1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 26 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列命题正确的是( ) （A）若f(x)在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 处连续（B）若 f(x)在 x=a 处连续，则f(x)在 x=a 处连续（C）若 f(x)在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 的一个邻域内连续（D）若 ，则 f(x)在 x=a 处连续2 设 为 f(x)=arctanx 在0，a 上使用微分中值定理的中值，则 为( )3 下列说法中正确的是( )（A）若 f(x0)0 的邻域内单调减少（B）若 f(x)在 x0 取极大值，则当 x(x0-
2、，x 0)时，f(x)单调增加，当 X(x0，x 0+)时，f(x)单调减少（C） f(x)在 x0 取极值，则 f(x)在 x0 连续（D）f(x)为偶函数，f“(0)0，则 f(x)在 x=0 处一定取到极值4 设 则 f(x，y)在(0，0)处( ) （A）连续但不可偏导（B）可偏导但不连续（C）可微（D）一阶连续可偏导二、填空题5 6 7 设 f(x)满足 f(x)=f(x+2)，f(0)=0，又在(-1，1)内 f(x)=x，则 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 设 f(x)在0，2上连续，且 f(0)=0，f(1)=1 证明：8 存在 cE(0，1)，使得
3、f(C)=1-2c；9 存在 0，2，使得 2f(0)+f(1)+3f(2)=6f()10 设 f(x)在a，b上连续，任取 xia，b(i=1，2，n)，任取ki0(i=1，2，n)，证明：存在 a，b，使得 k1f(X1)+k2f(x2)+knf(x2)=(k1+k2+kn)f()11 设 f(x)在 x=0 的邻域内二阶连续可导， ，求曲线 y=f(x)在点(0，f(0)处的曲率11 设 f(x)在-a，a(a0) 上有四阶连续的导数， 存在12 写出 f(x)的带拉格朗日余项的马克劳林公式；13 证明：存在 1， 2-a，a，使得13 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，
4、且 f(a)=f(b)=0， abf(x)dx=0证明：14 存在 c(a，b)，使得 f(f)=0；15 存在 i(a，b)(i=1，2)，且 12，使得 f(i)+f(i)=0(i=1，2)；16 存在 (a，b) ，使得 f“()=f()；17 存在 (a，b)，使得 f“()-3f()+2f()=018 设 a1a 2a n，且函数 f(x)在a 1，a n上 n 阶可导，c a1，a n且 f(a1)=f(a2)=f(an)=0证明：存在 (a1，a n)，使得19 设 f(x)连续， 0xtf(x-t)dt=1-cosx，求20 设 f(x)在0，+)上连续，非负，且以 T 为周期
5、，证明：21 22 求 z=x2+12xy+2y2 在区域 4x2+y225 上的最值23 设 f(x)连续，且 f(0)=1，令 F(t)= f(x2+y2)dxdy(t0)，求 F“(0)24 设函数 f(x)Ca，b，且 f(x)0，D 为区域 axb，ayb证明：25 设有微分方程 y-2y=(x)，其中 (x)= ，在(-，+)求连续函数 y(x)，使其在(-，1)及(1，+)内都满足所给的方程，且满足条件 y(0)=026 设 f(x)二阶连续可导，f(0)=0，f(0)=1，且xy(x+y)-f(x)ydx+f(x)+x 2ydy=0 为全微分方程，求 f(x)及该全微分方程的通
6、解27 设函数 f(x)二阶连续可导，f(0)=1 且有 f(x)+30xf(t)dt+2x01f(tx)dt+e-x=0，求f(x)考研数学二（高等数学）模拟试卷 26 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 令 显然f(x)1 处处连续，然而 f(x)处处间断，(A)不对；令 显然 f(x)在 x=0 处连续，但在任意 x=a0 处函数f(x)都是间断的，故(C) 不对；令 ，但 f(x)在 x=0 处小连续，(D) 不对；若 f(x)在 x=a 处连续，则 ，又 0f(x)-f(a)f(x)-f(a)，根据夹逼定理， 选(
7、B) 【知识模块】 高等数学部分2 【正确答案】 C【试题解析】 令 f(a)-f(0)=f()a，即，选(C)【知识模块】 高等数学部分3 【正确答案】 D【试题解析】 由f“(0)存在，得 f(0)存在，又 f(x)为偶函数，所以 f(0)=0，所以 x=0 一定为 f(x)的极值点，选(D) 【知识模块】 高等数学部分4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 ，所以 f(x，y)在(0，0)处连续；所以fx(x，y)在点(0，0)处不连续，同理 fy(x，y)在点(0，0)处也不连续，选(C) 【知识模块】 高等数学部分二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分6
8、 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分7 【正确答案】 【试题解析】 因为在(-1，1)内 f(x)=x，【知识模块】 高等数学部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 高等数学部分8 【正确答案】 令 (x)=f(x)-1+2x，(0)=-1，(1)=2，因为 (0)(1)1 时，y-2y=0 的通解为 y=C2e2x，根据给定的条件，y(1+0)=C 2e2=y(1-0)=e2-1，解得 C2=1-e-2，y=(1-e -2)e2x，补充定义 y(1)=e2-1，则得在 (-，+) 内连续且满足微分方程的函数【知识模块】 高等数学部分26 【正
9、确答案】 令 P(x，y)=xy(x+y)-f(x)y ，Q(x，y)=f(x)+x 2y，因为xy(x+y)-f(x)ydx+f(x)+x2ydy=0 为全微分方程，所以 ，即 f“(x)+f(x)=x2，解得 f(x)=C1cosx+C2sinx+x2-2，由 f(0)=0，f(0)=1 得 C1=2，C 2=1，所以 f(x)=2cosx+sinx+x2-2原方程为xy 2-(2cosx+sinx)y+2ydx+(-2sinx+cosx+2x+x2y)dy=0，整理得(xy2dx+x2ydy)+2(ydx+xdy)-2(ycosxdx+sinxdy)+(-ysinxdx+cosxdy)=
10、0，即d( x2y2+2xy-2ysinx+ycosx)=0，原方程的通解为 x2y2+2xy-2ysinx+ycosx=C【知识模块】 高等数学部分27 【正确答案】 因为 x01f(tx)dt=0xf(u)du，所以 f(x)+30xf(t)dt+2x01f(tx)dt+e-x=0 可化为 f(x)+3 0xf(t)dt+20xf(t)dt+e-x=0， 两边对 x 求导得 f“(x)+3f(x)+2f(x)=e-x， 由2+3+2=0 得 1=-1， 2=-2， 则方程 f“(x)+3f(x)+2f(x)=0 的通解为 C1e-x+C2e-2x 令 f“(x)+3f(x)+2f(x)=e-x 的一个特解为 y0=axe-x，代入得 a=1， 则原方程的通解为f(x)=C1e-x+C2e-2x+xe-x 由 f(0)=1，f(0)=-1 得 C1=0，C 2=1，故原方程的解为 f(x)=e-2x+xe-x【知识模块】 高等数学部分
