1、考研数学二（一元函数的泰勒公式及其应用、常微分方程）模拟试卷1 及答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 求 的带皮亚诺余项的三阶麦克劳林公式2 求 e-x2 带皮亚诺余项的麦克劳林公式3 求 arctanx 带皮亚诺余项的 5 阶麦克劳林公式4 求极限5 确定常数 a 和 b 的值，使 f(x)=x-(a+bex2)sinx 当 x0 时是 x 的 5 阶无穷小量6 设 f(x)在 x=0 处 n(n2)阶可导且 =e4，求 f(0)，f(0) ，f (n)(0)7 设 0x8 设 f(x)在0，1二阶可导， f(0)a，f(1) a，f(x)b，a，b 为非负数，求
2、证： (0，1)，有 f(c)2a+ b.9 设 f(x)在a ，b三次可微，证明： (a，b)，使得 f(b)=f(a)+(b-a)2f()10 在 x=0 处展开下列函数至括号内的指定阶数： ()f(x)=tanx(x 3)； ()f(x)=sin(sinx)(x3)11 求下列函数 f(x)在 x=0 处带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式： ()f(x)= ()f(x)=exsinx12 用泰勒公式求下列极限：13 用泰勒公式确定下列无穷小量当 x0 时关于 x 的无穷小阶数：()() 0x(et-1-t)2dt14 设 f(x)在(0，+)三次可导，且当 (0，+) 时 f(x)M 0，
3、f(x)M 3，其中 M0，M 3 为非负常数，求证 F(X)在(0，+)上有界15 设函数 f(x)在0，1二阶可导，且 f(0)=f(0)=f(1)=0，f(1)=1求证：存在(0， 1)，使f()416 设 f(x)在(x 0-，x 0+)有 n 阶连续导数，且 f(k)(0)=0，k=2，3，n-1；f (n)(x0)0当 0h 时， f(x0+h)=f(x0)=hf(x0+h)，(01)求证：17 求下列函数的带皮亚诺余项至括号内所示阶数的麦克劳林公式：()f(x)=excosx(x3)；()f(x)= (x3)；( )f(x)= ，其中 a0 (x 2)18 求下列函数的带皮亚诺余
4、项的麦克劳林公式： ()f(x)=sin 3x； ( )f(x)=xln(1-x2)19 确定下列无穷小量当 x0 时关于 x 的阶数：()f(x)=e x-1-x- xsinx；()f(x)=cosx-120 求下列极限：21 确定常数 a 和 b 的值，使得22 设 f(x)=x2sinx，求 f(n)(0)23 设 f(x)在 x=0 处二阶可导，又 I= =1，求 f(0)，f(0)，f(0)24 设 f(x)在 x=a 处 n(n2)阶可导，且当 xa 时 f(x)是 x-a 的 n 阶无穷小，求证：f(x)的导函数 f(x)当a 时是 x-a 的 a-1 阶无穷小25 设 f(x)
5、在 x=a 处四阶可导，且 f(a)=f(a)=f(a)=0，但 f(4)(a)0，求证：当 f(4)(a)0( 0)时 x=a 是 f(x)的极小(大) 值点26 设 f(x)，g(x) 在 x=x0 某邻域有二阶连续导数，曲线 y=f(x)和 y=g(x)有相同的凹凸性求证：曲线 y=f(x)和 y=g(x)在点(x 0，y 0)处相交、相切且有相同曲率的充要条件是：f(x)-g(x)=o(x-x 0)2)(xx 0)考研数学二（一元函数的泰勒公式及其应用、常微分方程）模拟试卷1 答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 【正确答案】 因为 x2+ x3+o(x3)，
6、cosx= x2+o(x3)，从而 x2- x2+ x3- x3+o(x3)=1+ x2- x3+o(x3)【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用2 【正确答案】 把 t=-x2 代入 et=1+t+ +o(tn)(t0) 即得 e-x2=1-x2+o(x2n)(x0) 【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用3 【正确答案】 由于(arctanx)= =1-x2+x4+o(x5)，由该式逐项积分即得 arctanx=0x =0x(1-t2+t4)dt+o(x6)=x- x3+ x5+o(x6)【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用4 【正确答案】 因x4+o(x4)，cosx-e x2=
