入余下的 3 个信箱，共含样本点数为 C41C5332，因此，所求事件的概率为 C 41C53324 5=45128， 故选 A【知识模块】
9、 概率论3 【正确答案】 B【试题解析】 设事件 A=每一名乘客到站候车时间不超过 2 分钟，由于乘客可以在两辆公交车发车的时间间隔内任何一个时间点到达车站，因此，乘客到达车站的时刻 t 可以是均匀地出现在长为 5 分钟时间，即区间(0，5的一个随机点，设=(0，5 又设前、后两辆车出站时间分别为 T1，T 2，则线段 T1T2 长度为 5(如图373)，即 L()=5T 0 是线段 T1T2 上的一点，且 T0T2 长为 2显然，乘客只有在 T0 之后到达(即只有 t 落在线段 T0T2 上)，候车时间才不会超过 2 分钟，即L(A)=2，因此 P(A)=L(A)L()=25故选 B【知识模
10、块】 概率论4 【正确答案】 C【试题解析】 首先，密度函数 f(x)不是概率，只是描绘连续型随机变量概率分布密集程度的度量，因此只要求函数值非负，但不要求 f(x)1其次，PX=x是连续型随机变量在一单点 x 的概率，由连续型随机变量在任何单点 X=x 的概率均为零，有 PX=x=0另外，分布函数 F(x)是概率，即 F(x)=PXx，所以总有 0F(x)1，综上可得，PX=x=0F(x)恒成立，故选 C【知识模块】 概率论5 【正确答案】 A【试题解析】 依题设又 f(x)为概率密度，则应同时满足 f(x)0 和 +f(x)dx=1，于是有 +f(x)dx= 0af1(x)dx+0+bf2
11、(x)dx=a1 013dx+b 2412dx= +b=1，解得 a+3b=3，故选 A【知识模块】 概率论6 【正确答案】 D【试题解析】 选项 D，随机变量 X 在区间1，3)内含正概率点为 1，于是P1X3=PX=1=F(1)F(10)=0804=04选项 A，PX=15=PX15PX15=0808=0选项 B，随机变量 X 在区间0，1)内不含正概率点，于是 P0X1=0选项 C，随机变量 X 在区间(，3)内含正概率点为1，1，于是PX3=PX= 1+PX=1=04+04=0 8故选 D【知识模块】 概率论7 【正确答案】 C【试题解析】 正态分布的标准化，有两种解法解法 1 利用正
12、态分布标准化公式，即由 XN(2，2 2)，有 N(0 ，1)，得 a=12，b=1同时有 N(0，1) ，得 a=12，b=1故选 C解法 2 利用正态分布参数与其数字特征关系，有 E(aX+b)=aEX+b=2a+b=0，D(aX+b)=a 2DX=4a2=1，解得a= 1 2，b=1 或 a=12，b=1故选 C【知识模块】 概率论8 【正确答案】 C【试题解析】 对于连续型随机变量 X，当且仅当其密度函数 f(x)为偶函数时，分布函数 F(x)满足等式 F()+F()=1因此正态分布 N(， 2)当且仅当在 =0 时，才能满足等式 F()+F()=1，而且结论与 2 的取值无关，故选
13、C【知识模块】 概率论9 【正确答案】 D【试题解析】 依题设可知，X 服从参数为 p 的几何分布，概率分布为 PX=k=(1p) k1 p，k=1，2，因此 EX= k(1p) k1 p=p (1p) k故选 D【知识模块】 概率论10 【正确答案】 C【试题解析】 由题设，知 +f(x)dx=01(ax+b)dx= a+b=1，EX= +xf(x)dx=01(ax2+bx)dx 以上两式联立，得方程组故选 C【知识模块】 概率论11 【正确答案】 B【试题解析】 根据线性随机变量函数的性质，Y=2X+3 仍服从正态分布 N(， 2)，又根据正态分布的参数与其数字特征的关系，即有=EY=2E
14、X+3=1， 2=DY=22DX=8，从而有 Y=2X+3N(1，8)，所以 PY1=()=(0)=12故选 B【知识模块】 概率论12 【正确答案】 C【试题解析】 若 X 服从参数为 的指数分布，则 DX=1 2，于是，由 X1，X 2 相互独立，有 D(X1+X2)=DX1+DX2= ，故 B 错误，C 正确，应选 C选项 A，若 X 服从参数为 的指数分布，则 EX=1，因此，E(X 1+X2)= 选项 D，指数分布不具备如泊松分布及正态分布类似的性质，即在相互独立的条件下，两个同服从于指数分布的随机变量之和不一定也服从于指数分布【知识模块】 概率论计算题13 【正确答案】 每个 袋取
15、一个球有 n 种可能，从 k 个 袋同时取球，共有 nk 种可能，即总样本点为 nk又所取 k 个球中最大编号不超过 m，即每个 袋只能从编号为 1 到 m 的球中取到，共有 mk 种可能，但其中包含取不到最大编号为 m 的球的情况，共有(m1) k 种可能，应减去即所取 k 个球中最大编号为 m 的事件含样本点数为 mk(m1) k因此所求概率为【知识模块】 概率论14 【正确答案】 设 Ak，B k 分别表示甲、乙第 k 次射中，且 k 表示甲、乙两人射箭的总次数，A 表示甲胜，于是 A=A1+ A7+，从而有P(A)=P(A1)+P( A7)+=p+(1p)(05) 2p+(1p)2(0
16、5) 4p+=p1+025(1p)+025(1p) 2+ 若要甲、乙胜率相同，应有 =12，即 p=37【知识模块】 概率论15 【正确答案】 解法 1 引入中间变量，分层处理记 Y1=X1X4，Y 2=X2X3，易见，Y1，Y 2 独立同分布由 Y1=0，1，则 PY1=1=PX1=1，X 4=1=PX1=1PX4=1=016 ，PY 1=0=1PY 1=1=084，即有又 X=Y1Y 2=1，0，1，则 PX=1=PY1=0，Y 2=1=PY1=0PY2=1=084016=01344，PX=1=PY1=1，Y 2=0=PY1=1PY2=0=084016=01344，PX=0=1PX= 1P
