1、经济类专业学位联考综合能力数学基础（线性代数）模拟试卷 3 及答案与解析单项选择题1 设向量 可由向量组 1， 2， m 线性表出，但不能由向量组(1)：1， 2， m-1 线性表出，记向量组(2)为： 1， 2， m-1， ，则下列说法正确的是( ) 。（A） m 不能由 (1)线性表出，也不能由(2)线性表出（B） m 不能由(1)线性表出，但可由(2)线性表出（C） m 可由(1)线性表出，也可由(2)线性表出（D） m 不能由 (1)线性表出，也不能由(2)线性表出2 已知向量组 1， 2， 3， 4 线性无关，则下列结论中正确的是( )。（A） 1+2， 2+3， 3+4， 4+1
2、线性无关（B） 1 一 2， 2 一 3 3 一 4， 4 一 1 线性无关（C） 1+2， 2+3， 3+4， 41 线性无关（D） 1+2， 2+3， 3 一 4， 4 一 1 线性无关3 设向量组 I： 1， 2， r 可由向量组 1， 2， ， s 线性表出，则( )。（A）当 rs 时，向量组必线性相关（B）当 rs 时，向量组必线性相关（C）当 rs 时，向量组 I 必线性相关（D）当 rs 时，向量组 I 必线性相关4 已知 r(A*)=1，则( )。（A）a=b0（B） ab，且 a+2b=0（C） a+2b0（D）ab ，且 a+2b05 设向量 =1+2+ s(s1)，而
3、1= 一 1， 2=-2， s=s，则( )。（A）r( 1， 2， s)=r(1， 2， s)（B） r(1， 2， s)r( 1， 2， s)（C） r(1， 2， s)r( 1， 2， s)（D）不能确定 r(1， 2， s)，r( 1， 2， s)的大小关系6 设 1， 2， ， s 均为 n 维向量，下列结论不正确的是( )。（A）若对于任意一组不全为零的数 k1，k 2， ks，都有 k11+k22+kss0，则1， 2， s 线性无关（B）若 1， 2， s，线性相关，则对于任意一组不全为 0 的实数k1，k 2，k s，有 k11+k22+kss=0（C） 1， 2， s 线性
4、无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s（D） 1， 2， a 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关7 设向量组 1， 2， 3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是( )。（A） 1+2， 2+3， 31（B） 1+2， 2+3， 1+22+3（C） 1+22，2 2+33，3 3+1（D） 1+2+3，2 1 一 32+223，3 1+52-538 设向量组 1， 2， 3 线性无关，向量 1 可由 1， 2， 3 线性表示，而向量 2 不能由 1， 2， 3 线性表示则对于任意常数 k，必有( )。（A） 1， 2， 3，k 1+2 线性无关（B） 1， 2， 3，k 1+2 线性
5、相关（C） 1， 2， 3， 1+k2 线性无关（D） 1， 2， 3， 1+k2 线性相关9 设 n 维列向量组(1) 1， 2， m(mn) 线性无关，则 n 维列向量组(2)：1， 2， m 线性无关的充分必要条件为( )。（A）向量组(1)可由向量组 (2)线性表示（B）向量组(2) 可由向量组(1)线性表示（C）向量组(1) 与向量组(2)等价（D）矩阵 A=1 m与矩阵 B=1 m等价填空题10 试完成下列向量的运算(1)(1，2，3，)+(2，3，一 2)=_，(2)(10，2，6，)一(5，12，一 2)=_。(3)3.(2，3，一 5，)=_。11 设 3 阶矩阵 A= ，3
6、 维列向量 =(a，1，1) T。已知 A 与 线性相关，则 a=_。12 已知 1=(2，3，4，5) T， 2=(3，4，5，6) T， 3=(4，5，6，7)T， 4=(5，6，7，8) T，则 r(1， 2， 3， 4)=_。13 若 =(1，2，t) T 可由 1=(2，1，1) T， 2=(一 1， 2，7) T， 3=(1，一 1，一 4)T 线性表出，则 t=_。14 已知 =(3，5，7，9) ，=(一 1，5，2，0)，x 满足 2+3x=，则 x=_。15 设行向量组(2，1，1，1)，(2，1，a ，a)，(3， 2，1，a) ，(4，3，2，1)线性相关，且 a1，则