7、-(1+x2)+o(x2)= x2+o(x2)又 sinx2x 2(x0) ，所以【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用5 【正确答案】 利用 ex2=1+x2+ +o(x5)，sinx=x- +o(x6)，可得 f(x)=x-a+b+bx2+ x4+o(x5) +o(x6)=(1-a-b)x+x5+o(x5)不难看出当 1-a-b=0 与 -b=0 同时成立 f(x)才能满足题设条件由此可解得常数 a= ，并且得到 f(x)=x5+o(x5)，f(x)是 x 的 5 阶无穷小(x0)【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用6 【正确答案】 1)先转化已知条件由 =e4 知从而再用当 x0
8、时的等价无穷小因子替换 ln1+f(x)f(x)，可得 2)用 a(1)表示当 x0 时的无穷小量，由当 x0 时的极限与无穷小的关系 =4+o(1)，并利用 xno(1)=o(xn)可得 f(x)=4xn+o(xn)从而由泰勒公式的唯一性即知 f(0)=0，f(0)=0，f (n-1)(0)=0， =4，故 f(n)(0)=4n!【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用7 【正确答案】 由带拉格朗日余项的泰勒公式 cosx=1- x4cos(x)，0 1，可得 1-cosx=x2( x2cosx)注意当 0x，故【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用8 【正确答案】 考察带拉格朗日余项的一
9、阶泰勒公式： 0，1， (0，1)，有 f(x)=f(c)+f(c)(x-c)+ f()(x-c)2， (*)其中 =c+(x-c)，01在(*)式中，令x=0，得 f(0)=f(c)+f(c)(-c)+ f(1)c2，0 1c1；在(*)式中，令 x=1，得 f(1)=f(c)+f(c)(1-c)+ f(2)(1-c)2， 0c 21上面两式相减得 f(1)-f(0)=f(c)+ f(2)(1-c)2-f(1)c2从而 f(c)=f(1)-f(0)+ f(1)c2-f(2)(1-c)2，两端取绝对值并放大即得f(c) 2a+ b(1-c)2+c22a+ b(1-c+c)=2a+ b其中利用了
10、对任何 c(0，1)有(1-c)21-c，c 2c，于是(1-c) 2+c21【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用9 【正确答案】 将 f(x)在 x0= 展成二阶泰勒公式并分别令 x=b 与 x=a 得其中 1， 2(a，b)上面两式相减得 f(b)-f(a)= f(1)+f(2)(b-a)3注意： f(1)+f(2)介于 f(1)与 f(2)之间，由导函数取中间值定理，可得 (a，b) ，使得 因此得证【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用10 【正确答案】 () 设 tanx=A+A1x+A2x2+A3x3+o(x3)=A1x+A3x3+o(x3)(tanx 为奇函数，A 0=0，
11、A 2=0)，又 tanx= ，则A 1x+A3x3+o(x3)1-x2+o(x3)=x- x3+o(x3)，即 A1x+(A3- A1)x3+o(x3)=x- x3+o(x3)比较系数可得A1=1，A 3- A1= A1=1，A 3= 因此 tanx=x+ x3+o(x3)()已知 sinu=u-a3+o(u3)(u0)，令 u=sinx sin(sinx)=sinx- sin3x+(sin3x)再将 sinx=x- x3+o(x3)，代入得 sin(sinx)= x3+o(x3)=x- x3+o(x3)【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用11 【正确答案】 通过求 f(0)，f(0)，
12、f (n)(0)及 f(n+1)(x)而得() 由 f(x)=，可得对 m=1，2，3，有 f(m)(x)=2(-1)mm!f(m)(0)=2(-1)mm!故 f(x)=1-2x+2x2-+2(-1)nxn+2(-1)n+1 () 用归纳法求出 f(n)(x)的统一公式可归纳证明 f (n)(x)= ，n=1，2，因此【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用12 【正确答案】 () 用 et，ln(1+t)，cost，sint 的泰勒公式，将分子、分母中的函数在 x=0 展开由于 xcosx=x1- x2+o(x2)=x- x3+o(x3)，sinx=x- x3+o(x3)，因此，xcosxs