17、X 1=120 1344=07312 所以行列式的概率分布为解法 2 直接利用计算离散型随机变量概率分布的三步法由于 X1，X 2，X 3，X 4 相互独立且同服从 01 分布，易知 X=1，0，1，且 PX=1=PX=1 ，PX=1=PX 1=0X4=0X2=1X3=1=PX1=0X4=0PX2=1PX3=1=(10404)0404=01344，PX=1=PX= 1=0 1344 ，PX=0=1 PX=1PX=1=0 7312所以行列式 X 的概率分布为【试题解析】 本题中，X 是由 4 个随机变量 X1，X 2，X 3，X 4 的运算式组成，如果直接套用一般的计算模式，即解法 2，就显得较
18、为繁琐解法 1 所采用的是根据X1，X 2，X 3，X 4 运算的层次结构，引进中间变量 Y1=X1X4，Y 2=X2X3，将运算分为先求出 Y1，Y 2 的分布，再求 X=Y1Y 2 的分布两个步骤，看似复杂，但实际更为简便其中用到了 X1，X 2，X 3，X 4 独立同分布，则 Y1，Y 2 也独立同分布的性质【知识模块】 概率论【知识模块】 概率论16 【正确答案】 设 X 为第 100 页出现错误的个数， X=0，1，2，500由于每个错误都等可能出现在每一页上，故每个错误出现在第 100 页上概率为1500，且每个错误出现在第 100 页的可能性相互独立，因此 X 服从二项分布B(5
19、00，1500)，其概率分布为 PX=k=C 500k(1500) k(499500)500k ，k=0，1，2，500【知识模块】 概率论17 【正确答案】 第 100 页上至少有 3 个错的概率为 PX3=1PX=0 PX=1PX=2=1 C500k(1 500)k(499500) 500k 008【知识模块】 概率论18 【正确答案】 根据分布函数的性质，有 F(+)= (a+bex )=1，得a=1又 F(x)在 x=0 处右连续，有 (a+bex )=a+b=0，得 b=1所以从而有 P|X|2=P2x2=F(2 0)F( 2)=1e 2 0=1e 2 【知识模块】 概率论19 【正
20、确答案】 由 PX250=PX350根据正态分布的密度函数关于 x= 对称，有 = =300，又由 PX350=P =(50)=09236 ，得 50=143，于是 3497故 XN(300，3497 2)，又PxX +x=P| |x=2(x )109，即 (x)192=0 95，得 x1645，于是 x164534975753【知识模块】 概率论【知识模块】 概率论20 【正确答案】 PX180=1PX180=1( )=(111)=08665【知识模块】 概率论21 【正确答案】 PX150=1PX150=1( )=(278)=09973 结果表明，从这批材料中任取一件，以 9973(大于
21、99)的概率保证强度不低于 150，故这批材料符合要求【知识模块】 概率论22 【正确答案】 根据分布函数法，由全概率公式有G(u)=PUu=PX+Yu=PX=1PX+Yu|X=1+PX=2PX+Yu|X=2=03PYu1+07PYu2=03F(u1)+0 7F(u 2)所以随机变量 U 的概率密度为g(x)=G(u)=03f(u1)+07f(u 2)【知识模块】 概率论23 【正确答案】 设甲、乙两个射手各自击中的环数分别为 X，Y ，依题设，其分布阵分别为 得EX=803+90 1+1006=93，EY=802+903+1005=93，E(X 2)820 3+9201+10 206=873
22、，E(Y 2)=820 2+9203+10 205=87 1，从而得 DX=87393 2=081，DY=87 193 2=061由此可知，两位射手射击的平均环数相同，旗鼓相当，但从方差的角度观察，乙射手射击的着弹点分布偏离均值的程度较低，密集程度较高，总体水平略高于甲射手【知识模块】 概率论24 【正确答案】 记 X 表示在取到正品之前已取得的废品数， X 可能出现的正概率点数为 0，1，2，于是 PX=2=1 =145，DX=E(X2)(EX) 2=88 405【知识模块】 概率论25 【正确答案】 由 EX= +xf(x)dx=01x2dx+12x(2x)dx 有E(|XEX|)=E(|
23、X 1|)= +|x1|f(x)dx= 01|x1|xdx+ 12|x1|(2x)dx= 01(1x)xdx+12(x1)(2x)dx= 02(1x)xdx+2 12(x1)dx=13【知识模块】 概率论26 【正确答案】 设落点 P 距点(R，0)的弧长为 S，依题设，S 的密度函数为如图 392 所示，S=R，其中 为 OP 与 x 轴的夹角(逆时针方向) ，点 P 的纵坐标 Y=Rsin=RsinSR因此DY=E(Y2)(EY) 2=R22，其中02sin2xdx=402 sin2xdx【知识模块】 概率论27 【正确答案】 由题设，有 +(x)dx=01(ax2+bx+c)dx EX= +x(x)dx=01(ax3+bx2+cx)dx E(X2)= +x2(x)dx=01(ax4+bx3+cx2)dx DX=E(X2)(EX) 2 联立上式，得方程组 求解方程组，解得 a=12，b=12，c=3【知识模块】 概率论
