1、经济类专业学位联考综合能力数学基础（线性代数）模拟试卷 5 及答案与解析单项选择题1 设行列式 其中等于 4!的是( )（A）（B） （C） （D）2 方程 f(x)= =0 的全部解为( )（A）4，5（B） 3，4（C） 2，3（D）1，23 0 的充分必要条件是( )（A）k0（B） k1（C） k0 且 k1（D）k0 或 k14 若有矩阵 Aml，B ln，C mn，则下列运算可以进行的是( )。（A）|C(AB) T|（B） (CA)TB（C） (CB)TA（D）|AB|C T5 设 A 为对角矩阵，B，P 为同阶矩阵，且 P 可逆，下列结论正确的是( )（A）若 AO，则 AmO
2、（B）若 BO，则 BmO（C） AB=BA（D）若 A=P1 ，则|A|0 时，|B| 06 设 A 为 n 阶矩阵，且|A|=1，则(A *)*=( )（A）A 1（B） A（C） A（D）A 27 其中 A 可逆，则 B1 =( )（A）A 1 P1P2（B） P1A1 P2（C） P1P2A 1（D）P 2A1 P18 已知向量组 1， 2， 3 可由向量组 1， 2 线性表示，则 ( )（A） 1， 2， 3 必线性相关（B） 1， 2， 3 必线性无关（C） 1， 2 也可由 1， 2， 3 线性表示（D）若 1， 2 线性无关，则 1， 2， 3 也必线性无关9 设 A 为 mn
3、 矩阵，若齐次线性方程组 Ax=0 有非零解，则( )（A）A 的列向量组线性无关（B） A 的行向量组线性无关（C） A 的列向量组线性相关（D）A 的行向量组线性相关10 设 1， 2， 3， 4 为 n 维向量组，则该向量组的所有向量均可以被其部分向量1， 2， 3 线性表示是 1， 2， 3 构成该向量组最大无关组的( )（A）充分但非必要条件（B）必要但非充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分也非必要条件11 已知 1， 2 为非齐次线性方程组 Ax=b 的两个特解，若 C11+C22 仍然是方程组Ax=b 的解，则 C1，C 2 应满足条件( )（A）C 1，C 2 为任意常数（
4、B） C10， C20（C） C1+C2=0（D）C 1+C2=112 设 1， 2， 3 为 3 维列向量，则 0(其中 iT(i=1，2，3)为向量 i 的转置 )是 1， 2， 3 线性无关的( ) （A）充分必要条件（B）充分但非必要条件（C）必要但非充分条件（D）既非充分也非必要条件13 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*O，若考 1， 2， 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系 ( )（A）不存在（B）仅含一个非零解向量（C）含两个线性无关解向量（D）含三个线性无关解向量计算题14 计算行列式 D5=15 设 A=C1 B
5、C求 A10115 设 A= ，求：16 A1 ；17 (A*)1 ；18 (A 1)*19 设 A= ，求 An20 设 A 为 3 阶矩阵，矩阵 B= ，且满足(AE) 1 =B*E，求 A1 21 设 A= ，A=E 3(2(k)BE4(21(2)，k 为非零常数，求 B22 设列向量组 1， 2， 3 可以被列向量组 1， 2， 3 线性表示，同时，列向量组1， 2， 3 可以被向量组 1， 2， 3 线性表示，各自表达式为 1=1+22+3， 2= 1+2+23， 3=1+223 3； 1=1 22 3， 2=21+2 3， 3=22 3 试用向量组 1， 2， 3 线性表示向量组
6、1， 2， 3，并给出具体表达式23 求向量组 的秩和一个最大无关组24 确定常数 a，使向量组 1=(1，1，a) T， 2=(1，a ，1) T， 3=(a，1，1) T 可以由向量组 1=(1，1，a) T， 2=(2，a ，4) T， 3=(2，a ，0) T 线性表示25 设齐次线性方程组 讨论 取何值时，方程组仅有零解，有非零解，并在 a=2 的情况下求解方程组，并给出通解26 A=(1， 2， 3， 4)， 1， 2， 3， 4 均为 4 维列向量，其中 2， 3， 4 线性无关， 12 2 3，如果 =1+2+3+4，求线性方程组 Ax= 的通解27 设线性方程组 与方程()x
7、 1+2x2+x3=a1 有公共解，求a 的值及所有公共解经济类专业学位联考综合能力数学基础（线性代数）模拟试卷 5 答案与解析单项选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 本题所给每个行列式仅含有 4 个不同行不同列的非零元素，行列式即为由这 4 个元素乘积构成的特定项在乘积大小同为 41 的情况下，关键是确定项前符号在行标按自然顺序排列的前提下：中非零项列标排列的逆序数为 (4321)=6，为偶数，从而知其值为 4!中非零项列标排列的逆序数为 (3421)=5，为奇数，故其值为 4!中非零项列标排列的逆序数为 (4123)=3，为奇数，故其值为 4!中非零项列标排列的逆序数为 (4231)=
8、5，为奇数，故其值为 4!故选 A【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 根据不同行不同列的原则，知该方程为二次方程，应有 2 个解，即使行列式为零的 x 值本题有两种解法解法 1 观察行列式的结构，可知当行列式第 1，3 行相应元素比值为12 时，其值为零，即有 3x=2，得 x=1同理，当行列式第 1，2 行相应元素比值为 12 时，其值为零，即有 62x=x 及 6x=4 ，得 x=2故该方程的全部解为 1，2故选 D解法 2 将答案直接代入验证：选项D，由 知 x=1，2 是方程的全部解故选 D类似地，选项 A，由 f(4)0，f(5)0，知 x=4，5 都不是方程的解
