1、经济类专业学位联考综合能力数学基础（概率论）模拟试卷 5 及答案与解析单项选择题1 射击三次，A i(i=1，2，3)表示第 i 次命中目标，则下列事件中表示至少命中一次的是( )（A）A 1+A2+A3A 1A2A 1A3A 2A3+A1A2A3（B） A1+(A2A 1)+(A3A 1A 2)（C） A1 A3（D）2 设 A，B，C 为三个随机事件，且 P(AB)=P(A)+P(B)，0P(C) 1，则下列结论中不一定正确的是( ) （A）P(AB|C)=P(A|C)+P(B|C)（B） P(AB| )（C） P(ACBC)=P(AC)+P(BC)（D）A，B 互不相容3 5 双不同尺码
2、的鞋，从中任取 4 只，则其中恰好有 2 只能配对的概率为( )（A）23（B） 47（C） 310（D）274 设连续型随机变量 X 的密度函数为 f(x)，且 f(x)=f(x)，F(x) 是 X 的分布函数，则对于任意实数 ，有( )（A）F()=1 0f(x)dx（B） F()=F()（C） F()= +f(x)dx（D）F()=2F()15 设连续型随机变量 X 的密度函数为 f(x)=a ，则 a=( )（A）e 14（B） e12（C） e12（D） e 146 通过某交叉路口的汽车流可以看作服从泊松分布已知在 1 分钟内没有汽车通过的概率为 02，则 1 分钟内有超过 1 辆汽
3、车通过的概率是( )（A）02(4ln5)（B） 02(4ln4)（C） 02(3ln4)（D）02(3ln3)7 若随机变量 X 服从正态分布 N(2， 2)，且 P2X4=03，则 PX0=( )（A）02（B） 03（C） 05（D）078 设离散型随机变量 X 的分布函数为 则 EX=( )（A）29（B） 17（C） 12（D）089 随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，且已知 E(X1)(X 2)=2，则 =( )（A）0（B） 1（C） 2（D）410 已知连续型随机变量 X 与 y 有相同的密度函数，且 X 的密度函数为Ea(X+2Y)=1 ，则 a=( )（A）23（B）
4、12（C） 13（D）1611 设随机变量 X 服从正态分布 N(5，4)，若 aX bN(0，1)，则 a，b 分别为( )（A）12，52（B） 12，52（C） 12，52（D）12，52 或12，5212 设 X 是随机变量，EX=，DX= 2(， 0，为常数 )，则对任意常数 C，必有( )（A）E(XC) 2=EXC 2（B） E(X C)2=E(X) 2（C） E(X C)2E(X) 2（D）E(XC) 2E(X) 2计算题12 设有 n 个不同的质点，每个质点等可能地落到 N(nN)个格子中的每个格子里，假设每个格子容纳质点数是没有限制的试求下列事件的概率：13 A=某指定的
5、n 个格子中各有一个质点 ；14 B=任意 n 个格子中各有一个质点；15 C=指定的一个格子中有 m(mn)个质点 16 从 52 张扑克牌(大小王除外)中任取 5 张，求下列事件的概率： (1)A 1=有 4 张点数相同 ； (2)A 2=其中 3 张点数相同另 2 张点数也相同 ； (3)A 3=5 张同花 17 甲、乙两人射击，甲击中目标的概率为 80，乙击中目标的概率为 70，两人同时射击，两人是否击中目标相互独立，求：(1)甲、乙两人都击中的概率；(2)甲、乙两人至少有一人击中的概率；(3)甲、乙两人恰有一人击中的概率；(4)甲、乙两人都没有击中的概率18 求下列系统(如图 371
6、)的可靠度，假设编号为 i 的元件的可靠度为 pi，各个元件是否正常工作相互独立19 某产品共 15 件，其中有次品 2 件，从中任取 3 件，若用 X 表示“ 抽取的产品中所含次品件数” ，求 X 概率分布，并计算 PX1，P1X 220 设连续型随机变量 X 的密度函数为 (1)试确定常数 a 的值；(2)如果 Paxb=1 2，确定常数 b 的值21 从某市一所大学到火车站，有两条路可走，第一条线路穿市区，路程较短，但交通拥挤，所需时间(单位：分钟)服从正态分布 N(50，10 2)；第二条线路绕环路，路程较长，但阻塞少，所需时间服从正态分布 N(60，4 2)，如果有 65 分钟可用，
