1、经济类专业学位联考综合能力数学基础（线性代数）模拟试卷 2 及答案与解析单项选择题1 设 n 阶方阵 A，B，C 满足 ABC=I，I 表示相应的单位矩阵，则下列各式中必成立的是( ) 。（A）ACB=I（B） CBA=I（C） BAC=I（D）BCA=I2 设 A 为 N 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，若 A3=O，则( )。（A）E A 不可逆，E+A 可逆（B） EA 不可逆，E+A 也不可逆（C） EA 可逆，E+A 可逆（D）E A 可逆，E+A 不可逆3 设 A，B，A+B，A -1+B-1 均为 n 阶可逆矩阵，则(A -1+B-1)-1=( )。（A）A+B（B） A-1
2、+B-1（C） A(A+B)-1B（D）(A+B) -14 （A）AP 1P2（B） AP1P3（C） AP3P1（D）AP 2P35 设 A，B 为 n 阶矩阵，A*，B*分别为 A，B 对应的伴随矩阵，分块矩阵，则 C 的伴随矩阵 C*=( )。6 设矩阵 B= 已知矩阵 A 相似与矩阵 B，则 r(A 一 2E)+r(AE)=( )。（A）2（B） 3（C） 4（D）57 设 A 是任一 n(n3)阶方阵，A*是其伴随矩阵，又 k 为常数，且 k0，1，则必有(kA) *=( )。（A）kA*（B） kn-1A*（C） knA*（D）k -1A*8 设 A，P 均为 3 阶矩阵，P T
3、为 P 的转置矩阵，且 pTAP= 若P=(1， 2， 3)，Q=( 1+2， 2， 3)，则 QTAQ 为( )。9 设 A 是三阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B，再把 B 的第 2 列加到第 3列得 C，则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为( )。10 设 A，B，C 均为 n 阶矩阵， E 为 n 阶单位矩阵，若 B=E+AB，C=A+CA，则BC 为( )。（A）E（B）一 E（C） A（D）一 A11 设 A 和 B 均为 n 阶矩阵(n1)，m 是大于 1 的整数，则必有( )。（A）(AB) T=ATBT（B） (AB)m=AmBm（C） |ABT|=|AT|B
4、T|（D）|A+B|=|A|+|B|12 设矩阵 A= ，E 为单位矩阵，BA=B+2E，则 B=( )。填空题13 已知 =(1，2，3) ， 设 A=T，其中 T 是 的转置，则An=_14 ABB=A，其中 B= ,则 A=_。15 设矩阵 B=A2 一 3A+2E，则 B-1=_16 设 n 为向量 =(a，0，0，a) T，a0；E 为 n 阶单位矩阵，矩阵 A=E 一T，B=E+ ，其中 A 的逆矩阵为 B，则 a=_。17 若 则 A-1=_18 设 A，B 均为 n 阶矩阵，且满足 A2 一 2AB=E，则 r(ABBA+A)=_。19 设矩阵 A= ，矩阵 B 满足 ABA*
5、=2BA*+E，其中 A*为 A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则|B|=_20 设 A= 不可逆，则 x=_。21 设 A2 一 BA=E，其中 A= ，则 B=_22 设 XA=AT+X，其中 A= 则 X=_。计算题23 设 A= 求 An。24 已知 A= 则 An 是? 。25 已知矩阵 A=P-1BP，B= 则 An。26 设矩阵 A 满足(2E C-1B)AT=C-1，其中 E 是单位矩阵，且求矩阵 A。27 确定 k 为何值时，矩阵 可逆，并求逆矩阵 A-1。28 求矩阵 的伴随矩阵 A*。29 设 A 为 n(n2)阶方阵，证明 r(A)=30 已知 n 阶矩阵 A 满足关系式
