1、考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 26 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 则( )（A）f(x)在点 x=1 处连续，在点 x=一 1 处间断。（B） f(x)在点 x=1 处间断，在点 x=一 1 处连续。（C） f(x)在点 x=1，x=一 1 处均连续。（D）f(x)在点 x=1，x= 一 1 处均间断。2 函数 ，在一 ， 上的第一类间断点是 x=( )（A）0（B） 1（C）（D）3 设函数 则 f(x)有( )（A）1 个可去间断点，1 个跳跃间断点。（B） 1 个可去间断点，1 个无穷间断点。（C） 2 个跳跃间断点。（D）2
2、 个无穷间断点。4 设 f(x)在( 一，+)内有定义，且 则( )（A）x=0 必是 g(x)的第一类间断点。（B） x=0 必是 g(x)的第二类间断点。（C） x=0 必是 g(x)的连续点。（D）g(x)在点 x=0 处的连续性与 a 的取值有关。5 函数 的无穷间断点的个数是( )（A）0（B） 1（C） 2（D）3二、填空题6 若 在(一，+) 内连续，则 a=_。7 设函数 在 x=0 处连续，则 a=_。8 设函数 f(x)在( 一，+)上连续，则A=_。9 设函数 在(一，+)内连续，则 C=_。10 已知函数 f(x)连续，且 则 f(0)=_。11 设 则 f(x)的间断
3、点为 x=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 求极限13 求极限14 求极限15 求极限16 求极限16 已知函数17 求 a 的值；18 若 x0 时,f(x)一 a 与 xk 是同阶无穷小，求常数 k 的值。19 求极限20 求极限21 求极限22 求极限23 求极限 10024 求极限25 求极限26 求极限27 求极限28 求下列极限：28 设数列x n满足 0x 1 ，x n+1=sinxn(n=1，2，)。29 证明 存在，并求该极限。30 计算31 证明方程 xn+xn-1+x=1(n 为大于 1 的整数)在区间 内有且仅有一个实根；32 记方程 xn+x
4、n-1+x=1(n 为大于 1 的整数)中的实根为 xn，证明 存在，并求此极限。33 设函数 数列x n满足 ，证明 存在，并求此极限。34 求函数 的间断点，并指出其类型。35 求函数 所有的间断点及其类型。36 设 f(x)在0，1连续，且 f(0)=f(1)，证明至少存在一点 0，1，使得 f()=考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 26 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由函数连续定义可知， 所以 f(x)在 x=1处间断。 所以 f(x)在 x=一 1 处连续，故选 B。【知识模块】 函数、极限、连续2 【
5、正确答案】 A【试题解析】 可以先找出函数的无定义点，再根据左、右极限判断间断点的类型。显然函数在 x=0， 均无意义，而故 x=0 为函数 f(x)的第一类间断点，故应选 A。【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 A【试题解析】 x=0，x=1 时,f(x)均无定义，所以 x=0，x=1 是函数的间断点。并且根据可去间断点和跳跃间断点的定义可知，x=0 是可去间断点，x=1 是跳跃间断点。因此选 A。【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答案】 D【试题解析】 因为 又 g(0)=0，所以当 a=0时，有 也就是说，此时 g(x)在点 x=0 处连续；当 a0 时，即此时 x=0
6、 是 g(x)的第一类间断点。因此， g(x)在 x=0 处的连续性与 a 的取值有关，故选 D。【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 B【试题解析】 因此 x=0 为第一类(跳跃)间断点。 因此x=1 为可去间断点。 ，所以 x=一 1 是无穷间断点。所以正确选项为 B。【知识模块】 函数、极限、连续二、填空题6 【正确答案】 0【试题解析】 因为 f(x)在( 一，0)及(0，+) 内连续，所以需要确定参数 a，使 f(x)在 x=0 处连续。 当 时 f(x)在 x=0 处连续，所以 a=0 时 f(x)在(一，+)内连续。【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】 【试题
7、解析】 已知 f(x)在 x=0 处连续，则【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 【试题解析】 令函数 其中 g(x)，h(x) 分别在a，x 0，(x0，b上是初等函数，因此连续，且 f(x)在 x0 连续。所以 g(x0)=h(x0)。对任意常数A，显然 x1 时 f(x)连续。当且仅当 时,f(x)在 x=1 连续。因此，当 ln2 时,f(x)在(一，+)上连续。【知识模块】 函数、极限、连续9 【正确答案】 1【试题解析】 由题设知，c|x|0，所以又 f(x)在(一，+)内连续，则 f(x)必在 x=c 处连续，所以有 即 得c=1。【知识模块】 函数、极限、连续10 【
