1、经济类专业学位联考综合能力数学基础（线性代数）模拟试卷 6 及答案与解析单项选择题1 行列式中两行(列) 成比例是行列式为零的( ) （A）充分但非必要条件（B）必要但非充分条件（C）既非充分也非必要条件（D）充分必要条件2 记 f(x)= ，则方程 f(x)=0 的根( )（A）全部为正数（B）全部为负数（C）有正有负（D）不是实数3 （A）2(x 3y 3)（B） 2(x3y 3)（C） 2(x3+y3)（D）2(x 3+y3)4 设 A，B 为 n 阶矩阵，若 AB=O，则( )（A）B 2A2=O（B） (A+B)2=A2+B2（C） A，B 中至少有一个为零矩阵（D）A，B 可能都为
2、非零矩阵5 设 A= ，B=P 1 AP，其中 P 为 3 阶可逆矩阵，则 B20042A 2=( )6 设 A，B 均为 2 阶矩阵，A *，B *分别为 A，B 的伴随矩阵，若|A|=2 ，|B|=3 ，则分块矩阵 的伴随矩阵为( )7 设 A 为 n(n2)阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得到矩阵 B，A *，B *分别为 A，B 的伴随矩阵，则( )（A）交换 A*的第 1 列与第 2 列得到 B*（B）交换 A*的第 1 列与第 2 列得到B *（C）交换 A*的第 1 行与第 2 行得到 B*（D）交换 A*的第 1 行与第 2 行得到B *8 1， 2， 3 两两线
3、性无关是向量组 1， 2， 3 线性无关的( )（A）充分但非必要条件（B）必要但非充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分也非必要条件9 设 3 阶矩阵 A 经初等列变换化为矩阵 B，则( )（A）B 的行向量组可以被 A 的行向量组线性表示（B） B 的列向量组可以被 A 的行向量组线性表示（C） B 的行向量组可以被 A 的列向量组线性表示（D）B 的列向量组可以被 A 的列向量组线性表示10 设 A=(1， 2， 3， 4)是 4 阶矩阵，若(1，0，1，0) T 是方程组 Ax=0 的一个基础解系，则 r(A)=( )（A）1（B） 2（C） 3（D）411 设 A 为 mn 矩阵，
4、若要非齐次线性方程组 Ax=b 对任意的常向量 b 总有解，则应满足条件( ) （A）r(A)=m（B） r(A)=n（C） r(A) m（D）r(A)n12 设 A 为 mn 矩阵，则( ) （A）当 mn 时，非齐次线性方程组 Ax=b 无解（B）当 m=n 时，非齐次线性方程组 Ax=b 有唯一解（C）当 mn 时，非齐次线性方程组 Ax=b 有无穷多解（D）方程组 Ax=b 是否有解与 m，n 之间的大小无关13 线性方程组 有解的充分必要条件是( )（A）a 1，a 2，a 3 均为零（B） a1+a2+a3=0（C） a1+a2 a3=0（D）2a 1a 2a 3=0计算题14 设
5、 用递推法计算 Dn+115 设 A= ，化简并计算 A2(BA)(AB 1 )1 16 设 A 可逆，A 1 = ，且满足方程 A*BA+A*B=5E，求 B17 已知 A= ，满足(2E A 1 B)CT=A1 ，求矩阵 C18 设 A= ，B 是将 A 的伴随矩阵 A*的第 2 行乘2 加到第 3 行得到的矩阵，求 A1 B1 19 已知 3 阶矩阵 A= ，且 A与 线性相关，求满足条件的常数 a19 设 1=(6， 3，3) T， 2=(a，2，2) T， 3=(a， 1，0) T， 4=(0，1，a) T，试问：20 a 为何值时， 1， 2 线性无关；21 a 为何值时， 1，
6、2， 3 线性相关；22 a 为何值时， 1， 2， 3， 4 线性相关23 设矩阵 1=(2，0，0，0，0)， 2=(1，5，0，0，0)，3=(3， 1，4， 0，0) ， 4=(6，7，2，0，0) 为 A 的行向量组，求该行向量组的一个最大无关组24 已知向量组() ： 1， 2， 3 和向量组()： 1， 2， 3，且试判断向量组()和() 是否等价，并说明理由25 设 A= ，求解方程 AX=B26 设 1， 2， 3， 4， 5 均为 3 维列向量， 1， 2， 3 线性无关，4=1+2 3， 4=12 2+3，A=( 1， 2， 3， 4)，求线性方程组 Ax=5 的通解27
7、 已知向量组 1=(2，1，a+2 ，1) T， 2=(1，2 ，4，a+8) T 与 1=(5，3，1，0)T， 2=(3，2，0，1) T 分别为两个齐次线性方程组的一个基础解系问当 a 为何值时，两个方程组有非零公共解，在有非零公共解的条件下，给出全部非零公共解经济类专业学位联考综合能力数学基础（线性代数）模拟试卷 6 答案与解析单项选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 根据行列式的性质：若行列式中两行(列)成比例，则行列式必为零所以，行列式中两行(列)成比例是行列式为零的充分条件，但非必要条件反例：行列式 的任意两行(列)都不成比例，但其值为零故选 A【知识模块】 线性代数2 【正确
