1、经济类专业学位联考综合能力数学基础（概率论）模拟试卷 9 及答案与解析单项选择题1 设 A，B 为两个随机事件，且 B A，则下列式子正确的是( )（A）P(AB)=P(A)（B） P(AB)=P(A)（C） P(B|A)=P(B)（D）P(BA)=P(B)P(A)2 已知 A，B，C 是三个相互独立的事件，且 0P(C)1，则在下列选项给定的随机事件中不相互独立的是( )3 假设一批产品中一、二、三等产品各占 60，30，10，从中随意取出一件，结果不是三等产品，则取到的是一等产品的概率为( )（A）45（B） 23（C） 35（D）124 若随机变量 X 存在正概率点，即存在一点 a，使得
2、 PX=a0，则 X 为( )（A）连续型随机变量（B）离散型随机变量（C）非连续型随机变量（D）非离散型随机变量5 以下函数中，不能作为连续型随机变量密度函数的是( )6 离散型随机变量 X 的分布函数为 则 X 的分布阵为( )7 设 XB(2，p)，YB(4，p)，且 PX1)=59，则 PY1=( )（A）6581（B） 1681（C） 1（D）478 设随机变量 X 服从正态分布 XN( ， 2)，则随着 单调增加，概率P|X| ( ) （A）单调增加（B）单调减少（C）不变（D）变化不确定9 已知随机变量 X 服从区间1，2上的均匀分布，若对事件 X1独立观察 10次，则该事件发生
3、次数 Y 的期望 EY=( )（A）13（B） 53（C） 103（D）14310 X 为一随机变量，且期望 EX、方差 DX 均存在，设 Y= ，则有( )（A）EY=EX ，DY=1（B） EY=0， DY=1（C） EY=EX，DY=DX（D）EY=0，DY=DX11 设随机变量 X 的密度函数为 则方差 DX=( )（A）1（B） 12（C） 13（D）1612 一批电子产品使用寿命 X 服从指数分布，若该产品的平均寿命为 1000 小时，则X 的均方差 =( )（A）10（B） 100（C） 1000（D）10000计算题13 随机事件 A，B 相互独立，已知只有 A 发生的概率为
4、14，只有 B 发生的概率为 14，求 P(A)14 一个商店出售的商品是由三个分 f 生产的同型号产品，而这三个分 f 生产的产品所占这批产品的比例为 3：1：2，它们产品的不合格品率依次为1，12，5某顾客从这批产品中任意选购一件，试求顾客购到不合格品的概率14 用高射炮射击飞机，如果每门高射炮击中飞机的概率为 06，试问：15 两门高射炮同时射击，飞机被击中的概率是多少?16 若有一架敌机入侵，至少需要有多少门炮齐射才能以不低于 99的概率击中敌机?17 已知随机变量 X 的概率分布 PX=k)=12 k(k=1，2，)， 求 Y=1+(1) X 的概率分布18 纺织 f 女工看管 80
5、0 个纺锭，每一纺锭在某一短时间内发生断头的概率为0005( 设短时间内最多只发生一次断头)，求在这段时间内总共发生的断头次数超过 2 的概率，并用泊松分布近似表示18 假设大型设备在任何长度为 t 的时间内发生故障的次数 N(t)服从参数为 t 的泊松分布19 求相继出现两次故障之间的时间间隔 T 的概率分布；20 求设备已经无故障工作 8 小时的情况下，再无故障工作 16 小时的概率21 某元件的工作寿命 X(小时)服从参数为 的指数分布(1)求该元件正常工作 t 个小时的概率；(2)已知该元件已正常工作 10 个小时，求在此基础上再工作 10 个小时的概率(=001) ；(3)若系统装有
6、 10 个这样电子元件，且工作状态相互独立，求在并联情况下，系统正常工作 20 个小时的概率22 设一设备开机后无故障工作时间 X 服从参数为 15 的指数分布设备定时开机，出现故障自动关机，而在无故障工作的情况下工作 2 小时便关机试求设备每次开机无故障工作时间 Y 的分布函数23 设盒中有 5 个球，其中 2 个白球，3 个黑球，从中随意抽取 3 个球记 X 为抽取到的白球数，求EX24 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱装有 3 件合格品和 3 件次品，乙箱中仅装了 3 件合格品，从甲箱中任取 3 件放入乙箱后，求乙箱中次品数 X 的数学期望25 设连续型随机变量 X 的密度函数为
7、求常数 C 和 EX。26 设随机变量 X1，X 2，X 3 相互独立，其中 X1 服从0，6上的均匀分布，X 2 服从参数为 2 的指数分布，X 3 服从参数为 2 的泊松分布，计算 E(X1X2X3)2，D(X12X 2+3X3)27 设连续型随机变量 X 的密度函数为 已知EX=2，P1 X3)=34 ，求常数 a，b，c经济类专业学位联考综合能力数学基础（概率论）模拟试卷 9 答案与解析单项选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 因为 B A，则等价于 AB=A 或 AB=B于是有 P(AB)=P(A)或P(AB)=P(B)同时由 B A，知若 B 发生，则 A 必发生，但 A 发生，