8、正确答案】 2【试题解析】 因此 f(0)=2。【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 0【试题解析】 首先对于不同的 x，用求极限的方法得出 f(x)的表达式，再讨论 f(x)的间断点。当 x=0 时 f(x)=0；当 x0 时，所以 f(x)的表达式为由于 所以 x=0 为 f(x)的间断点。【知识模块】 函数、极限、连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 因为且arcsinx 一 x。故【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 由麦克劳林展开式 和洛必达法则可知，【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限
9、、连续15 【正确答案】 由麦克劳林展开式 及常见的等价无穷小代换，得【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 由麦克劳林展开式 可知【知识模块】 函数、极限、连续【知识模块】 函数、极限、连续17 【正确答案】 即a=1。【知识模块】 函数、极限、连续18 【正确答案】 当 x0 时， 又因为当 x0 时， 是等价无穷小，故 由题设，x0 时 f(x)一 a 与 xk 是同阶无穷小，所以 k=1。【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续20 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续21 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续22 【正
10、确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续23 【正确答案】 由麦克劳林展开式可得【知识模块】 函数、极限、连续24 【正确答案】 由洛必达法则可知【知识模块】 函数、极限、连续25 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续26 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续27 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续28 【正确答案】 (I)因为且所以由夹逼准则可知()因为()因为()利用定积分的定义可得(V)利用定积分的定义可得 ()利用定积分的定义可得【知识模块】 函数、极限、连续【知识模块】 函数、极限、连续29 【正确答案】 0x 1，则 0x 2=sinx11。由数学归纳法知
11、0x n+1=sinxn1，n=1，2，即数列x n有界。于是 (因当x0 时，sinxx)，则有 xn+1x n，可见数列x n单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知，极限 存在。设 在 xn+1=sinxn 两边令 n ，得l=sinl，解得 l=0，即【知识模块】 函数、极限、连续30 【正确答案】 因 由(I)知该极限为 1型。令 t=xn，则 n，t0，而【知识模块】 函数、极限、连续31 【正确答案】 根据题意，令 f(x)=xn+xn-1+x 一 1，则 f(1)0，又结合零点定理可得,f(x)=x n+xn-1+x 一 1 在内至少存在一个零点，即方程 xn+xn+1+x=
12、1 在区间 内至少有一个实根。又因为 f(x)=xn+xn-1+x 一 1 在 上是单调的，可知 f(x)=xn+xn-1+x 一1 在 内最多只有一个零点。综上所述，方程 xn+xn-1+x=1 在区间 内有且仅有一个实根。【知识模块】 函数、极限、连续32 【正确答案】 由题设 f(xn)=0，可知 xnn+xnn-1+xn 一 1=0，进而有xn+1n+1+xn+1n+xn+1 一 1=0，所以 xn+1n+xn+1n-1+xn+11 0，比较上面两个式子可知 xn+1x n 故x n单调递减。又由(I)知 ，也即x n是有界的。则由单调有界收敛定理可知x n收敛，假设 可知 ax 2x
13、 1=1。当 n时，解得【知识模块】 函数、极限、连续33 【正确答案】 令 ，则 x1。于是 f(x)在(0，1)上单调递减，在(1， +)上单调递增，所以 x=1 是 f(x)唯一的最小值点，且 f(x)f(1)=1，从而有，再结合题目中的条件有 所以 xnx n+1，且 0x ne，即数列x n单调递增且有界。由单调有界准则可知，极限 存在。令由前面讨论出的函数 f(x)的性质可知【知识模块】 函数、极限、连续34 【正确答案】 函数 f(x)的间断点只有 x=0 和 x=1 两个。因为所以x=0 为可去间断点，x=1 为跳跃间断点。【知识模块】 函数、极限、连续35 【正确答案】 函数 f(x)有间断点 x=0，x=1，x=一 1，且所以x=0 为跳跃间断点，x=1 为可去间断点， x=一 1 为无穷间断点。【知识模块】 函数、极限、连续36 【正确答案】 本题可以转化为证明 在区间0，1上存在零点，因为 f(x)在0，1上连续，所以 上连续。F(x)在 上存在零点的情况可转化为函数 F(x)在 上存在两个点的函数值是异号。 于是中或全为 0，或者至少有两个值是异号的，因此由连续函数零点定理，存在 属于 ，使得 F()=0，即【知识模块】 函数、极限、连续
