1、考研数学二（向量、线性方程组）历年真题试卷汇编 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2002 年) 设向量组 1， 2， 3 线性无关，向量 1 可由 1， 2， 3 线性表示，而向量 2 不能由 1， 2， 3 线性表示，则对于任意常数 k，必有 【 】（A） 1， 2， 3，k 1 2 线性无关（B） 1， 2， 3，k 1 2 线性相关（C） 1， 2， 3， 1k 2 线性无关（D） 1， 2， 3， 1k 2 线性相关2 (2003 年) 设向量组 ： 1， 2， r 可由向量组： 1， 2， r 线性表示，则 【 】（A）当 rs 时
2、，向量组必线性相关（B）当 rs 时，向量组必线性相关（C）当 rs 时，向量组必线性相关（D）当 rs 时，向量组必线性相关3 (2004 年) 设 A，B 为满足 ABO 的任意两个非零矩阵，则必有 【 】（A）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（B） A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关（C） A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（D）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关4 (2006 年) 设 1， 2， s 均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，下列选项正确的是 【 】（A）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2， ，A s 线性相
3、关（B）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2，A s 线性无关（C）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2，A s 线性相关（D）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2， ，A s 线性无关5 (2007 年) 设向量组 1， 2， 3 线性无关，则下列向量组线性相关的是 【 】（A） 1 2， 2 3， 3 1（B） 1 2， 2 3， 3 1（C） 12 2， 22 3， 32 1（D） 12 2， 22 3， 32 16 (2010 年) 设向量组 ： 1， 2， r 可由向量组： 1， 2， s 线性表示下列命题正确的是 【 】（A）若向量组线性无关，则 rs
4、（B）若向量组线性无关，则 rs（C）若向量组线性无关，则 rs（D）若向量组线性无关，则 rs7 (2012 年) 设函数 f(，y)可微，且对任意 ，y 都有 ，则使不等式 f(，y)f(，y)成立的一个充分条件是 【 】（A） 1 2，y 1y 2（B） 1 2，y 1y 2（C） 1 2，y 1y 2（D） 1 2，y 1y 28 (2013 年) 设 A，B ，C 均为 n 阶矩阵若 ABC，且 B 可逆，则 【 】（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价（B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价（C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价（D）矩阵 C
5、 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价9 (2014 年) 设 1， 2， 3 均为 3 维向量，则对任意常数 k，l，向量组1 k3， 2l 3 线性无关是向量组 1， 2， 3 线性无关的 【 】（A）必要非充分条件（B）充分非必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分也非必要条件10 (2011 年) 设 A( 1， 2， 3， 4)是 4 阶矩阵，A *为 A 的伴随矩阵若(1，0， 1，0) T 是方程组 A0 的一个基础解系，则 A*0 的基础解系可为 【 】（A） 1， 3（B） 1， 2（C） 1， 2， 3（D） 2， 3， 411 (2015 年) 设矩阵 ，若集合 1，2