7、 a=_。计算题16 设向量组(I)： 1=(1，0，2) T， 2=(1，1，3) T， 3=(1，-1，a+2) T 和向量组()： 1=(1，2，a+3) T， 2=(2，1，a+6) T， 3=(2，1，a+4) T试问：当 a 为何值时，向量组(I) 与向量组 ()等价?当 a 为何值时，向量组(I) 与向量组()不等价?17 设 i=(ai1,ai2,，a in)T(i=1，2，r；rn) 是 n 维实向量，且 1， 2， r 线性无关已知 =(b1，b 2，b n)T 是线性方程组 的非零解向量，试判断向量组的线性相关性。18 求向量组 1=(1，1，4，2) T， 2=(1，一
8、 1，一 2，4) T， 3=(一 3，2，3，一 11)T， 4=(1，3，10，0) T，的个极大线性无关组。19 设 A，B 都是 mn 矩阵，则 r(A+B)r(A)+r(B)。20 已知向量组 1=(一 2，1，0) T， 2=(2，0，1) T 线性无关，试求该向量组的规范正交向量组。21 确定常数 a，使向量组 1=(1，1，a)， 2=(1，a，1) T， 3=(a，1，1) T 可由向量组1=(1，1，a) T， 2=(一 2， a，4) T， 3=(一 2，a，a) T 线性表出，但向量组1， 2， 3 不能由向量组 1， 2， 3，线性表示。22 设 1=(1， 1，1)
9、 ， 2=(1，2，3) ， 3=(1，3，t)， (1)问 t 为何值时，向量组1， 2， 3 线性相关。 (2)问 t 为何值时，向量组 1,2 线性无关。 (3)当线性相关时，将 3 表示为 2， 3 的线性组合。23 设 i=(ai1,ai2,，a in)T(i=1，2，r；rn)是 n 维实向量，且 1， 2， r 线性无关。已知 =(b1，b 2，b n)T 是线性方程组 的非零解向量，试判断向量组的线性相关性。24 设 4 维向量组 1=(1+a，1，1，1) T,2=(2，2+a，2，2) T， 3=(3，3，3+a ，3)T， 4=(4，4，4，4+) T，问 为何值时， 1
10、， 2， 3， 4 线性相关?当1， 2， 3， 4 线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。25 已知向量组(I) 1， 2， 3；() 1， 2， 3， 4；( ) 1， 2， 3， 5，如果各向量组的秩分别为 r(I)=r()=3，r()=4证明：向量组 1， 2， 3， 5 一 4 的秩为4。26 设 A 是 n 阶矩阵，A 2=E，证明：r(A+E)+r(AE)=n。27 已知 1=(1，一 1，1) T， 2=(1，t，一 1)T， 3=(t，1，2) T，=(4，t 2，-4) T，若 可由 1， 2， 3 线性表出且表达式不唯一，求 t 及
11、的表达式。28 设 1=(1， 1，1) T，求 2， 3，使 1， 2， 3 相互正交。29 已知 1=(1，1，0，2) T， 2=(一 1，1，2，4) T， 3=(2，3，a，7) T， 4=(一1，5，一 3，a+6) T，=(1，0，2，b) T，问 a，b 取何值时，(1) 不能由1， 2， 3， 4 线性表30 已知有两个向量组：(I)： 1=(0，1，一 1)T， 2=(a，2，1) T， 3=(b，1，0) T； ()： 1=(1，2，一 3)T， 2=(3，0，1) T， 3=(9，6，一 7)T 已知(I)与() 有相同的秩，31 设 3 阶行列式 A 与 3 维向量
12、x，使得向量组 x， Ax，A 2x 线性无关，且满足： A3x=3Ax 一 2A2x (1)记 P=(x，Ax，A 2x)，求 3 阶矩阵 B，使 A=PBP-1； (2)计算行列式|A+E|。32 设 A 是 n 阶矩阵， 1， 2， 3 是 n 维列向量，如果A1=10，A 2=1+2，A 3=2+3，证明向量组 1， 2， 3 线性无关。33 设向量组 1= (1，1，1，3) T， 2 = (一 1，一 3，5，1) T， 3 = (3，2，一 1，p+2)T， 4=(一 2，一 6，10，p) T。 (1)p 为何值时，该向量组线性无关? 并在此时将向量=(4， 1，6， 10)1
