1、经济类专业学位联考综合能力数学基础（概率论）模拟试卷 8 及答案与解析单项选择题1 设 A，B 为两个事件，且 P(A)=23，P(B)=1 2，P(AB)=13，则事件 A 与 B之间的关系是( ) （A）A 包含 B（B） A 与 B 相互独立（C） A 与 B 相互对立（D）A 与 B 互不相容2 设 A，B 为两个随机事件，且 P(A)=04，P(AB)=07，若 A，B 相互独立，则 P(B)=( )（A）02（B） 03（C） 04（D）053 某人打靶每次命中的概率是 07，现独立重复射击 5 次，恰好命中 2 次的概率等于( )（A）C 41(07) 3(107) 53（B）
2、C53(07) 3(107) 53（C） C41(07) 2(107) 52（D）C 52(07) 2(107) 524 设 F1(x)，F 2(x)分别为随机变量 X1，X 2 的分布函数，则以下函数中不能作为某个随机变量的分布函数的是( )（A）F 1(2x)（B） F1(x)F 2(x)（C） aF1(x)+bF2(x)，其中 a，b0，a+b=1（D）F 1(x2)5 已知连续型随机变量 X 的分布函数为 则 X 的密度函数为 f(x)=( )6 已知离散型随机变量 X 的可能取值为13，0 ，12，1，其概率分布为则 P|X|12=( )（A）23（B） 12（C） 13（D）147
3、 一电路并联装有三个同种电气元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间服从参数为 0 的指数分布若在(0，1的时间区间内，线路能够以 90的概率正常工作，则 =( )（A）12（B） 13（C） 12ln10（D）13ln108 已知随机变量 X 服从二项分布，且 EX=24，DX=144，则二项分布的参数n，p 为( ) （A）n=6，p=0 4（B） n=4，p=06（C） n=8，p=03（D）n=24，p=0 19 设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布，则 PX=E(X2)=( )（A）1e（B） 12e（C） 13e（D）23e10 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)=12
4、e |x| (x+)， 则方差 DX=( )（A）4（B） 3（C） 2（D）111 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)=03(x)+0 7( )，其中 (x)为标准正态分布函数，则 EX=( )（A）0（B） 03（C） 07（D）112 设随机变量 X1，X 2，X 3 相互独立，其中 X1 在区间0，6上服从均匀分布，X 2服从正态分布 N(0，2 2)， X3 服从参数为 =3 的泊松分布，记 Y=X12X 2+3X3，则DY=( )（A）46（B） 51（C） 55（D）64计算题13 设 A，B，C 是随机事件， A 与 C 互不相容，P(AB)=12，P(C)=13，求P(A
5、B| )13 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A 1=掷第一次出现正面，A 2=掷第二次出现正面 ， A3=正反面各出现一次，A 4=正面出现两次 ，讨论下列事件组的独立性：14 A1，A 2，A 3；15 A2，A 3，A 416 从数 1，2，3，4 中任取一个数，记为 X，再从 1 到 X 的整数中任取一个数，记为 Y，求 PY=217 某车间有 5 台某型号的机床，每台机床由于种种原因(如备料，装、卸工件，更换刀具等)时常要停车设每台机床停车或开车相互独立若每台机床在任何一个时刻处于停车状态的概率为 13，试求任意一个时刻，(1)恰有一台机床处于停车状态的概率；(2)至少有一台机床处
6、于停车状态的概率；(3)至多有一台机床处于停车状态的概率18 设 X 是离散型随机变量，其分布函数为 令Y=|X+1|，求随机变量 Y 的分布阵19 某单位经改革创新获得一项重要研究成果，需要聘请专家组审定确认并确定专家组人员组成为奇数，每位专家在评审基础上自主投票决定对该项成果的认定或否定，当专家组半数以上认定，则研究成果最终被正式确认根据以往经验，每位专家评审意见的正确率为 80，若希望研究成果以 90的概率获得认定，专家组应至少由多少人组成?19 设连续型随机变量 X 的分布函数为 求：20 X 的密度函数；21 P(|X|1)，PX2，P1X2 22 一电路装有三个同种电气元件，其工作