6、则线性方程组Ab 有无穷多解的充分必要条件为 【 】（A）（B）（C）（D）二、填空题12 (1997 年) 已知向量组 1(1 ，2，1，1)， 2 (2，0，t，0)，3 (0，4， 5，2)的秩为 2，则 t_13 (2001 年) 设方程组 有无穷多个解，则 a_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 (1999 年) 设向量组 11，1，1，3 T， 2 1， 3，5，1T， 33，2，1，p2 T， 42，6，10，P T (1)p 为何值时，该向量组线性无关?并在此时将向量 4 ，1，6，10 T 用 1， 2， 3， 4 线性表出； (2)p 为何值时，该向量组
7、线性相关?并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组15 (2000 年) 已知向量组 具有相同的秩，且 3可由 1， 2， 3 线性表示，求 a、b 的值16 (2005 年) 确定常数 ，使向量组 1(11，a) T， 2(1 ，a ，1) T， 3(a ，1，1)T 可由向量组 1(1，1，a) T， 2(2，a ，4) T， 3(2，a，a) T 线性表示，但向量组 1， 2， 3 不能由向量组 1， 2， 3 线性表示17 (2011 年) 设向量组 1 (1，0，1) T， 2(0，1，1) T， 3(1，3，5) T 不能由向量组1(1 ，1，1) T， 2(1， 2，3) T， 3
8、(3，4，a) T 线性表示 ( )求 a 的值； ()将 1， 2， 3 用 1， 2， 3 线性表示18 (1997 年) 取何值时，方程组 无解，有唯一解或有无穷多解?并在有无穷多解时写出方程组的通解19 (1998 年) 已知 11，4，0，2 T， 22 ，7， 1，3 T， 30，1，1，aT， 3，10，6，4 T，问： (1)a，b 取何值时， 不能由 1， 2， 3 线性表示? (2)a，b 取何值时， 可由 1， 2， 3 线性表示? 并写出此表示式20 (2000 年) 设 A T，B T，其中 T 是 的转置，求解方程 2B 2A2A 4B 421 (2001 年) 已
9、知 1， 2， 3， 4 是线性方程组 AX0 的一个基础解系，若1 1t 2， 2 2t 3， 3 3t 4， 4 4t 1，讨论实数 t 满足什么关系时，1， 2， 3， 4 也是 AX0 的一个基础解系22 (2002 年) 已知矩阵 A 1 2 3 4， 1， 2， 3， 4 均为 4 维列向量，其中2， 3， 4 线性无关， 1 22 3如果 1 2 3 4，求线性方程组A 的通解23 (2003 年) 已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1：a2by3c0，l 2：b2cy3a 0，l 3：c2ay 3b0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 abc 024 (2004 年)
10、 设有齐次线性方程组 试问 a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解25 (2005 年) 已知 3 阶矩阵 A 的第一行是(a ，b，c)，a，b，c 不全为零，矩阵 B(k 为常数) ，且 ABO，求线性方程组 A0 的通解26 (2006 年) 已知非齐次线性方程组 有 3 个线性无关的解 (1)证明方程组系数矩阵 A 的秩 r(A)2； (2) 求 a，b 的值及方程组的通解27 (2007 年) 设线性方程组 与方程 12 2 3a1 有公共解，求 a 的值及所有公共解28 (2008 年) 设 n 元线性方程组 Ab，其中()证明行列式A(n1)a n； ( )当 a 为何值时
