1、经济类专业学位联考综合能力数学基础（概率论）模拟试卷 7 及答案与解析单项选择题1 设 A，B 为两个事件，且 P(AB)=0，则( )（A）A 与 B 互斥（B） AB 是不可能事件（C） AB 未必是不可能事件（D）P(A)=0，P(B)02 设 A，B 为两个随机事件，若 P(AB)=P( )，且 P(A)=p，则 P(B)=( )（A）1p（B） p（C） (1p)p（D）03 口袋中有 3 个白球 2 个黑球，某人连续地从中有放回地取出 1 球，则此人第 5 次取球时恰好是第二次取出黑球的概率为( )4 设 F(x)为随机变量 X 的分布函数，则 PaXb=( )（A）F(b)F(a
2、)（B） F(b0)F(a)（C） F(b)F(a0)（D）F(b0)F(a0)5 设 F1(x)，F 2(x)为两个分布函数，其相应的密度函数 f1(x)，f 2(x)是连续函数，则下列函数必为密度函数的是( )（A）f 1(x)f2(x)（B） f1(x)+f2(x)（C） f1(x)F2(x)（D）f 1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)6 已知离散型随机变量 X 的正概率点为 0，1，3，每个取值点的概率呈现为等差数列，即为 X ，则常数 a，d 应满足的条件是( )7 随机变量 X 的概率密度为 以 Y 表示对 X 的独立重复观察 4 次事件X12出现的次数，则 PY=2)=(
3、)（A）2764（B） 27128（C） 964（D）91288 设随机变量 X，Y 相互独立，其分布函数分别为 FX(x)，F Y(y)，记 Z=maxX，Y，则 Z 的分布函数为( )（A）1 F X(x)1F Y(y)（B） 1F X(x)FY(y)（C） 1F X(x)F Y(y)（D）F X(x)F Y(y)9 设随机变量 X 的分布阵为 则 EX=( )（A）不存在（B） 2（C） 3（D）410 若一个圆的直径 X 服从区间2，3上的均匀分布，则该圆面积的数学期望为 ( )（A）193（B） 196（C） 1912（D）194811 设 EX，DX，EY ，DY 分别为随机变量
4、X，Y 的数学期望和方差，下列结论正确的是( ) （A）若连续型随机变量 X 的密度函数关于 Y 轴对称，则 EX=0（B）若 X，Y 同分布，则 D(X+Y)=DX+DY（C） E(XD)=EXEY（D）E(X EY)=EXEY12 设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN(1，2)，Y N( 1，3)，则 X+Y 服从的分布为( ) （A）N(1 ，5)（B） N(0，5)（C） N(0，13)（D）不确定13 设随机变量 Xij(i，j=1，2)独立同分布，EX ij=2，Y= ，则数学期望 EY=( )（A）0（B） 1（C） 2（D）4计算题14 设 A，B，C 是三个随机事件，且P(
5、A)=P(B)=P(C)=14，P(AB)=P(BC)=0 ，P(AA)=18，求 A，B，C 中至少有一个发生的概率15 在十件产品中有四件是不合格品，从中任取两件，已知所取的两件中至少有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率16 设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别为 310，15，110，25如果他乘飞机来，不会迟到，而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别为 14，13，112已知此人迟到，试推断他是乘什么交通工具来的?17 设随机变量 X 的分布律为 PX=1=14，PX=0=12，PX=1=1 4， 求Y=X2 的分布阵17 设连续型随机变量 X
6、的分布函数为 求：18 常数 A，B；19 X 的密度函数 f(x)；20 Pa2 Xa221 设随机变量 X 在区间0，10)内均匀取值，求 X 的分布函数及其图形22 设连续型随机变量 X 的密度函数为 求 Y= 的密度函数23 某企业预测，未来 3 年每年经营状况有三种可能性，一是以 030 的概率出现利润增长 109，二是以 040 的概率出现利润增长 2，三是以 030 的概率出现利润减少 4而且每年经营状况相互独立若设企业初始利润为 M，求三年后该企业利润 L 的期望24 设连续型随机变量 X 的密度函数为 求E(min|X|，1) 25 已知 X 的密度函数为 对 X 重复观察