8、B 未必发生，即 且 P(BA)=P(B)P(AB)=P(B)P(B)=0，故由排除法，应选 A【知识模块】 概率论2 【正确答案】 B【试题解析】 在事件 A，B，C 相互独立的条件下，其中由事件 A 和 B 运算生成的事件 与事件 C 或其逆运算生成的事件 仍然相互独立因此，选项 A，C，D 中随机事件相互独立，故由排除法，应选 B【知识模块】 概率论3 【正确答案】 B【试题解析】 设事件 Ai(i=1，2，3) 为取到第 i 等产品，由题设知 P(A1)=3 5， P(A3)=110，由条件概率公式，有故选 B【知识模块】 概率论4 【正确答案】 C【试题解析】 连续型随机变量 X 的
9、一个基本特征是只在区间上取正概率，因此不存在一点 a，使得 PX=a0，应排除 X 为连续型随机变量的可能，即 X 为非连续型随机变量，可以排除选项 A 和 D另外，在定点取正概率的未必一定是离散型随机变量，如随机变量 X 对应的分布函数为 可见随机变量 X 既在点 X=0 处取概率 PX=0=02，同时又在区间(0，+) 上取概率P0Xx=08(1e x )，说明 X 既不是连续型随机变量，也不是离散型随机变量，所以选项 B 也不正确故选 C【知识模块】 概率论5 【正确答案】 B【试题解析】 选项 B，当1x0 时，f(x)0，因此，该函数不能作为连续型随机变量的密度函数 选项 A，显然，
10、f(x)0，且 +f(x)dx=012xdx=x2|01=1，知该函数能作为连续型随机变量的密度函数 选项 C，显然， f(x)0，且 +f(x)dx=2 0cosxdx=sinx|2 0=1，知该函数能作为连续型随机变量的密度函数 选项 D，显然，f(x)0，且 +f(x)dx=02 cosxdx=sinx|02 =1，知该函数能作为连续型随机变量的密度函数故选 B【知识模块】 概率论6 【正确答案】 A【试题解析】 F(x)的分段点即随机变量 X 的正概率点为2，0，4，且 PX=2=F(2)F(20)=030=03，PX=0)=F(0)F(00)=0 7 03=04，PX=4)=F(4)
11、F(4 0)=107=03，因此故选 A【知识模块】 概率论7 【正确答案】 A【试题解析】 由题设，PX1=1PX=1C 20p0(1p) 2=59 由上式可得(1p) 2=49，解得 p=1 3，从而有 PY1)=1 PY=0=1C 40p0(1p)4=1(23) 46581 故选 A【知识模块】 概率论8 【正确答案】 C【试题解析】 对随机变量标准化，即有 P|X| =P| |1=2(1)1，知P|X|是常量，与 ， 无关，所以随着 单调增加，概率 P|X|f不变，故选 C【知识模块】 概率论9 【正确答案】 C【试题解析】 依题设，X 的密度函数为 则 p=PX1=12f(x)dx=
12、13，故 Y 服从参数为 n=10，p=1 3 的二项分布，从而有EY=10 =103，故选 C【知识模块】 概率论10 【正确答案】 B【试题解析】 由期望和方差的性质，有故选 B【知识模块】 概率论11 【正确答案】 D【试题解析】 注意到 X 的密度函数的非零区域关于 y 轴对称，因此 EX=0，故 DX=E(X2)(EX) 2= +x2f(x)dx =1 0x2(1+x)dx+01x2(1x)dx=16， 故选 D【知识模块】 概率论12 【正确答案】 C【试题解析】 随机变量 X 的平均值即为期望 EX，而常见重要分布的随机变量的数字特征往往是其重要分布参数，如本题中，设参数为 ，而
13、产品的平均寿命为1000 小时知，EX=1000 ，即有 1=1000 ，=11000因此，DX=1 2=10002，=1000故选 C【知识模块】 概率论计算题13 【正确答案】 只有 A 发生的含义，即指 A ，又 A，B 相互独立，有 P(A)=P(A)1 P(B)，类似地，有 P( B)=1P(A)P(B)联立可得解得 P(A)=12，P(B)=12【知识模块】 概率论14 【正确答案】 设 Ai=顾客购到第 i 个分 f 生产的产品)，i=1，2，3，B=顾客购到不合格品，则 P(A1)=12，P(A 2)=16，P(A 3)=13，显然，A 1，A 2，A 3 构成对样本空间 的一