8、答案】 A【试题解析】 本题行列式的行列之间的比例关系并不十分清晰，应利用行列式性质化简后计算出方程的解即由=(1x) 2(10x)，所以方程的根为 x=1(二重)，10，故选 A【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 将第二、三列加至第一列，得=2(x+y)(x 2xy+y 2)=2(x 3+y3)故选 C【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 两矩阵乘积为零矩阵，两矩阵中未必有零矩阵，这是矩阵乘法不同于数的乘法的特点之一如 A= 均为非零矩阵，但有AB=O故 C 不正确，选 D选项 A，AB=O ，与 B2A2=O 不存在因果关系，如上例中 A2= ，有 B
9、2A2选项 B，由于矩阵乘法无交换律，由 AB=O 未必有 BA=O，因此，(A+B) 2=A2+AB+BA+B2=A2+BA+B2A2+B2【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 A【试题解析】 由 A2 A4=E，得B2004 2A2=P1 (A4)501P 2A2=P1 P2A 2故选 A【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 一般地，若矩阵 A*是 A 的伴随矩阵，则必有结论 AA*=|A|E，下面对四个选项分别验证：容易看到，选项 A，B，C 不满足为 的伴随矩阵的必要条件，因此，由排除法确定的伴随矩阵故选 D【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 B【试题解析】 依
10、题设，B=E(1，2)A，从而有 B1 =A1 E1 (1，2)=A 1 E(1，2)，且|A|=|B| 又 A*=|A|A1 ，B *=|B|B1 ，于是有， B *=|B|B1 =|B|A1 E(1，2)=|A|A 1 E(1，2)=A *E(1，2)， 即交换 A*的第 1 列与第 2 列得到B *，故选B【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 B【试题解析】 向量组 1， 2， 3 线性无关，则其部分向量组必线性无关，因此，1， 2， 3 两两线性无关但 1， 2， 3 两两线性无关未必有向量组 1， 2， 3线性无关，见反例：向量 1=(0，1) ， 2=(1，0)， 3=(1，1)
11、两两线性无关，但向量组 1， 2， 3 线性相关所以， 1， 2， 3 两两线性无关是向量组 1， 2， 3 线性无关的必要但非充分条件，故选 B【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 D【试题解析】 3 阶矩阵 A 经初等列变换化为矩阵 B，即存在一个可逆矩阵 Q，使得 AQ=B若记 A 和 B 的列向量组分别为 1， 2， 3； 1， 2， 3，Q=(x ij)，i，j=1，2，3，则有 ( 1， 2， 3)Q=(x111+x212+x313，x 121+x222+x323，x 131+x232+x333) =(1， 2， 3) 所以B 的列向量组可以被 A 的列向量组线性表示，故选 D【
12、知识模块】 线性代数10 【正确答案】 C【试题解析】 依题设，由 4r(A)=1 ，知 r(A)=3，故选 C【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 A【试题解析】 方程组 Ax=b 有解的充分必要条件是 r(A b)=r(A)选项 A，若 r(A)=m，知 A 为行满秩矩阵，在加任意一个列向量 b 后，加长矩阵(A b)即增广矩阵仍为行满秩矩阵，总有 r(A b)=r(A)=m故选 A选项 B，r(A)=n 只说明方程组导出组 Ax=0 仅有零解，但不能说明 Ax=b 一定有解选项 C，r(A)m 时，通过适当变换可以找到特定的常向量 b，使得 r(A b)r(A)，致使方程组无解故Ax
13、=b 不一定有解选项 D，r(A) n 只说明方程组导出组 Ax=0 有非零解，但不能说明 Ax=b 一定有解【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 D【试题解析】 线性方程组 满足 mn，但有解，选项 A 不正确；线性方程组 满足 m=n，但无解，选项 B 不正确；线性方程组满足 mn，但无解，选项 C 不正确；可见方程组 Ax=b 是否有解与 m，n 之间的大小无关，故选 D【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 B【试题解析】 选项 B，非齐次线性方程组 Ax=b 有解的充分必要条件是 7r(A b)=r(A)，于是由知a1+a2+a3=0 是该方程组有解的充分必要条件，故选 B选项
14、 A，a 1，a 2，a 3 均为零时，方程组变为齐次线性方程组，显然有解，但并非是原方程组有解的必要条件选项 C 和选项 D 提供的条件均不能保证方程组有解【知识模块】 线性代数计算题14 【正确答案】 关键是找出 Dn+1 与低阶行列式的对应关系，即递推公式，一旦找出公式，问题就迎刃而解按第一行展开 Dn+1=(a+x)Dn=(a+x)2Dn1 =(a+x)nD1=a(a+x)n【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 由|A| =3，知 A，B 可逆，且 A*=|A|A1 =13A1 ，B *=|B|B1 =3B1 ，于是 A2(BA)*(AB1 )1 =A2A*B*(B1 )1 A1