9、选项 B，由 f(3)0，f(4)0 ，知 x=3，4 都不是方程的解选项 C，由 f(2)=0， f(3)0，知 x=3 不是方程的解【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 注意到行列式可分为 4 个子块，左下方由零元素组成，因此，可转化为两个 2 阶行列式的乘积，即有=k(k1)(k+1)，若要行列式不等于零，必有 k0且 k1，故选 C【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 A【试题解析】 选项 A，矩阵的乘法运算是矩阵运算中最重要的运算运算时，首先要注意矩阵乘法的可行性，即两矩阵相乘必须左侧矩阵的列标等于右侧矩阵的行标题中，C(AB) T=Cmn(BT)nl(AT)lm
10、 为 m 阶方阵，从而对应有行列式|C(AB)T|故选 A 选项 B，由(CA) TB=(AT)lm(CT)nmBln，知运算不符合矩阵乘法规则 选项 C，由(CB) TA=(BT)nl(CT)nmAml，知运算不符合矩阵乘法规则 选项D，由 AB=AmlBln 为 mn 矩阵，不存在对应行列式，运算不成立【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 A【试题解析】 选项 A，设 由于AO，不妨令 a00，从而有 a1m0，所以 AmO故选 A选项 B，见反例，设B= ，但有 B2= ，知该结论不正确选项 C，两同阶对角矩阵对乘法有交换律，但对角矩阵与一般矩阵之间对乘法无交换律，故结论不正确选项 D
11、，若A=P1 BP，则|A|=|P 1 BP|=|P1 |B|P|=|B|，故结论不正确【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 由|A|=1，知 A 可逆，则 A*=|A|A1 =A1 ，从而得 (A *)*=(A1 )*=|(A 1)1 =A 故选 C【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 依题设，B 是将 A 的第 1 列和第 4 列交换，第 2 列和第 3 列交换后得到的矩阵，P 1，P 2 分别是初等矩阵 E(1，4)，E(2，3)，即有 B=AP1P2 或B=AP2P1，从而有 B1 =P21 P11 A1 或 B1 =P11 P21 A1 ，又P11
12、 =P1，P 21 =P2，因此，B 1 =P1P2A1 ，故选 C【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 A【试题解析】 若个数多的向量组能被一个个数少的向量组线性表示，则该向量组必线性相关，由此可以确定 1， 2， 3 必线性相关故应选 A【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 C【试题解析】 齐次线性方程组 Ax=0 有非零解，其充分必要条件是 r(A)n ，从而知 A 的列向量组线性相关故选 C【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 B【试题解析】 1， 2， 3 要构成向量组的一个最大无关组，必须具备两个条件：一是 1， 2， 3 为线性无关组，二是 1， 2， 3 可将 1， 2
13、， 3， 4 中的所有向量线性表示因此，是必要但非充分条件，故选 B【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 D【试题解析】 由题设 A1=b，A 2=b，将 C11+C22 代入方程组，有 AC11+AC22=C1b+C2b=(C1+C2)b=b， 知若 C11+C22 仍然是方程组 Ax=b 的解，应有 C1+C2=1，故选 D【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 A【试题解析】 记 A=(1， 2， 3)，由 ATA 从而有=|ATA|=|A|2，于是， 1， 2， 3 线性无关的充分必要条件是|A|0，而 |A|0的充分必要条件是 0，故选 A【知识模块】 线性代数13 【正确答案
14、】 B【试题解析】 由 A*O，知 r(A*)1，故 r(A)n1，又因方程组 Ax=b 有互不相等的解 1， 2， 3，知 r(A)n，从而 r(A)=n1，因此，方程组 Ax=0 的基础解系含n(n1)=1(个) 线性无关解向量，故选 B【知识模块】 线性代数计算题14 【正确答案】 将各行加至第 5 行，再按第 5 行展开，有=(1) 5+1a5+D4=(1) 5a5+D4=a 5+(1) 4a4+D3=a 5+a4+(1) 3a3+D2=a 5+a4a 3+(1) 2a2+D1=a 5+a4a 3+a2a+1【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 由矩阵乘法的结合律，有 Am=C1
15、BmC其中，由 B2=E，B 3=B，知 B101=B若记 C1= ，则 C11因此，A 101=C1 BC【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 记 A1= ，由 |A1|= =10，|A 2|=20，|A|= =(1) 22|A1|A2|=20，知 A1，A 2，A 可逆且 A11设 A1 = ，其中Xi(i=1，2，3，4)为 2 阶子块，则有 AA1同时有A1X3=E，A 1X4=O，A 2X1=O，A 2X2=E，解得X1=O，X 2=A21 ，X 3=A11 ，X 4=O因此，【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 由(A *) 1=(|A|A1 )1 =