11、，该方程组有唯一的解，并在此时求 1； ()当 a 为何值时，该方程组有无穷多解，并在此时求其通解29 (2009 年) 设 ()求满足A2 1，A 23 1 的所有向量 2， 3； ( )对()中的任意向量 2， 3，证明1， 2， 3 线性无关30 (2010 年) 设 已知线性方程组 Ab 存在 2 个不同的解 () 求 ，a； ()求方程组 Ab 的通解31 (2012 年) 设 ()计算行列式A ； ()当实数 a 为何值时，方程组 A 有无穷多解，并求其通解32 (2013 年) 设 当 a，b 为何值时，存在矩阵 C 使得ACCAB，并求所有矩阵 C33 (2014 年) 设 A
12、 ，E 为 3 阶单位矩阵 ()求方程组 A0的一个基础解系； () 求满足 ABE 的所有矩阵 B考研数学二（向量、线性方程组）历年真题试卷汇编 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由已知，存在常数 ，l，l，l，使得 1l 11l 22l 33 (*) 如果k1 2 可由 1， 2， 3 线性表示，则存在常数 m1，m 2，m 3，使得 k1 2m 11m 22m 33 (*) 将(*) 式代入(*)式，可得 2(m 1kl 1)1 (m2kl 2)2(m 3kl 3)3 即 2 可由 1， 2， 3 线性表示，这与
13、已知条件矛盾，故 k1 2 必不能由 1， 2， 3 线性表示再根据结论：“若 1， 2， 3 线性无关，则向量 不能由 1， 2， 3 线性表示 1， 2， 3， 线性无关”，便可推知1， 2， 3，k 1 2 线性无关，因此，选项 A 正确【知识模块】 向量2 【正确答案】 D【试题解析】 利用下述熟知的结论：“若向量组可由线性表示，则秩()秩()”，由于秩 ()s，得秩 ()s ，当 rs 时，有秩()s r ，即( )的秩小于()所含向量个数，亦即 () 线性相关【知识模块】 向量3 【正确答案】 A【试题解析】 设 A 按列分块为 A 1 2 n，由 BO 知 B 至少有一列非零，设
14、 B 的第 j 列(b 1j，b j，b nj)T0，则 AB 的第 j 列为 1 2 n 0， 即 b1j1b 2j2b njn0， 因为常数 b1j，b 2j，b nj 不全为零，故由上式知A 的列向量组线性相关，再由 ABO 取转置得 BTATO，利用已证的结果可知BT 的列向量组即 B 的行向量组线性相关，故 A 正确【知识模块】 向量4 【正确答案】 A【试题解析】 若 1， 2， s 线性相关，则存在一组不全为零的常数k1，k 2，k s，使得 k 11k 22k ss0 两端左乘矩阵 A，得 k1A1 k2A2k sAs0 因 k1，k 2，k 3 不全为零，故由线性相关的定义，
15、即知向量组 A1，A 2，A s 线性相关【知识模块】 向量5 【正确答案】 A【试题解析】 观察易知 ( 1 2)( 2 3)( 3 1)0 即选项 A 中 3 个向量之和为零向量，故为线性相关组，从而知选项 A 正确【知识模块】 向量6 【正确答案】 A【试题解析】 由于() 可由() 线性表示，所以有 r()r()，而 r()s ，当()线性无关时，就有 rr()r()s，所以选项 A 正确【知识模块】 向量7 【正确答案】 C【知识模块】 向量8 【正确答案】 B【试题解析】 因为矩阵 B 可逆，所以 B 可以表示成若干个初等矩阵之积，而用初等矩阵右乘矩阵相当于对矩阵施行初等列变换经一
16、次初等列变换，变换前与变换后的矩阵的列向量组可以相互线性表示，经若干次初等列变换，亦是如此，即变换前与变换后矩阵的列向量组等价，所以选 B【知识模块】 向量9 【正确答案】 A【试题解析】 记向量组()： 1k 3； 2l 3 向量组()： 1， 2， 3 ()是由()线性表出的，写成矩阵形式即是： 1k 3， 2l 3 1， 2， 3 当()线性无关时，矩阵 1， 2， 3为列满秩的，由于用列满秩阵左乘矩阵后，矩阵的秩不变，而矩阵 的秩为 2，所以此时上式等号左边矩阵的秩也为 2，也就是该矩阵的列秩为 2，从而知向量组()线性无关，所以，()线性无关是()线性无关的必要条件 但()线性无关不