7、4 次，用 Y 表示观察值大于 3 出现的次数，求 E(Y2)26 已知随机变量 X，Y 相互独立，且都服从泊松分布，又知 EX=2，EY=3 ，求E(XY) 2经济类专业学位联考综合能力数学基础（概率论）模拟试卷 7 答案与解析单项选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 一般地，由 P(AB)=0，推不出 AB= ，从而可以排除选项 A 和选项B由 P(AB)=0，也未必有 P(A)=0，P(B)=0例如事件 A，B 分别表示投掷硬币出现正面、反面，则有 P(A)=12，P(B)=12，但 P(AB)=0因此由排除法，应选C【知识模块】 概率论2 【正确答案】 A【试题解析】 由 P(AB)
8、=P( )=1P(A+B)=1 P(A)P(B)+P(AB)，得 P(B)=1P(A)=1 p故选 A【知识模块】 概率论3 【正确答案】 C【试题解析】 由题可知，第 5 次取球，恰好是第二次取出黑球，则第 5 次取出一个黑球，符合几何分布特点，同时意味着前 4 次取球，有一次取到黑球，符合伯努利概型的特点，则所求概率为 P=C4125(1 ，故选 C【知识模块】 概率论4 【正确答案】 C【试题解析】 选项 C，由定义式 F(x)=PXx，知 F(a0)=PXa，其中F(a0)= F(x)，有 PaXb=PXbPXa=F(b) F(a 0)选项 A，F(b)F(a)=PaXb选项 B，F(
9、b0)F(a)=Pa Xb选项 D，F(b0)F(a0)=PaXb故选 C【知识模块】 概率论5 【正确答案】 D【试题解析】 选项 D，由 +f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)dx = +dF1(x)F2(x)=F1(x)F2(x)| +=1， 及 f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)0，知 D 正确 选项 A，由 +f1(x)dx=1， +f2(x)dx=1 推不出 +f1(x)f2(x)dx=1，A 错误 选项 B， +f1(x)+f2(x)dx= +f1(x)dx+ +f2(x)dx=21，B 错误 选项 C， +f1(x)F2(x)dx=F1(x)F2(x)| + +f
10、2(x)F1(x)dx1，C 错误 故选 D【知识模块】 概率论6 【正确答案】 C【试题解析】 由离散型随机变量 X 的分布列的性质，常数 a，d 应满足的条件是a=d+a+a+d=3a=1，得 a=13同时有ad0 ，a+d0，即|d|a=13故选 C另，当 a=13，d13 时，可能导致 a+d0；当 a=13，d13 或a=13 ，d0 时，可能导致 ad0，因此选项 A，B，D 均不正确【知识模块】 概率论7 【正确答案】 B【试题解析】 依题设，p=PX1 2= 012 2xdx=x2|012 =14于是，YB(4，14)， 因此 PY=2)=C42p2(1p) 2=27 128
11、故选 B【知识模块】 概率论8 【正确答案】 D【试题解析】 利用分布函数法，有 F(z)=PZz=PmaxX，Yz =PXz，Yz=pXzPYz =F X(x)F Y(y)， 故选 D【知识模块】 概率论9 【正确答案】 D【试题解析】 由离散型随机变量 X 的期望的计算公式，有故选 D【知识模块】 概率论10 【正确答案】 C【试题解析】 设圆面积 Y=14X 2，因为 X 服从区间2，3上的均匀分布，因此故选 C【知识模块】 概率论11 【正确答案】 D【试题解析】 选项 D，因为 EY 是常数，所以由期望性质有 E(XEY)=EXEY，故选 D 选项 A，结论当且仅当在期望 EX 存在
12、的条件下成立尽管密度函数关于 y 轴对称，但由于 EX= +xf(x)dx，发散，则 EX0 选项 B，在X，Y 相互独立的条件下，有D(XY)=DX+DY 选项 C，一般情况下，E(XY)EXEY 【知识模块】 概率论12 【正确答案】 B【试题解析】 在 X，Y 相互独立的条件下，同属于正态分布的随机变量之和Z=X+Y 仍然服从正态分布，且EZ=E(X+Y)=EX+EY=0， DZ=D(X+Y)=DX+DY=5，从而有 Z=X+YN(0，5)，故选 B【知识模块】 概率论13 【正确答案】 A【试题解析】 依题设，X ij(i，j=1，2)独立同分布，故有 EY=E(X 11X22X 12