14、个划分又由题设，知 P(B|A1)=1，P(B|A 2)=12，P(B|A 3)=5，则由全概率公式，有【知识模块】 概率论【知识模块】 概率论15 【正确答案】 设事件 A=击中飞机 ，B i=第 i 门高射炮击中飞机)，i=1 ，2在同时射击时，B 1 与 B2 可认为是相互独立的，从而 也是相互独立的，则有P(B1)=P(B2)=06，P( )=1P(B 1)=04，P(A)=1P( )=1P( )=10404=084【知识模块】 概率论16 【正确答案】 设要以不低于 99的概率击中敌机需用 n 门高射炮同时发射，于是由(1)，有 99=1 (0 4) n (04) n=001，即n=
15、lg0 01 lg04= 2 039795026因此若有一架敌机入侵，至少需要有 6 门炮齐射才能以不低于 99的概率击中敌机【知识模块】 概率论17 【正确答案】 按照计算离散型随机变量概率分布的基本步骤，先求 Y 的正概率点，有 Y=1+(1) x 从而有或 PY=2=1PY=0=1 =13因此【知识模块】 概率论18 【正确答案】 设 X 为 800 个纺锭在该段时间内发生的断头次数，则XB(800，0005)，它可近似于参数为 =8000005=4 的泊松分布，从而有P0X2= C800k0005 k0995 500k从而 PX2=1P0X21 【知识模块】 概率论【知识模块】 概率论
16、19 【正确答案】 T 的值域即正概率取值范围为区间 (0，+) ，属于连续型随机变量由题设，当 t0 时，F(t)=0；当 t0 时，P(N(t)=k=(t)kk!e t (k=0，1，2，)，事件Tt与N(t)=0等价，有 F(t)=PTt=1PT t=1 e t ，因此，得 可知 T 服从参数为 的指数分布【知识模块】 概率论20 【正确答案】 PT16+8|T8 =e16 =PT16【知识模块】 概率论21 【正确答案】 依题设，X 的分布函数为 (1)该元件正常工作 t 个小时的概率为 PXt=1 PXt=1F(t)=1(1e t )=et (2)PX20|X10=PX20PX10=
17、e00120 e 001100 =e01 (3)设正常工作的元件数为 ，每个元件正常工作 20 个小时的概率为 p=e20 ，于是， B(10，p)在并联条件下，要有一个元件正常工作，整个系统正常工作，即事件1，因此 P1=1=0=1C 100p0(1p) 10=1(1e 20 )10【知识模块】 概率论22 【正确答案】 依题设，Y=min(X，2，正概率密度区间为(0，2，其中 X 的分布函数为 于是，当 y0 时，F Y(y)=PYy=PminX，2y=0；当 y2 时，F Y(y)=PYy=PminX，2y=1；当 0y2时，F Y(y)=PYy=PminX，2y=1PX y，2y=1
18、 P2 yPX y|2=1PXy=1 1F X(y)=1e 15y 所以 Y 的分布函数为【知识模块】 概率论23 【正确答案】 由题意知，X 只可能取 0，1，2 这三个实数值，由古典概型计算，有 PX=0=C33C 53=110；PX=1=C 32C21C 53=35；PX=2=C31C22C 53=310于是【知识模块】 概率论24 【正确答案】 解法 1 先求乙箱中次品数 X 的概率分布 X 的可能取值为0，1，2，3由 PX=k=C3kC33k C 63，k=0 ，1，2，3，解法 2 将抽取过程分解，设第 i 次从甲箱中取出的次品数为 Xi(i=1， 2，3) ，则于是有EXi=1
19、2，i=1，2，3，所以 EX=E(X1+X2+X3)=3 =32【知识模块】 概率论25 【正确答案】 由连续型随机变量 X 的密度函数性质，有 +(x)dx= 0+Cxe12x dx=2Cxe 12x |0+2C0+e1 2xdx=4Ce 12x |0+=4C=1，解得 C=14于是 EX= +x(x)dx=1 40+x2e12x dx= x2e12x |0+0+xe12x dx=4【知识模块】 概率论26 【正确答案】 由题设，得 EX1= (6+0)=3，DX 1= (60)2=3；EX 2=12，DX 2=14；EX 3=DX3=2从而有 E(X1X2X3)2=E(X12)E(X22
20、)E(X32)=DX1+(EX1)2DX2+(EX2)2DX3+(EX3)2=12 6=36，D(X 12X 2+3X3)=DX1+(2) 2DX2+32DX3=3+1+18=22其中，由于 X1，X 2，X 3 相互独立，故X12，X 22，X 32 相互独立，故有 E(X1X2X3)2=E(X12)E(X22)E(X32)【知识模块】 概率论27 【正确答案】 由题设，有 EX= +xf(x)dx=02ax2dx+24(cx2+bx)dx=2， P1 X3= 13f(x)dx=12axdx+23(cx+b)dx=34， +f(x)dx=02axdx+24(cx+b)dx=1，三式联式，得方程组 解得a=14，b=1，c=14【知识模块】 概率论