13、0 用 1， 234 求解齐次线性方程组35 已知非齐次线性方程组 有 3 个线性无关的解。 (1)证明方程组系数矩阵 A 的秩 r(A)=2；(2)求 a，b 的值及方程组的通解。36 当 k 为何值时，线性方程组 有唯一解，无解，有无穷多解?若有解时，试求出其全部解。37 设线性方程组为 (1)证明：若 a1，a 2，a 3，a 4 两两不相等，则此线性方程组无解。(2)设 a1=a2=k，a 3=a4=一 k(k0)，且已知 1， 2 是该方程组的两个解，其中 1=(一 1，1，1) T， 2=(1，1，一 1)T，写出此方程的通解。经济类专业学位联考综合能力数学基础（线性代数）模拟试卷
14、 3 答案与解析单项选择题1 【正确答案】 B【知识模块】 数学基础2 【正确答案】 C【知识模块】 数学基础3 【正确答案】 D【知识模块】 数学基础4 【正确答案】 B【知识模块】 数学基础5 【正确答案】 A【知识模块】 数学基础6 【正确答案】 B【知识模块】 数学基础7 【正确答案】 C【知识模块】 数学基础8 【正确答案】 A【知识模块】 数学基础9 【正确答案】 D【知识模块】 数学基础填空题10 【正确答案】 (1)(1，2，3，)+(2，3，一 2)=(1+2，2+3，32)=(3，5，1)(2)(10，2，6，)一(5，12，一 2)=(10 一 5，2 一 12，6 一(
15、一 2)=(5，一 10，8)(3)3.(2，3，一 5，)=(32，33，3(一 5)=(6，9，一 15)【知识模块】 数学基础11 【正确答案】 a 一 1【知识模块】 数学基础12 【正确答案】 2【知识模块】 数学基础13 【正确答案】 t=5【知识模块】 数学基础14 【正确答案】 【知识模块】 数学基础15 【正确答案】 【知识模块】 数学基础计算题16 【正确答案】 对( 1， 2， 3:1， 2， 3)作初等行变换，有(1)当 a一 1 时，行列式| 1， 2， 3|=a+10， 由克莱姆法则，知三个线性方程组x11+2x2+x33=i(i=1，2，3)均有唯一解，所以 1，
16、 2， 3 可由向量组(I)线性表出。由于行列式 由克莱姆法则，知三个线性方程组 x11+x22+x33=i(j=1，2，3)均有唯一解，即 a一 1 时，向量组(I)与向量组( )等价。(2)当 a=一 1 时，有由于 r(1， 2， 3)r(1， 2， 3)，线性方程组 x11+x22+x33=i(i=1，3)无解，故向量 1， 3 不能由向量组(I)线性表出因此，向量组(I) 与向量组()不等价。【知识模块】 数学基础17 【正确答案】 设存在一组数 k1，k 2，k r，l 使得向量组 1， 2， r，满足 k 11+k22+krr+l=0 因为 为方程组的非零解，所以有则 0， T1
17、=0， Tr=0。用 T 左乘，并把 Ti=0代入，得 lT=0 因为 0，所以有 T0，所以 l=0。从而 式为k11+k22+krr=0，由于 1， 2， r 线性无关，则 k1=k2=kr=0。因此向量组 1， 2， ， r， 线性无关。【知识模块】 数学基础18 【正确答案】 把行向量组成矩阵，用初等行变换化成阶梯形，有所以 1， 2 是一个极大线性无关组。【知识模块】 数学基础19 【正确答案】 设 A 的列向量中 i1,i2， ir 是其一个极大线性无关组，j1， j2， jt 是 B 的列向量的一个极大线性无关组那么，A 的每一个列向量均可以由 i1,i2， ir，线性表出，B
18、的每一个列向量均能用 j1， j2， jt 线性表出于是 A+B 的每一个列向量 k+k 都能用 i1,i2， ir， j1， j2,， jt 线性表出因此，A+B 列向量组中极大线性无关组的向量个数不大于向量组i1,i2， ijj1， j2， jt中向量个数，即 r(A+B)r+t=r(A)+r(B)。【知识模块】 数学基础20 【正确答案】 首先将其正交化，有 1=1=(一 2，1，0) T再单位化，有：【知识模块】 数学基础21 【正确答案】 因为 1， 2， 3 可由 1， 2， 3 线性表出，而向量组 1， 2， 3不能由向量组 1， 2， 3 线性表出，故必有 r(1， 2， 3)