13、inx= x3+o(x3)= x3+o(x3)再求分子的泰勒公式由x2e2x=x21+(2x)+o(x)=x2+2x3+o(x3)，ln(1-x 2)=-x2+o(x3)， x2e2x+ln(1-x2)=2x3+o(x3)因此()由 ln(1+x)=x- x2+o(x2)(x0) ，令 x= ，即得【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用13 【正确答案】 ()= x2+o(x2)，因此当 x0 时 是 x 的二阶无穷小量()因 et-1-t= t2+o(t2)，从而(e t-1-t)2= t2+o(t2)2= t4+o(t4)，代入得 0x)(et-1-t)2dt= x5+o(x5)因此 x
14、0 时 0x(et-1-t)2dt 是 x 的五阶无穷小量【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用14 【正确答案】 分别讨论 x1 与 0x1 两种情形1)当 x1 时考察二阶泰勒公式 f(x+1)=f(x)+f(x)+ (xx+1)，f(x-1)=f(x)-f(x)+f()(x-1x)，两式相加并移项即得 f(x)=f(x+1)+f(x-1)-2f(x)+ f()-2f()，则当 x1 时有f(x) 4M 0+ M32)当 0x1 时对 f(x)用拉格朗日中值定理，有 f(x)=f(x)-f(1)+f(1)=f()(x-1)+f(1) ，其中 (x，1)f(x)f()x-1+ f(1) M
15、 3+f(1)(x(0，1).综合即知 f(x)在(0，+) 上有界【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用15 【正确答案】 把函数 f(x)在 x=0 与 x=1 分别展开成带拉格朗日余项的一阶泰勒公式，得 f(x)=f(0)+f(0)x+ f(1)x2 (0 1x)，f(x)=f(1)+f(1)(x-1)+ f(2)(x-1)2(x 21) 在公式中取 x= 并利用题设可得两式相减消去未知的函数值 即得 f(1)-f(2)=8 f( 1)+f( 2)8故在 1 与 2 中至少有一个使得在该点的二阶导数的绝对值不小于 4，把该点取为 ，就有 (0，1)使 f()4【知识模块】 一元函数的泰
16、勒公式及其应用16 【正确答案】 这里 m=1，求的是 f(x0+h)-f(x0)=hf(x0+h)(01)当 h0 时中值 的极限为解出 ，按题中条件，将 f(x0+h)在 x=x0 展开成带皮亚诺余项的 n-1 阶泰勒公式得 f(x0+h)=f(x0)+f(x0)h+ f(3)(x0)(h)2+ f(n)(x0)(h)n-1+o(hn-1)=f(x0)+ f(n)(x0)(h)n-1+o(hn-1)(h0)，代入原式得(x 0+h)-f(x0)=hf(x0)+ f(n)(x0)n-1hn+o(hn) 再将 f(x0+h)在 x=x0 展开成带皮亚诺余项的 n 阶泰勒公式 f(x0+h)-f
17、(x0)=f(x0)h+ f(n)(x0)hb+o(hn)=f(x0)h+ f(n)(x0)hn+o(hn)(h0)， 将代入后两边除以 hn 得令 h0，得【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用17 【正确答案】 ()e x=1+x+ x3+o(x3)，cosx=1- x2+o(x3)，相乘得 excosx=1+x+ x3+o(x3)=1+x- x3+o(x3)()f(x)= 1-x+x2-x3-(1+2x+(2x)2+(2x)3)+o(x3)= (-3x-3x2-9x3)+o(x3)=-x-x2-3x3+o(x3)()【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用18 【正确答案】 ()()【
18、知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用19 【正确答案】 () 用泰勒公式确定无穷小的阶原式=1+x+ +o(x3)-1-x-x3+o(x3)，所以 x0 时 ex-1-x- xsinx 是 x 的 3 阶无穷小( )用泰勒公式确定无穷小的阶原式=1-x4+o(x4)，所以 x0时 cosx+ cosx-1 是 x 的 4 阶无穷小【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用20 【正确答案】 ()(用泰勒公式) 由于当 x0 时分母是 x3 阶的无穷小量，而当x0 时 ex=1+x+ +o(x3)，sinx=x- +o(x3)，从而当x0 时，e xsinx=x+x2+ x3+o(x3)，e x