13、X21)=E(X11X22)E(X 12X21) =EX11EX 22EX 12EX 21=0， 故选 A【知识模块】 概率论计算题14 【正确答案】 设事件 D 表示 A，B，C 中至少有一个发生，即 D=A+B+C，依题设，P(AB)=0 ，则有 P(AB|C)=0，P(ABC)=P(C)P(AB|C)=0于是 P(D)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)【知识模块】 概率论15 【正确答案】 解法 1 用超几何分布概型模式设事件 A=所取的两件中至少有一件是不合格品，B=另一件也是不合格品，A ，B 同时发生，即指事件“所取的两件都
14、是不合格品” ，从选取产品的方式考虑，事件 与 AB 发生概率都属于超几何概型，于是有 P(A)=1P( )=1 =23，P(AB)=C 42C 102=215，于是有解法 2 用连续抽取的概型模式设两次抽取，Ai=第 i 次抽到不合格品)，i=1，2则 A=A1 A2+A1A2，且A1 A2，A 1A2 互斥，AB=A 1A2，于是有【知识模块】 概率论16 【正确答案】 设事件 A1=乘火车 ，A 2=乘轮船，A 3=乘汽车，A 4=乘飞机，B=迟到依题设，有 P(A1)=310，P(A 2)=15，P(A 3)=110，P(A 4)=25， P(B|A1)=14，P(B|A 2)=13，
15、P(B|A 3)=112，P(B|A 4)=0于是，代入贝叶斯公式 P(Ai|B) 有 P(A1|B)=12， P(A2|B)=45，P(A 3|B)=110，P(A 4|B)=0所以由计算结果可以推断，此人乘火车的可能性最大【知识模块】 概率论17 【正确答案】 依题设，Y 的可能取值为 0，1，有 PY=0=PX2=0=PX=0=12， PY=1=PX21=PX=1 X=1=PX=1+PX=1【知识模块】 概率论【知识模块】 概率论18 【正确答案】 根据连续型随机变量分布函数的连续性，有 F(a)=F( a 0)，F(a)=F(a0)，【知识模块】 概率论19 【正确答案】 【知识模块】
16、 概率论20 【正确答案】 【知识模块】 概率论21 【正确答案】 解法 1 分区间计算概率 PXx随机变量 X 在区间0，10)内均匀取值，于是：当 x0 时，Xx是不可能事件，有 F(x)=PXx=0；当 0x10时，0 ，x 0，10)，由几何概型，有 F(x)=PXx=P0Xx=x10；当 x10时，Xx是必然事件，有 F(x)=PXx=P0X10=1综上，可得 X 的分布函数为 其图形如图 384 所示解法 2 由密度函数f(x)，计算积分 xf(t)dt已知 X 在区间0，10)内均匀取值，即服从区间0，10)上的均匀分布，密度函数为 于是 f(x)= xf(t)dt其图形如图 3
17、84 所示【知识模块】 概率论22 【正确答案】 由 0xe1，有 0y 2e 1，即有 0y 于是，当y0 时，F Y(y)=PYy=0，当 0y 时，F Y(y)=PYY=P y=PXy2 =ln(1+y2)，当 y 时，F Y(y)=PYy=1，所以 Y 的分布函数为【知识模块】 概率论23 【正确答案】 设第 i 年的利润率为 Xi(i=1，2， 3)，依题设 Xi(i=1，2，3)独立同分布，由 Xi 从而得到每年的利润期望值，有EX1=EX2=EX3=0301+040 02+03( 004)=0026，因此，有EL=M(1+0026) 3108M【知识模块】 概率论24 【正确答案
18、】 由对称性，有 E(min|X|，1)= +min|x|，1(x)dx=20+minx，1(x)dx=2 01x(x)dx+f+1+(x)dx【知识模块】 概率论25 【正确答案】 由 PX3 知 Y 服从二项分布 B(4，12)，因此 从而得E(Y2)=DY+(EY)2=1+22=5【知识模块】 概率论26 【正确答案】 根据泊松分布的参数和其数字特征的关系，由 EX=2，EY=3 知，X，Y 的分布参数分别为 1=2， 2=3，从而知方差 DX=2，DY=3 又根据随机变量的数学期望和方差的性质，由于 X，Y 相互独立，于是有 E(XY)=EXEY=1，D(XY)=DX+DY=5， 从而得 E(XY) 2=D(XY)+E(XY)2=5+1=6【知识模块】 概率论