19、r( 1， 2， 3)于是r(1， 2， 3)3，故| 1， 2， 3|= =-(a 一 1)2(a+2)=0 解出 a=1 或 a=一 2。而( 1， 2， 3)= 当 a=一 2 时，r(1， 2， 3)=2，r( 1， 2， 3)=2， 不满足 r(1， 2， 3)r( 1， 2， 3)，故应舍去。当 a=1 时， 1=2=3=1，可见 1， 2， 3 可由 1， 2， 3 线性表出，但 2， 3 不能由向量组 1， 2， 3 线性表示。 综上所述，a=1。【知识模块】 数学基础22 【正确答案】 设有一组数 k1，k 2，k 3，使得 k11+k22+k33=0，则可以得到方程组 此其
20、次方程组的系数行列式 (1)当 t=5 时，方程组有非零解，此时 1， 2， 3 线性相关。(2)当 t5 时，方程组仅有零解，此时1， 2， 3 线性无关。(3)当 t=5 时，则 3=(1，3， 5)设 3=x11+x22。则解方程可得：x 1=一 1，x 2=2，于是 3=-1+22【知识模块】 数学基础23 【正确答案】 设 k11+k22+krr+l=0(*)因为 为方程组的非 0 解，有即 0， T1=0， Tr=0。用 T 左乘(*)，并把 Ti=0 代入，得 lT=0。因为 0，有 T0，故必有 l=0 从而(*)式为k11+k22+krr=0，由于 1， 2， r 线性无关，
21、所以有 k 1=k2=kr=0。因此向量组 1， 2， r， 线性无关。【知识模块】 数学基础24 【正确答案】 对( 1， 2， 3， 4)作初等行变换，有若 a=0，则秩r(1， 2， 3， 4)=1， 1， 2， 3， 4 线性相关,极大线性无关组为 1，且2=21， 3=31， 4=41。 若 a0，则有当 a=-10 时， 1， 2， 3， 4 线性相关，极大无关组为 2， 3， 4，且 1=一 234。【知识模块】 数学基础25 【正确答案】 要证 1， 2， 3,5 一 4 的秩为 4，只要证明 1， 2， 3， 5 一 4线性无关即可。 因为 r(I)=r()=3，所以 1，
22、2， 3 线性无关，而 1， 2， 3， 4线性相关，故存在数 1， 2， 3，使 4=11+22+33 设存在一组数k1，k 2，k 3，k 4，使得 k 11+k22+k33+k4(5 一 4)=0 将 4=11+22+33 代入上式有：(k 11k4)1+(k2-2k4)2+(k3-3k4)3+k45=0 由 r()=4，可知 解得：k1=k2=k3=k4=0，故 1， 2， 3， 54 线性无关即向量组 1， 2， 3， 5 一 4 的秩为 4。【知识模块】 数学基础26 【正确答案】 由 A2=E，得到 A2 一 E=0，即(AE)(A+E)=0。故 r(A+E)+r(A E)n 又
23、因为 r(A+E)+r(AE)=r(A+E)+r(E-A) r(A+E)+(E-A)=r(2E)=r(E)=n 综上，r(A+E)+r(A-E)=n。【知识模块】 数学基础27 【正确答案】 设 x11+x22+x33=，即可得到 即对于增广矩阵有： 由于 可由 1， 2， 3 线性表出且表达式不唯一，所以方程组有无穷多解，故 r(A)= 3，从而 t=4，此时增广矩阵可化为 解出 x3=k，x 2=4 一 k，x 1=一 3k(k 为任意常数) 所以 =一 3k1+(4 一 k)2+k3【知识模块】 数学基础28 【正确答案】 设所求向量为 x=(x1，x 2，x 3)T，因为正交，所以 x
24、T1=0。即x1+x2+x3=0，即 x1=一 x2 一 x3。取 b1=(1，一 1，0) T，b 2=(1，0，一 1)T。由于题中要求 1， 2， 3 相互正交，而所得出的 b1，b 2 不相互正交。故应采用施密特正交法处理即： 2=b1=(1，一 1，0) T，此时的 1， 2， 3 相互正交。【知识模块】 数学基础29 【正确答案】 设 x11+x22+x33+x44=，对增广矩阵( 1， 2， 3， 4:)作初等行变换，有 所以(1)当 a=1，b2 或 a=10，b一 1 时，方程组均无解所以 不能由1， 2， 3， 4 线性表示。 (2)当 a1 且 a10 时，方程组有唯一解