6、 A2+2A 一 3E=0，求(A+4E) -1。31 设矩阵 A 可逆，且 A 的每一行元素之和均等于常数 a，试证：(1)a0 ；(2)A -1 的每行元素之和都等于 。32 设 ， 为 3 维列向量，矩阵 A=T+T，其中 T， T 分别是 ， 的转置，证明： (1)r(A)2 (2)若 ， 线性相关，则 r(A)2。33 设矩阵 A 的伴随矩阵 且 ABA-1=BA-1+3E，其中 E 是四阶单位矩阵，求矩阵 B。34 设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵其中 A*是 A 的伴随矩阵。 (1)计算并化简PQ；(2)证明 Q 可逆的充分必要条件是 TA-
7、1b。35 设 A 是 n 阶反对称矩阵，证明(EA)(E+A) -1 是正交矩阵。36 已知 A，B 均是 n 阶矩阵，A 2=A，B 2=B，(A+B) 2=A+B，证明 AB=0。37 某企业对其职工进行分批脱产技术培训，每年从在岗人员中抽调 30的人参加培训，而参加培训的职工中有 60的人结业回岗，假设现有在岗职工 800 人，参加培训人员是 200 人，试问两年后在岗与脱产培训职工各有多少人(假设职工人数不变)?经济类专业学位联考综合能力数学基础（线性代数）模拟试卷 2 答案与解析单项选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 由 ABC=I，则(A)(BC)=I，即 BCA=I，即应选
8、择 D。【知识模块】 数学基础2 【正确答案】 C【知识模块】 数学基础3 【正确答案】 C【知识模块】 数学基础4 【正确答案】 B【知识模块】 数学基础5 【正确答案】 D【试题解析】 由于 所以当 A 可逆时，A*=|A|A -1。答案应选择 D。【知识模块】 数学基础6 【正确答案】 C【试题解析】 因为矩阵 A 相似与矩阵 B，所以存在可逆矩阵 P，使得 B=P -1AP，从而 B 一 2E=P-1(A 一 2E)P，BE=P -1(AE)P 即 B 一 2E 与 A 一 2E 相似，BE 与 AE 相似， 由于相似矩阵具有相同的秩，即 r(A 一 2E)+r(AE)=4 故本题应选
9、择 C。【知识模块】 数学基础7 【正确答案】 B【知识模块】 数学基础8 【正确答案】 A【知识模块】 数学基础9 【正确答案】 D【知识模块】 数学基础10 【正确答案】 A【知识模块】 数学基础11 【正确答案】 C【知识模块】 数学基础12 【正确答案】 B【知识模块】 数学基础填空题13 【正确答案】 【知识模块】 数学基础14 【正确答案】 【知识模块】 数学基础15 【正确答案】 【知识模块】 数学基础16 【正确答案】 a=一 1【知识模块】 数学基础17 【正确答案】 【知识模块】 数学基础18 【正确答案】 n【知识模块】 数学基础19 【正确答案】 【知识模块】 数学基础
10、20 【正确答案】 x=4 或 x-5【知识模块】 数学基础21 【正确答案】 【知识模块】 数学基础22 【正确答案】 【知识模块】 数学基础计算题23 【正确答案】 其中 =(11 2)T， =(11 1)T 因为 TT=4=l 则 A n=(TT)(TT)( TT)(TT) =T(TT)( TT)T=ln-1(TT)【知识模块】 数学基础24 【正确答案】 由于 A=E+J，其中 J= 。而进而知 J4=J5=0 于是 An=(E+J)n=nE+Cn1n-1J+Cn2n-2J2，【知识模块】 数学基础25 【正确答案】 An=(P-1BP)(P-1BP)(P-1BP)(P-1BP)=P-
11、1BnP【知识模块】 数学基础26 【正确答案】 由所给方程知 2EC1B 可逆，用(2EC 1B)-1 左乘所给等式，即可得：A T=(2EC-1B)-1C-1=C(2EC-1B)-1=(2CB)-1 下面用初等行变换法来求(2CB)-1：【知识模块】 数学基础27 【正确答案】 由 可逆知，|A|= =1k(一 1)=一 k 故当 k0 时，【知识模块】 数学基础28 【正确答案】 第一步，锁定目标。AA*=|A|E,A*=|A|A -1 第二步，求行列式。第三步，求逆矩阵。第四步，求伴随矩阵。【知识模块】 数学基础29 【正确答案】 (1)当 r(A)=n 时，|A|0 ，故由|A*|=