17、是() 线性无关的充分条件，例如当 kl时，( )线性无关即向量组 1， 2 线性无关，却不能保证()线性无关【知识模块】 向量10 【正确答案】 D【试题解析】 首先，4 元齐次线性方程组 A*0 的基础解系所含解向量的个数为4r(A *)，其中 r(A*)为 A*的秩，因此求 r(A*)是一个关键其次，由 A0 的基础解系只含 1 个向量，即 4r(A)1，得 r(A)3，于是由 r(A*)与 r(A)的关系，知r(A*)1，因此，方程组 A*0 的基础解系所含解向量的个数为 4r(A *)3，故选项 A、B 不对再次，由(1，0，1，0) T 是方程组 A0 或11 22 33 44 0
18、 的解，知 1 30，故 1 与 3 线性相关，于是只有选项 D 正确【知识模块】 线性方程组11 【正确答案】 D【试题解析】 对方程组的增广矩阵施行初等行变换(化成阶梯形)：由于方程组有无穷多解，当然不能有唯一解，所以有(a1)(a2) 0，即 a1 或 a2，此时系数矩阵的秩为 2，由有解判定定理知，当且仅当 a 且 d，所以选 D【知识模块】 线性方程组二、填空题12 【正确答案】 3【试题解析】 以 1， 2， 3 为行作成矩阵 A，并对 A 作初等变换：由此可知当且仅当 t时，矩阵 A 的秩、也即向量组 1， 2， 3 的秩等于 2【知识模块】 向量13 【正确答案】 2【试题解析
19、】 对方程组的增广矩阵 作初等行变换：由此可见： (1)当 a1 且 a2 时，r(A)r( )3，方程组有唯一解； (2)当a1 时，r(A)1，r( )2，方程组无解； (3)当 a2 时，r(A)r( )23，方程组有无穷多解 故当且仅当 a2 时方程组有无穷多解【知识模块】 线性方程组三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 对矩阵 A 1 2 3 4 作初等行变换：(1)当P2 时，矩阵 1 2 3 4的秩为 4，即向量组 1， 2， 3， 4 线性无关，此时设 11 22 33 44，解得 12， 2 ， 31， 4 即有2 1 4【知识模块】 向量15
20、 【正确答案】 1 和 2 线性无关， 33 12 2，所以向量组 1， 2， 3 线性相关，且其秩为 2， 1， 2 是它的一个极大线性无关组 由于向量组 1， 2， 3 与1， 2， 3 具有相同的秩，故 1， 2， 3 届线性相关，从而，行列式 1 2 30 由此解得 a3b 又 3 可由 1， 2， 3 线性表示，从而可由1， 2 线性表示，所以 1， 2， 3 线性相关，于是，行列式 1 2 30 解之得 b5，所以 a15，b5【知识模块】 向量16 【正确答案】 记 A( 1， 2， 3)，B( 1， 2， 3)，由于 1， 2， 3 不能由1， 2， 3 线性表示，故秩 r(A
21、)3，从而A(a1) 2(a2) 0，所以 a1或 a2 当 a1 时， 1 2 3 1(1，1，1) T，故 1， 2， 3 可由1， 2， 3 线性表示，但 2(2，1，4) T 不能由 1， 2， 3 线性表示，所以 a1符合题意 当 a2 时，由下列矩阵的初等行变换知秩 r(B)2 ，秩 r(B 2)3，所以方程组 B 2 无解，即 2 不能由 1， 2， 3线性表示，故 a2 不符合题意因此 a1【知识模块】 向量17 【正确答案】 ()4 个 3 维向量 1， 2， 3， i 线性相关(i 1，2，3)，若1， 2， 3 线性无关，则 i 可由 1， 2， 2 线性表示(i1，2，
22、3)，这与题设矛盾，于是 1， 2， 3 线性相关，从而 0 1， 2， 3 a5， 于是a5此时， 1 不能由向量组 1， 2， 3 线性表示 ()令矩阵 A 1 2 3 1 2 3，对 A 施行初等行变换从而，12 14 2 3， 2 12 2， 35 110 22 3【知识模块】 向量18 【正确答案】 原方程组的系数行列式故当 1 且 时，A0，所以方程组有唯一解 当 1 时，对方程组的增广矩阵 作初等行变换： 因此，当 1 时有 r(A)r( )23，故原方程组有无穷多解，其通解为(或( 1， 2， 3)T(1，1，0) Tk(0，1，1) T (k 为任意常数) 当 时，对其增广矩