7、状态相互独立，且无故障工作时间服从参数为 0 的指数分布当三个元件都无故障工作时，线路工作状态正常，试求电路正常工作时间 T 的分布函数23 设 XN(0，1) ，求 Y=X2 的密度函数24 为筛查某种疾病，某单位要对一千名职工进行抽血检测，现改变一人一测的方法，将全体人员编为 100 组，每组 10 人，检测时，先将 10 人部分血样放在一起测试，若呈阴性，可排除该组人员患病可能，否则，再对该组人员一一测试，测试次数共 11 次假设该疾病患病率为 001，每人是否得病相互独立试比较新方法与原方法总检测次数的大小25 连续型随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，求 E(X+e2X )；D
8、(e 2X )26 已知随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，且 E(X2+2X4)=0，计算 PX0，P X27 已知随机变量 X，Y 相互独立，且分别服从指数分布和泊松分布，又知EX=12，EY=3，求 E(X+Y)2经济类专业学位联考综合能力数学基础（概率论）模拟试卷 8 答案与解析单项选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 由 P(A)P(B)= =13，P(AB)=13，得 P(A)P(B)=P(AB)，容易验证选项 B 的正确性，故选 B【知识模块】 概率论2 【正确答案】 D【试题解析】 由加法公式和事件独立性的概念，有P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)+P(B)
9、P(A)P(B)，即 04+P(B)(104)=07，解得 P(B)=05故选 D【知识模块】 概率论3 【正确答案】 D【试题解析】 先求出独立射击 5 次所有可能的结果，因为每次射击都有两种可能：A=命中 ， =未命中若以“1”表示 A 发生，“0”表示 发生，则每一结果都是由“0”，“1”组成的一个序列，如“11001”，表示第一、二、五次射击命中，第三、四次未命中我们把所有含有两个“1”，三个“0”组成的序列看作一个基本序列，则共有 C52 个基本序列，根据乘法公式，每个序列对应的概率为 (07) 2(107)52 这样的序列共有 C52 个，由加法公式可知，射击 5 次，恰好命中 2
10、 次的概率为 C52(07) 2(107) 52 ，故选 D【知识模块】 概率论4 【正确答案】 D【试题解析】 选项 D，由 F1(x2)=1，知 F1(x2)不能作为某个随机变量的分布函数选项 A，由函数 F1(2x)单调不减，0F 1(2x)1，及 F1(2x)=0， F1(2x)=1，知 F1(2x)为某个随机变量的分布函数选项 B，由函数 F1(x)，F 2(x)单调不减，0F1(x)1，0F 2(x)1，知 F1(x)F 2(x)单调不减，且 0F1(x)F 2(x)1又由故F1(x)F 2(x)为某个随机变量的分布函数选项 C，由函数 aF1(x)，bF 2(x)单调不减，知 a
11、F1(x)+bF2(x)单调不减，又由 0F1(x)1，0F 2(x)1，知 0aF1(x)+bF2(x)a+b=1，且 aF1(x)+bF2(x)=0， aF1(x)+bF2(x)=a+b=1故当a，b0，a+b=1 时，aF 1(x)+bF2(x)为某个随机变量的分布函数故选 D【知识模块】 概率论5 【正确答案】 C【试题解析】 对于连续型随机变量 X，其密度函数 f(x)=F(x)于是当 x100 时，f(x)=(1 )=100x 2；当 x100 时，f(x)=0 因此 故选C【知识模块】 概率论6 【正确答案】 D【试题解析】 由离散型随机变量 X 的分布列的性质， a 应满足的条
12、件是故选 D【知识模块】 概率论7 【正确答案】 D【试题解析】 依题设，每个元件正常工作的时间 T 的密度函数为于是，每个元件在(0，1的时间区间内正常工作的概率为p=01et dt=e t |01=1 e 又由于三个同种电气元件在(0，1的时间区间内正常工作的个数 XB(3，p)，所以由 PX1=1PX=0=1(1p)3=1e 3 =09，解得 =13ln10，故选 D【知识模块】 概率论8 【正确答案】 A【试题解析】 解法 1 利用二项分布的数字特征与参数的关系，列方程由题设，有 np=24，np(1p)=144，解得 1p=06，p=0 4，n=6故选 A解法 2 对各选项分别计算验