12、|A| n-10，知 r(A*)=n (2)当 r(A)=n 一 1 时，A 中的非零子式最高阶为 n 一 1，故一方面 |A|=0，另一方面 A*0，由|A|=0 可知 A*A=|A|E=0，因此矩阵 A 的每一列都是齐次线性方程组 A*x=0 的解向量。因为 r(A)=n 一 1，知 A 的列向量组中有 n 一 1 个是线性无关的，故方程组A*x=0 的基础解析不少于 n 一 1 个，即 nr(A*)n1，即地道 r(A*)1；又由A*0 得 r(A*)1。 综上 r(A*)=1 (3)当 r(A)n 一 1 时，则 A 的 n 一 1 阶子式全为0，即 A 的每个元素的余子式都为 0，从
13、而有 r(A*)=0。【知识模块】 数学基础30 【正确答案】 本题的方法在于分解出因子 A+4E，由 A2+2A 一 3E=0，当要提取出 A+4E 时，另外一项必为 A 一 2E(因为(4+4E)(A 一 2E)乘出来后刚好含有A2+2A) (A+4E)(A 一 2E)+8E 一 3E=0【知识模块】 数学基础31 【正确答案】 若 a=0，则|A|=0，与A 可逆矛盾故 a0。(2)令 A=(1， 2， n)，A -1=(1， 2， n)，E=(e1，e 2，e n)因为 A-1A=E，所以有 A-1j=ej(j=1，2，n)于是 A-11+A-12+A-1n=A-1(1+2+ n)=e
14、1+e2+en，【知识模块】 数学基础32 【正确答案】 (1)因为 ， 为 3 维列向量，那么 T， T 都是 3 阶矩阵，且r(T)1 r(T)1， 故 r(A)=r(T+T)r(T)+r(T)2 (2)若 ， 线性相关，在存在不全为 0 的实数 k1，k 2，使得 k1+k2=0。 不妨设 k20，则有 =k， 那么 r(A)=rT+(k)(k)T=r(1+k2)T=r(T)12。【知识模块】 数学基础33 【正确答案】 由|A*|=|A| n-1 可得|A| 3=8，得|A|=2。用 A 右乘矩阵方程的两边可得：AB=B+3A，从而 (AE)B=3A 因为 A*A=|A|E，用 A*左
15、乘上式的两端，并把|A|=2代入，有 A*(AE)B=3A*A,(2EA*)B=6E 于是 B=6(2EA*)-1【知识模块】 数学基础34 【正确答案】 (2)因为|PQ|是一个特殊的 2 2 分块矩阵形式的行列式，故=|A|.TA*+b|A|=|A|.(一 TA*+b|A|)所以|PQ|=|P|Q|=|A|Q|即有|A|.( 一 TA*+b|A|)=|A|Q|又因为|A|0，故有|Q|=(一 TA*+b|A|)=|A|(一 TA-1+b)因为 Q 可逆，故|Q|0 即一TA-1+b0,TA-1b【知识模块】 数学基础35 【正确答案】 (EA)(E+A) -1(EA)(E+A)-1T =(
16、EA)(E+A)一 1(E+A)-1T(EA)T =(EA)(E+A)-1(E+A)T-1(EA)T =(EA)(E+A)一 1(E+AT)一 1(EAT) =(EA)(E+A)一 1(E 一 A)一 1(E+A) =(EA)(EA)(E+A)-1(E+A) 由于(EA)(E+A)=EA2=(E+A)(EA) 所以上式可变化为： (EA)(EA)(E+A) -11(E+A)=(EA)(E+A)(EA)-1(E+A) =(EA)(E 一 A)一 1(E+A)一 1(E+A)=E 同理可证(EA)(E+A)-1T(EA)(E+A)-1=E 所以(EA)(E+A) -1 是正交矩阵。【知识模块】 数学基础36 【正确答案】 由(A+B) 2=A2+B2+AB+BA=A+B=A2+B2 可得 AB+BA=0 对得到的等式两边分别用 A 左乘和右乘，并把 A2=A 代入，得 AB+ABA=0ABA+BA=0 。两式相减，有 ABBA=0 即【知识模块】 数学基础37 【正确答案】 用 xi，y i 分别表示 i 年后在岗和脱产职工的人数，x 0，y 0 为目前在岗与脱产的人数，则 x i=07x i-1+06y i-1， y i=03x i-1+04y i-1【知识模块】 数学基础