7、问走哪一条线路较好?22 有 5 封信随机投入 4 个信箱，设 X 为第 2 个信箱可能投入的信件数量，求EX22 一辆汽车沿一街道行驶，需要通过三个设有红绿灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿灯显示时间相等，以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数求：23 X 的概率分布；24 E( )25 设 X 为离散型随机变量，且 求 E(|X|)，E(e X1)26 在长为 a 的线段 AB 上任取两点 C，D，试求线段 CD 长度的平均值27 两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自行开
8、动试求两台记录仪无故障工作的总时间 T 的数学期望和方差28 设 X1，X 2，X n(n2)为独立同分布的随机变量，且均服从正态分布 N(0，1)，记 Xi，Y i=Xi ，i=1，2，n，求 Yi 的方差 DYi，i=1 ，2，n经济类专业学位联考综合能力数学基础（概率论）模拟试卷 5 答案与解析单项选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 用排除法射击三次，事件 Ai(i=1，2，3)表示第 i 次命中目标，则A1+A2+A3 表示至少命中一次的事件，要选择的是与之等价的选项从选项形式容易看出，选项 A 将概率的加法运算公式与事件的运算混淆了；选项 C 表示仅有一次命中；另若从运算角度判断
9、，A 1+A2+A3= 与选项D 不一致，即选项 A，C，D 均不正确，由排除法，应选 B【知识模块】 概率论2 【正确答案】 D【试题解析】 在无条件下，有概率的加法运算式 P(AB)=P(A)+P(B)，在 C 发生或 C 不发生条件下，等式结构不变，因此有 P(AB|C)=P(A|C)+P(B|C)或 P(AB|)又由概率的加法公式及 P(AB)=P(A)+P(B)，可得 P(AB)=0，即有 P(ABC)=0，从而有 P(ACBC)=P(AC)+P(BC)P(ABC)=P(AC)+P(BC)，故由排除法，应选 D【知识模块】 概率论3 【正确答案】 B【试题解析】 10 只鞋从中任取
10、4 只，共有 C104 种取法，即总样本点数为 C10410只鞋按不同层次分为 5 双鞋，每双有 2 只，从 4 只鞋中配成的一对，必然是 5 双鞋之中的 1 双，然后剩下 2 只可看作从余下的 4 双鞋中取出 2 双，又在每双中各取 1只，共含样本点数为 C51C42C21C21 或 C51C41C21C31C112，于是，所取的 4 只鞋中恰好配成一对的概率为 C51C42C21C21C 104=47 或 =47故选B在超几何分布概型中确定所求事件的样本点数量时有重复计算的可能，如本题中，用 C51C41C21C31C11 表示“所取 4 只中恰好有 2 只能配对”的样本点数，表面上看，先
11、从 5 双之中取出已配对的 1 双鞋，再从余下的 4 双鞋中取出 1 双，然后从中任取 1 只，最后再从剩下的 3 双鞋任取 1 双，再从中任取 1 只，即可以描述事件实际上有重复，比如先取 1 双红色鞋，从中取 1 只，再取 1 双黑色鞋，从中取1 只，以及先取 1 双黑色鞋，从中取 1 只，再取 1 双红色鞋，从中取 1 只都表示两只成单的鞋，1 红 1 黑，与选取的先后次序无关，而在用 C51C41C21C31C11 表示事件时是看作两个样本点，因此，正确的做法要再除以 2总之超几何分布是组合问题而不是排列问题【知识模块】 概率论4 【正确答案】 C【试题解析】 如图 381 所示，由对