16、1|A|(A 1 )1 =1|A|A=12A，得(A *)1【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 由(A 1 )*=|A1 |(A1 )1 =(|A|A1 )1 =(A*)1 知(A 1 )*=(A*)1【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 由 A2=22EA 3=22A所以，当 n=2k(k=1，2，3，) 时，A n=(A2)k=(22E)k=22kE；当n=2k+1(k=1， 2，3，) 时，A n=(A2)kA=(22E)kA=22kA【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 等式两边左乘 AE，得(AE)(B *E)=E ，即AB*B *A+E=E，从而得 A(B*E)=B
17、*由于|B|=20，可知 B 可逆，且 B*可逆，所以 A=B*(B*E) 1 ，故 A1 =(B*E)(B *)1 =E(B *)1【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 根据初等矩阵的运算性质，有 E3(2(k)=E(2(k3)，E 4(21(2)=E(21(8)，E 1 (2(k3)=E(2(k3 )，E 1 (21(8)=E(21(8)，从而有 B=E3(2(k)1 AE4(21(2) 1 =E(2(k3 )AE(21(8)【试题解析】 本题计算过程中用到初等矩阵的幂运算和逆运算的性质，即 E m(i(k)=E(i(km)，E m(ij(k)=E(ij(mk)， E 1 (i(k)=
18、E(i(k1 )，E 1 (ij(k)=E(ij(k) 【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 由题设，( 1， 2， 3) (1， 2， 3)从而有( 1， 2， 3)因此表达式为1=212 2， 2=32+73， 3=3 13 2+83【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 将向量组按列向量排成一个矩阵，并施以初等行变换，(1， 2， 3， 4， 5)=(1， 2， 3， 4， 5)，其中非零行数为 3，故 r(1， 2， 3， 4， 5)=3， 1， 2， 4 是向量组1， 2， 3， 4， 5 的一个最大无关组，从而知 1， 2， 4 是向量组1， 2， 3， 4， 5 的一个最大
19、无关组【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 1， 2， 3 可以由向量组 1， 2， 3 线性表示，即方程组x11+x22+x33=i(i=1，2， 3)(*)有解，方程组系数矩阵为 B=(1， 2， 3)=4(a+2)，知当 a2 时，方程组(*)总有解，即 1， 2， 3 可以由向量组 1， 2， 3 线性表示又当 a=2 时，r(1， 2， 3)=2，r( 1， 2， 3， 2)=3，因此可以排除 1， 2， 3 可以由向量组1， 2， 3 线性表示的可能性【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 该方程组的系数矩阵为 A= ，|A|为范德蒙德行列式，从而有|A|= =3(a1)(a
20、+2)，从而知，当 a1 且 a2 时，|A|0 ，r(A)=3 ，方程组仅有零解当 a=1 或 a=2 时，|A|=0 ，且 r(A)3，知方程组有非零解当a=2 时，原方程组为 对其系数矩阵作初等行变换，得对应同解方程组为 解得x=C(0， 1， 1)T，C 为任意常数【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 由 2， 3， 4 线性无关， 1=22 3，知 r(A)=3，对应齐次方程组 Ax=0 的基础解系由一个无关解构成，又由 12 2+3+04=A =0，知(1， 2，1，0) T 为方程组 Ax=0 的一个无关解，即为 Ax=0 的一个基础解系同时，1+2+3+4=A =，知(1，
21、1，1，1) T 为方程组 Ax= 的一个特解，故原方程组的通解为 x=C(1，2，1，0) T+(1，1，1，1) T，C 为任意常数【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 解法 1 联立方程组求解两方程组联立对方程组()的增广矩阵施以初等行变换，有由于方程组()有解，故()的系数矩阵与增广矩阵的秩相等，即有(a 1)(a2)=0，得 a=1 或 a=2当a=1 时， 因此，()与()的公共解为 x=C(1，0，1) T，C 为任意常数当 a=2 时， 因此，方程组()与方程()的公共解为唯一解 x=(0，1，1) T解法 2 从方程组()的系数行列式入手由 =(a1)(a 2)，知当 a1 且 a2 时，方程组()只有零解，但不是方程( )的解故两方程组无公共解当 a=1 时，对方程组()的系数矩阵施以初等行变换，有 得方程组()的通解为 x=C(1，0，1) T，其中C 为任意常数经验证，此解也为方程组()的解，所以方程组()与方程()的公共解为 x=C( 1，0，1) T，其中 C 为任意常数当 a=2 时，对方程组()的系数矩阵施以初等行变换，有 因此方程组()的通解为x=C1(0，1，1) T，其中 C，为任意常数将此解代入方程()，得 C1=1，所以方程组() 与方程 ()的公共解为唯一解 x=(0，1，1) T【知识模块】 线性代数