19、sinx-x(1+x)= x3+o(x3)因此()由于 f(x)=arctanx 在点 x=0 有如下导数 因此当 x0时 f(x)=f(0)+f(0)x+ f(0)x3+o(x3)， arctanx=x- x3+o(x3)arctanx-sinx=x3+o(x3)， ex2-1=1+x2+ +o(x4)-1=x2+o(x3)，ln(1+x)=x- +o(x2)，ln(1+x) 2=x2-x3+2xo(x2)-x2o(x2)+ +o(x2)2=x2-x3+o(x3)，ln(1+x) 2-ex2+1=-x3+o(x3)【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用21 【正确答案】 (用泰勒公式)因为
20、 ln(1-2x+3x2)=-2x+3x2- (-2x+3x2)2+o(-2x+3x2)2)=-2x+3x2-2x2+o(x2)=-2x+x2+o(x2)，于是 可以改写为 由此即得 a-2=0，b+1=6，故a=2，b=5【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用22 【正确答案】 f(x)=x 2+o(x2n+2)， f(2n+1)(0)=(-1)n-1 .(2n+1)!=(-1)n-1(2n+1)2n，n=1 ，2，f (2n)(0)=0，n=1，2， ，f (1)(0)=0【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用23 【正确答案】 由题设易知， ef(x)-1=0，且 0，0x 时 f(
21、x)0进一步有 =f(0)=0由 ef(x)-1f(x) ，cosx-1 x2(x0) 用等价无穷小因子替换原条件改写成 =1由极限与无穷小关系得，x0 时=1+o(1)，(o(1)为无穷小)，即 xf(x)= x2+o(x2) (x0)由泰勒公式唯一性得 f(0)=0，f(0)=0 ，f(0)= .2!=-1【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用24 【正确答案】 f(x)在 x=a 可展开成 f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+ f(a)(x-a)2+ f(n)(a)(x-a)n+o(x-a)n)(xa) 由 xa 时 f(x)是(x-a)的 n 阶无穷小 (a)=f(a)=f(n-
22、1)(a)=0，f (n)(a)0又 f(x)在 x=a 邻域(n-1) 阶可导，f (n-1)(x)在 x=a 可导由 g(x)=f(x)在x=a 处 n-1 阶可导 g(x)=g(a)+g(a)(x-a)+ g(n-1)(a)(x-a)n-1+o(x-a)n-1)，即f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+ f(n)(a)(x-a)n-1+o(x-a)n-1)= f(n)(a)(x-a)n-1+o(x-a)n-1)因此 f(x)是 x-a 的 n-1 阶无穷小(xa)【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用25 【正确答案】 f(x)-f(a)=f(a)(x-a)+ f(a)(x-a)2+
23、 f(a)(x-a)3+ f(4)(a)(x-a)4+o(x-a)4)= f(4)(a)(x-a)4+o(x-a)4)=(x-a)4 f(4)(a)+o(1)其中 o(1)为无穷小量(xa 时)，因此， 0，当 0z-a 时因此 f(4)(a)0( 0)时 f(a)为极小(大)值【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用26 【正确答案】 相交与相切即 f(x0)=g(x0)，f(x 0)=g(x0)若又有曲率相同，即亦即f(x 0)= g(x 0) 由二阶导数的连续性及相同的凹凸性得，或 f(x0)=g(x0)=0 或 f(x0)与 g(x0)同号，于是 f(x0)=g(x0)因此，在所设条件下，曲线 y=f(x)，y=g(x)在(x 0，y 0)处相交、相切且有相同曲率 f(x0)-g(x0)=0，f(x 0)-g(x0)=0，f(x 0)-g(x0)=0 f(x)-g(x)=f(x0)-g(x0)+f(x)-g(x) x=x0(x-x0)+ f(x)-g(x) x=x0(x-x0)2+o(x-x0)2=o(x-x0)2) (xx 0)即当xx 0 时 f(x)-g(x)是比(x-x 0)2 高阶的无穷小【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用