12、称性，有 F()= f(x)dx=+f(x)dx，从而有 0+f(x)dx=0f(x)dx+f(x)dx=0f(x)dx+F()=12，因此有 F()= 0f(x)dx易知，同样有结论：F()+F()=1显然，选项 A，B，D 均不正确，故选 C【知识模块】 概率论5 【正确答案】 C【试题解析】 由 +f(x)dx=1，有解得 a= e12 ，故选 C【知识模块】 概率论6 【正确答案】 A【试题解析】 依题设，1 分钟内汽车通过数 X 服从参数为 的泊松分布，且PX=0=0 0!e =02，得 =ln5，因此 PX1=1PX=0)PX=1=1 0 2 eln02 =02(4ln5)，故选
13、A【知识模块】 概率论7 【正确答案】 A【试题解析】 由 XN(2， 2)，则 P2X4=PX4PX2得 (2)=08，所以 PX0=()=1(2)=108=02故选 A【知识模块】 概率论8 【正确答案】 A【试题解析】 求随机变量 X 的期望必须先给出 X 的分布阵由题设于是 EX=102+20 3+505=29，故选 A【知识模块】 概率论9 【正确答案】 C【试题解析】 由题设，EX=DX= 从而有 E(X 1)(X2)=E(X 23X+2)=E(X 2)3EX+2 =DX+(EX) 23EX+2= 22+2=2， 求解方程 22=0，解得 =2(=0不符合题意，舍去)，故选 C【知
14、识模块】 概率论10 【正确答案】 B【试题解析】 由于 X 与 Y 同分布，因此 EX=EY，于是 Ea(X+2Y)=a(EX+2EY) =3aEX=3a +x(x)dx=3a01 2x22dx =3a23x 32|01 =2a=1， 解得a=12 ，故选 B【知识模块】 概率论11 【正确答案】 D【试题解析】 由题设，得 E(aXb)=aEXb=5a b=0，D(aXb)=a 2DX=4a2=1，解得 a=1 2，b=5a=52故选 D【知识模块】 概率论12 【正确答案】 D【试题解析】 由性质，知 E(2)=D+(F)2，则 当 =XC 时，E(XC) 2=D(XC)+E(XC) 2
15、=2+(C) 2； 当 =X 时，E(X) 2=D(X)+E(X) 2=2 从而有 E(XC) 2E(X) 2，故选 D【知识模块】 概率论计算题【知识模块】 概率论13 【正确答案】 事件 A 发生的有利落人法，应该是 n 个质点在指定的 n 个格子中排列，共有 n!种不同的落入法，于是事件 A 包含的样本点数 mA=n!，则 P(A)=n!N n【知识模块】 概率论14 【正确答案】 事件 B 发生的有利落入法，应该是先从 N 个格子中取出 n 个，然后再将 n 个质点在指定的 n 个格子中排列，共有 n!种不同的落入法，于是事件 B包含的样本点数 mB=CNnn!，则 P(B)=C Nn
16、n!N n【知识模块】 概率论15 【正确答案】 事件 C 发生的有利落入法，应该是先从 n 个质点任取 m 个质点放入指定的格子里，共有 Cnm 种不同的落入法，然后剩下的 nm 个质点随意落入其余的 N1 个格子中，共有(N1) nm 种不同的落入法，于是事件 C 包含的样本点数 mC=Cnm(N1) nm ，则【知识模块】 概率论16 【正确答案】 从 52 张扑克牌中任取 5 张，总样本点数为 C525，若按点数抽取，共有 13 个点，每个点数有 4 张牌，若按花色抽，共有 4 个花色，每个花色有 13 张牌 (1)A 1=有 4 张点数相同 ，因此可以从点数相同的 13 个点中先取出
17、一个点，剩下的 1 张牌从剩下的 48 张牌任选一张，于是 P(A 1)=C131C481C 525=14165 (2)A2=其中 3 张点数相同另 2 张点数也相同 ，因此可以从点数相同的 13 个点中先取出一个点，并从中任取 3 张，再从剩下的 12 个点中先取出一个点，再从中任取 2 张，于是 P(A 2)=C131C43C121C42C 525=64165 (3)A 3=5 张同花，因此可以从 4 个花色中先取出一个，并从中任取 5 张，于是 P(A 3)=C41C135C 525=3316660【知识模块】 概率论17 【正确答案】 设事件 A=甲击中目标 ，B= 乙击中目标 ，则