15、一 A(AA*)(B*B)A 1=A(|A|E)(|B|E)A1 =|A|B|E=39E【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 将 A*=|A|A1 代入方程，有|A|A 1 BA+|A|A1 B=5E，方程两端同时左乘 A，右乘 A1 ，得|A|B(E+A 1 )=5E，B=5|A|(E+A 1 )1 ，其中|A 1 |=3，|A|=13，E+A 1 = 又由得(E+A 1 )1 因此B=15(E+A1 )1【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 由等式两边左乘 A，得(2AB)C T=E，可知矩阵 2AB 与 CT 均可逆，且互为逆矩阵因此，C T=(2AB) 1 由得 C=(2AB)
16、 1 T【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 由|A|= =60，可知 A，A *可逆，且 A*=|A|A1 依题设，得 B=E(32(2)A *，从而有 B1 =(A*)1 E1 (32(2)=|A| 1 (A1 )1 E(32(2)=1 6AE(32(2)，因此有 A1 B1 =16A 1 AE(32(2)【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 已知 A与 线性相关，即存在常数 ，使得 A=，即求解方程组 从而解得=1，a=12 或 =0，a=1【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 解法 1 用定义式设有一组常数 k1，k 2，使得 k11+k22=0，即有
17、方程组 其同解方程组为 容易看到，当 a4 时，该方程组仅有零解，即 1， 2 线性无关解法 2 用初等行变换由( 1， 2)T知当 a4 时，r( 1， 2)=2，即 1， 2 线性无关【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 直接由| 1， 2， 3| =3(a+4)，知当 a=4 时，1， 2， 3 线性相关【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 向量个数大于维数，可直接判定，对 a 的任意取值，1， 2， 3， 4 均线性相关【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 =400，知 1=(2， 0，0)， 2=(1，5，0)，3=(3， 1，4)线性无关，因此，其加长向量组 1， 2，
18、 3 也线性无关易知 r(A)=3，从而 A 的行秩即行向量组 1， 2， 3， 4 的秩等于 3，所以 1， 2， 3 是1， 2， 3， 4 的一个最大无关组【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 由( 1， 2， 3)=(1， 2， 3) ，其转换矩阵为=40，知 A 可逆，于是，( 1， 2， 3)=(1， 2， 3) 即向量组()和()可以互相表示，故 ()与()等价【试题解析】 本题还可以从秩的角度给出另一种解法，即由( 1， 2， 3)=(1， 2， 3)A，且 A 可逆，说明矩阵 (1， 2， 3)是由( 1， 2， 3)右乘可逆矩阵A 得到，因此，两向量组秩相等，又 1，
19、2， 3 可被 1， 2， 3 线性表示，故两向量组等价【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 令 X 的列向量组为(x 1，x 2)，并记 B=(e1，e 2)，其中 e1=(1，0，0)T， e2=(0，1， 0)T 于是，方程 AX=B 可分解为两个方程组 Axi=ei(i=1，2)求解，实际求解过程可合并处理对分块矩阵施以初等行变换：容易得到方程组 Axi=ei(i=1，2)各自的通解为 x1=C1( 1，2，3，1) T+(2，1，1，0)T； x2=C2(1，2，3，1) T+(6，3，4，0) T，因此，C1，C 2 为任意常数【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 依题设，
20、该方程组的系数矩阵 A 的秩为 3，其导出组 Ax=0 的基础解系由个无关解构成，由 1+2 3 4=0， 知 =(1，1，1，1) T 为导出组的一个基础解系，又由 12 2+3+0 4=5， 得原方程组的一个特解=(1，2，1，0) T因此，所求通解为 x=C+，C 为任意常数【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 两个方程组有无非零公共解即两个方程组的非零解空间的交集是否非空，其充要条件是由两个方程组的基础解系为列向量组构造的齐次线性方程组有无非零解因此，若要有非零公共解，必须有 =(a+1)2=0解得 a=1，将 a=1 代入，有C3=C 14C 2，C 4=C 17C 2，于是两个方程组的非零公共解为x=C1(2，1，1，1) T+C2(1，2，4，7) T，其中 C1，C 2 为不全为零的常数【知识模块】 线性代数