13、证选项 A，EX=604=24，DX=604(10 4)=144，故 A 正确选项 B，EX=40 6=2 4，Dx=406(106)=096，故 B 不正确选项 C，EX=803=24，DX=803(10 3)=168，故 C 不正确选项 D，EX=2401=24，DX=2401(10 1)=216，故 D 不正确所以选 A【知识模块】 概率论9 【正确答案】 B【试题解析】 依题设，EX=DX=1 ，因此，有 E(X2)=DX+(EX)2=2，于是 P(X=E(X2)=PX=2=122!e 1 =12e， 故选 B【知识模块】 概率论10 【正确答案】 C【试题解析】 由 +|x|f(x)
14、dx=12 +|x|e|x| dx=0+xex dx=1+， 可知 EX存在，由于 f(x)=12e |x| 关于 y 轴对称，所以 EX=0，则 DX=E(X 2)(EX)2= +x2f(x)dx=12 +x2e|x| dx=0+x2ex dx =x 2ex |0+20+xex dx=2， 故选C【知识模块】 概率论11 【正确答案】 C【试题解析】 依题设，X 的密度函数为 f(x)=F(x)=03(x)+035( )，其中(x)=(x)，于是由连续型随机变量的数学期望的计算公式，有 EX= +xf(x)dx=03 +x(x)dx+035 +x( )dx=07 +(u)du=07，其中 +
15、u(u)du= +x(x)dx=0， +(u)du=1故选 C【知识模块】 概率论12 【正确答案】 A【试题解析】 依题设，由方差的性质，得 DY=DX1+(2) 2DX2+32DX3= (60)2+422+93=46，故选 A【知识模块】 概率论计算题13 【正确答案】 由条件概率公式得 P(AB| ，其中 P( )=1P(C)=1 =2 3，P(AB )=P(AB)P(ABC)= P(ABC)，又由于 A，C 互不相容，即 AC=AC，得 P(ABC)=0，代入得 P(AB )=12，故 P(AB| )=34【知识模块】 概率论【知识模块】 概率论14 【正确答案】 由题设，知事件 A1
16、，A 2 相互独立，且 P(A1)=P(A2)=12，P(A 3)=P(A1 A2)=12，故 P(A1A2)=P(A1)P(A2)=14，P(A 1A3)=P(A1(A1 A2)=P(A1 )=14，同理有 P(A2A3)=P(A2 )=14由 P(A1A2A3)=0P(A1)P(A2)P(A3)，知 A1，A 2，A 3 两两独立，但 A1，A 2，A 3 不相互独立【知识模块】 概率论15 【正确答案】 由 A4=A1A2，A 3A4= ，P(A 4)=14，P(A 3)=12，P(A 3A4)=0P(A3)P(A4)，知 A2，A 3，A 4 不两两独立，也不相互独立【知识模块】 概率
17、论16 【正确答案】 事件Y=2的发生是在 X 取各种可能数的情况下发生的，其中X=i， i=1，2，3，4 构成一个完备事件组由于等可能取到数 1，2，3，4，故有若 X 取 1，则 PX=1=14，PY=2|X=1=0 ；若 X 取 2，则 PX=2=14， PY=2|X=2)=12；若 X 取 3，则 PX=3=14，PY=2|X=3)=13；若X 取 4，则 PX=4=14，PY=2|X=4)=1 4于是 PY=2【知识模块】 概率论17 【正确答案】 设 表示处于停车状态的机床数(1)设事件 A=恰有一台机床处于停车状态，由二项分布概型，有 P(A)=P=1)=C51(13) 1(2
18、3) 4=80243(2)设事件 B=至少有一台机床处于停车状态，则 P(B)=1P( )=1P=0)=1C 52(13) 0(23) 5=211243(3)设事件 C=至多有一台机床处于停车状态，则 P(C)=P=0)+P=1)=C50(13) 0(23) 5+C51(13) 1(23) 4=112243【知识模块】 概率论18 【正确答案】 依题设，离散型随机变量 X 正概率点即 F(x)的分段点为2，1，0，1，且 PX=2=F( 2)F(20)=02，PX=1=F( 1)F(10)=015，PX=0=F(0)F(00)=0 25 ，PX=1=F(1)F(10)=04因此 由 Y=|X+