18、P(A)=08，P(B)=07 (1)甲、乙两人都击中的概率为 P(AB)=P(A)P(B)=0807=056(2)甲、乙两人至少有一人击中的概率为 P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)+P(B) P(A)P(B)=08+07 0807=094(3) 甲、乙两人恰有一人击中的概率为 P(A)P(B)=0803+0207=038(4)甲、乙两人都没有击中的概率为 P()=0203=006【知识模块】 概率论18 【正确答案】 由题设，系统由三个元件串(并)联构造的三个子系统并(串)联而成若设 Ai(i=1，2，3)表示“编号为 i 的元件正常工作”，B i(i=1，2，3)表示“
19、参与并联的编号为 i 的子系统正常工作”，于是其中每个子系统的可靠度为 P(Bi)=P(A1A2A3)=p1p2p3，i=1 ，2，3，故系统(a)的可靠度为 P(B1+B2+B3)=P(B1)+P(B2)+P(B3) P(Bi)P(Bj)+P(B1)P(B2)P(B3)=3p1p2p3 3(p1p2p3)2+(p1p2p3)3系统(b)中，子系统 1 和 3 的可靠度分别为 P(B1)=P(A1)=p1，P(B 3)=P(A1)=p1，子系统 2 可靠度为 P(B2)=3P(A2)3P(A 2)2+P(A2)3=3p23p 22+p23，于是系统(b)的可靠度为P(B1B2B3)=P(B1)
20、P(B2)P(B3)=p13(3p23p 22+p23)【知识模块】 概率论19 【正确答案】 依题设，X 服从参数为 15，2，3 的超几何分布，即其概率分布为PX=k=C2kC133k C 153(k=0，1，2)并有 PX1=1PX=2P1X2=PX=1=C 21C132C 153=1235【知识模块】 概率论20 【正确答案】 (1)依题设，有 +f(x)dx=a+ dx=2arctanx| a+=1 arctana=1，解得 a=0(2)由(1) 可得解得 b=1【知识模块】 概率论21 【正确答案】 设 X 为行车时间，如果走第一条线路，则 XN(50，10 2)，及时赶到的概率为
21、 Px65=( )=(15)如果走第二条线路，则XN(60 ，4 2)，及时赶到的概率为 Px65=( )=(125)显然，走第一条线路更有把握及时到达【知识模块】 概率论22 【正确答案】 投信问题为古典概型，总样本点数为 45，X 正概率点为0，1，5于是 PX=0=354 5；PX=1=C 51344 5；PX=2=C52334 5； PX=3=C53324 5；PX=4=C 5431 45；PX=5=C 55304 5因此【知识模块】 概率论【知识模块】 概率论23 【正确答案】 X 可能出现的正概率点数为 0，1 ，2，3，设 Ai 表示“ 汽车在第 i个路口首次遇到红灯” ，则 P
22、(Ai)=P( )=12，i=1，2，3，且 A1，A 2，A 3 相互独立于是 PX=0=P(A1)=12，【知识模块】 概率论24 【正确答案】 【知识模块】 概率论25 【正确答案】 将随机变量 X 的正概率点、对应点随机变量函数的函数值及概率分布列表如下：从而有 E(|X|)=1(05+0 3)+002=08，E(e X1)=(e 1 1)05+00 2+(e 1)03=05e 1 +03e 08【知识模块】 概率论26 【正确答案】 将 AB 置于 x 轴，A 为原点，点 C，D 的坐标分别设为 X，Y，知0Xa，0Ya，CD 长度为随机变量 L=|XY|显然(X ，Y)服从二维均匀
23、分布，如图 391 所示，不难计算 L 的分布函数为 F(l)=PLl=P|XY|l从而得 L 的密度函数为因此可得所求线段 CD 长度的平均值为EL= +lf(l)dl=a2 0al(1 )dl=a3【知识模块】 概率论27 【正确答案】 以 X1 和 X2 表示先后开动的记录仪无故障工作的时间，则T=X1+X2，由条件知 Xi(i=1，2)的概率密度为 两台仪器无故障工作时间 X1 和 X2 显然相互独立故有ET=EX1+EX2 DT=DX1+DX2【知识模块】 概率论28 【正确答案】 由于 X1，X 2，X n(n2)为独立且同服从正态分布 N(0，1)的随机变量，因此有 DXi=1(i=1，2，n)，又式中 Xi 与 Xk(k=1，2，n，ki)相互独立，即有【知识模块】 概率论