25、，所以 能由1， 2， 3， 4 线性表示，且表示法唯一。 (3)方程组在两种情况下有无穷多解，即i 当 a=10，b=一 1 时：ii 当 a=1，b=2时：【知识模块】 数学基础30 【正确答案】 由于 1， 2 线性无关，且 3=31+22；故 1， 2 为( )的一个极大无关组，所以 r()=2，故由题设条件知 r(I)=2则可知| 1 2 3|=0 即| 1 2 3|=3b 一 a=0，即 a=3b。 再由题设的 3 可由()线性表出，知 3 可由()的极大无关组 1， 2 线性表示，因此向量组 1， 2， 3 线性相关，故有所以 a=15b=5【知识模块】 数学基础31 【正确答案
26、】 (1)因为 AP=(Ax，A 2x，A 3x)，而 Ax=0x+Ax+0A2x=x Ax A2xA2x=0x+0Ax+A2x=x Ax A2x A3x=3Ax 一 2A2x=x Ax A2x故 (2)由(1)知 A 与 B 相似，故A+E 与 B+E 相似，从而【知识模块】 数学基础32 【正确答案】 设存在一组实数 k1，k 2，k 3，使得 k11+k22+k33=0 (1) (1)式的两端同时左乘 A 并由已知条件，得 k 11+k2(1+2)+k3(2+3)=0 (2) (2)一(1)得：k21+k32=0 (3) (3)式的两边同时左乘 A 并由已知条件，得 k 21+k3(1+
27、2)=0 (4) (4)一(3)得：k 31=0， 由于 10，则 k3=0，由(3) 得 k21k 2=0 由(1)可得 k1=0 故向量组 1， 2， 3 线性无关。【知识模块】 数学基础33 【正确答案】 将 1， 2， 3， 4， 按列构成矩阵，并对其进行初等行变换。(1)当 p2 时，向量组 1， 2， 3， 4 线性无关。此时(2)当 p=2 时，向量组 1， 2， 3， 4 线性相关，此时，向量组的秩等于 3， 1， 2， 3(或 1， 3， 4)是其一个极大线性无关组。【知识模块】 数学基础34 【正确答案】 由方程组可得其系数矩阵由，基础解系由 2 个向量组成，每个解中有 2
28、 个自由变量。令 x2=1，x 4=0，解得x3=0， x1=2。令 x2=0，x 4=2，解得 x3=15，x 1=一 22。得到 1=(2，1，0，0)T， 2=(一 22，0，15，2) T 通解为：k 11+k22(其中 k1，k 2 均为常数)【知识模块】 数学基础35 【正确答案】 (1)设 1， 2， 3 是非齐次线性方程组 AX=b 的 3 个线性无关的解，那么 1 一 2， 1 一 3，是 Ax=0 线性无关的解，所以 nr(A)2，即 r(A)2(n=4)。显然矩阵 A 中有 2 阶子式不为 0，则有 r(A)2，从而秩 r(A)=2。(2)对增广矩阵作初等行变换，有由 知
29、 a=2，b=一 3又 a=(2，一 3，0，0) T 是 Ax=b 的解，且 1=(一2，1，1，0) T， 2=(4，一 5，0，1) T 是 Ax=0 的基础解系。所以方程组的通解为+k11+k22(k1，k 2 为任意常数)【知识模块】 数学基础36 【正确答案】 根据线性方程可以得出系数矩阵 A 的行列式为当 k4，且 k一 1 时，方程组有唯一解，用克莱姆法则求之得 当 k=一 1 时，方程组的增广矩阵为 因为 r(A)=2， 所以方程组无解。当 k=4 时，方程组的增广矩阵为=r(A)=2，可知方程组有无穷多解，于是【知识模块】 数学基础37 【正确答案】 (1)若 a1，a 2
30、，a 3，a 4 两两不相等因为增广矩阵 A 的行列式是范德蒙行列式，故 =(a2 一 a1)(a3 一 a1)(a4 一 a1)(a3 一 a2)(a4 一 a2)(a4 一 a3)0 即=4，而系数矩阵 r(A)=3，所以方程组无解。(2)当 a1=a2=k，a 3=a4=一 k(k0)时，原方程组等同于解方程组 由 nr(A)=32=1，知导出的齐次方程组 Ax=0 的基础解系含有 1 个解向量那么 =1一 2=(一 1，1，1) T 一(1，1，一 1)T=(一 2，0，2) T 是 Ax=0 的基础解系。 于是方程组的通解为 1+c=(一 1，1，1) T+c(一 2，0，2) T，其中 c 为任意实数。【知识模块】 数学基础