19、1|=1，0，1，2，知 Y 的正概率点为 0，1，2，且 PY=0=PX=1=015，PY=1=PX=2+PX=0=045 ，PY=2=PX=1=04所以【知识模块】 概率论19 【正确答案】 依题意，设专家组由 n 个人组成，其中投票认定的有 X 个人，每个人投票认定的概率为 p=08，由于每个人是否投票认定相互独立，故 X 服从二项分布 B(n，08) 又设事件 A 表示研究成果获得认定，于是 当 n=1 时，P(A)=PX=1=08； 当 n=3 时，P(A)=PX=2+PX=3=C 3208 2(108)+C3308 3=0896； 当 n=5 时，P(A)=PX=3+PX=4+PX
20、=5 =C5308 3(108) 2+C5408 4(108)+C 5508 5=094208 因此，专家组应至少由 5 人组成【知识模块】 概率论【知识模块】 概率论20 【正确答案】 X 的密度函数为【知识模块】 概率论21 【正确答案】 解法 1 利用密度函数计算 P|X|1= 1 1f(x)dx=01xex dx=(1+z)e x |01=12e 1 PX2= 2+f(x)dx=2+xex dx=(1+x)ex |2+=3e 2 P1 X2= 12f(x)dx=12xex dx= (1+x)ex |12=2e1 3e 2 解法2 利用分布函数计算 P|X|1=F(1)=F(1)=1 2
21、e 1 0=12e 1 PX2=1F(2)=1 (13e 2 )=3e2 P1X2=F(2) F(1)=13e 2 (12e 1 )=2e1 3e 2 【知识模块】 概率论22 【正确答案】 设第 i 个元件正常工作时间为 Xi(i=1，2，3) ，则 Xi 的分布函数为又设电路正常工作时间 T 的分布函数为 G(t)，依题设，有 T=minX1，X 2，X 3于是，当 t0 时，G(t)=PTt=0；当 t0 时，G(t)=PTt=1 PTt=1PminX 1，X 2，X 3t=1PX 1t，X 2t，X 3t=1PX 1tPX 2tPX 3t=1 e 3t 因此【试题解析】 本题是以正常工
22、作时间为随机变量的系统可靠性的问题，与系统结构有关若设第 i 个元件正常工作时间为 Xi，则在串联的情况下，只要有一个元件有故障，线路工作状态就不正常，系统工作时间为 T= Xi在并联的情况下，只要有一个元件无故障工作，线路工作状态就正常，系统正常工作时间为T= Xi计算 T= Xi的分布函数，就是计算概率 PTt，当 t0 时，PTt=1P Xit，关键是熟悉事件minX 1，X 2，X 3t与X1t，X 2t，X 3t的等价关系，类似地，事件maxX 1，X 2，X 3t与X1t，X 2t，X 3t等价，这种关系之间的转换，在概率计算中是常见的由于事件X 1t，X 2t，X 3t相互独立，
23、所以有 P(X1t，X 2t，X 3t=PX 1tPX2tPX 3t【知识模块】 概率论23 【正确答案】 由于X+，知 0Y+记 Y 的分布函数为 FY(y)，密度函数为 fY(y)于是当 y0 时，F Y(y)=0；当 y0 时，F Y(y)=P(X2y=P1从而 Y=X2 的分布函数为 FY(y)于是 Y 的密度函数为 fY(y)=FY(y)【知识模块】 概率论24 【正确答案】 设 Xi(i=1，2，100)为第 i 小组检测次数，显然，Xi(i=1，2，100)有相同概率分布，依题设，全组 10 人都不得病的概率为p=099 100 90，因此 Xi 的分布律为Xi ，EX i=10
24、90+110 10=2，i=1，2，100所以新方法总检测次数的期望为 EXi=1002=200结果表明，新方法总检测次数仅为原方法的15【知识模块】 概率论25 【正确答案】 本题考查指数分布函数的数学期望和方差依题设，X 的密度函数为 因此 E(X+e2X )=EX+E(e2X )=1+0+e2x e xdx=1+0+e3x x=43，D(e 2X )=E(e2X )2EE(e 2X )2=0+e4x ex dx(13) 2【知识模块】 概率论26 【正确答案】 由题设，DX=EX=，E(X 2)=DX+(EX)2=+2 从而有 E(X2+2X4)=E(X2)+2EX 4=2+24= 2+34=0，求解方程 2+34=0，解得 =1(=4舍去)因此 PX0=1PX=0=1 e1 =1e 1 【知识模块】 概率论27 【正确答案】 本题根据指数分布和泊松分布的参数和其数字特征的关系，随机变量的数学期望和方差的性质，由 EX=12，EY=3，知 X，Y 的分布参数分别为1=2， 2=3，从而知方差 DX=14，DY=3 又由于 X，Y 相互独立，于是有E(X+Y)=EX+EY= +3=72，D(X+Y)=DX+DY=134，从而得 E(X+Y)2=D(X+Y)+E(X+Y)2【知识模块】 概率论