23、阵作初等行变换：此时有 r(A)2，r( )3，故原方程组无解【知识模块】 线性方程组19 【正确答案】 考虑线性方程组( 1， 2， 3)，其中 ( 1， 2， 3)T，对其增广矩阵 1 2 3 作初等行变换：所以(1)当 b2 时，方程组无解，此时 不能由 1， 2， 3 线性表示； (2)当 b2 且a1 时， r(A)r( )3，方程组有唯一解： ( 1， 2， 3)T(1，2，0) T， 于是 可唯一表示为 1 22； (3)当 b2 且 a1 时，r(A) r( )2，方程组有无穷多个解： ( 1， 2， 3)Tk(2，1，1) T( 1，2，0) T， 其中 k 为任意常数，这时
24、 可由 1， 2， 3 线性表示为 (2k1) 1(k2) 2k 3(k 为任意常数)【知识模块】 线性方程组20 【正确答案】 由题设得 又 A2 11( 1)12A A 4(A 2)2(2A) 2 8A 代入原方程，得 16A8A16 即 8(A2E)(其中 E 是 3 阶单位矩阵) 令 ( 1， 2， 3)T，代入上式，得非齐次线性方程组 解其对应的齐次方程组，得通解 k(1，2，1)T， (k 为任意常数 )， 显然，非齐次方程组有一个特解为 *(0，0， )T 于是所求方程的解为 *，即【知识模块】 线性方程组21 【正确答案】 由 A1A( 1t 2)A 1tA 2000，知 1
25、为 A0 的解同理可知 2， 3 也都是 A0 的解已知 A0 的基础解系含 4 个向量，故1， 2， 3， 4 为 A0 的一个基础解系，当且仅当 1， 2， 3， 4 线性无关 设有一组数 1， 2， 3， 4，使得 11 22 33 440 即( 1t 4)1(t 1 2)2 (t2 3)3(t3 4)40，由于 1， 2， 3， 4 线性无关，故故当且仅当 1t 40，即 t1 时，方程组(*)仅有零解，此时 1， 2， 3， 4 线性无关，从而可作为 A0 的一个基础解系【知识模块】 线性方程组22 【正确答案】 令 ，则由 A 1 2 3 4 得11 22 33 44 1 2 3
26、4 将 12 2 3 代入上式，整理后得 (21 23) 2( 1 3)3( 41) 40 由 2， 3， 4 线性无关，得解此方程组，得【知识模块】 线性方程组23 【正确答案】 必要性：设三直线 l1，l 2，l 3 交于一点，则二元线性方程组有惟一解，故其系数矩阵 A 与增广矩阵的秩均为 2，于是有 0 由于 6(a bc)a 2b 2c 2abacbc 3(a b c)(ab) 2(bc) 2(ca) 2 及(a b)2(b c)2(ca) 20(否则 abc，则三条直线重合，从而有无穷多个交点，与交点惟一矛盾)，所以 abc 0 充分性：若 abc0，则由必要性的证明知 0，故秩(
27、)3，又系数矩阵 A 中有一个二阶子式故秩(A)2，于是有秩(A)秩( )2，因此方程组(*) 有惟一解，即三直线 l1，l 2，l 3 交于一点【知识模块】 线性方程组24 【正确答案】 对方程组的系数矩阵作初等行变换，有当 a0 时，r(A)14，故方程组有非零解，其同解方程组为 1 2 3 40， 由此得基础解系为 1(1， 1，0，0) T， 2(1，0，1，0) T， 3(1，0，0，1) T， 于是所求方程组的通解为 k 12k 22k 33，其中 k1，k 2，k 3 为任意常数 当 a0 时，可知 a10 时，r(A) 34，故方程组有非零解，其用自由未知量表示的通解为 22
28、1， 33 1， 44 1， 1任意 由此得基础解系为 (1，2，3，4) T， 于是所求方程组的通解为 k，其中 k 为任意常数【知识模块】 线性方程组25 【正确答案】 由 ABO 知矩阵 B 的每一列都是方程组 A0 的解，因此A0 必有非零解，要求其通解是要求出它的基础解系即可而基础解系所含向量个数等于 3r(A)，所以需要先确定 A 的秩，r(A) 由于 ABO，故 r(A)r(B)3，又由 a，b，c 不全为零，可知 r(A)1 当 k9 时，r(B)2，于是 r(A)1； 当 k9 时，r(B) 1，于是 r(A)1 或 r(A)2 (1)当 k9 时，因 r(A)1，知A0 的
29、基础解系含 2 个向量又由 ABO 可得 由于 1(1 ，2 ，3) T， 2(3，6，k) T 线性无关，故 1， 2 为 A0 的一个基础解系，于是 A0 的通解为 c 11c 22，其中 c1，c 2 为任意常数 (2)当 k9 时，分别就 r(A)2 和 r(A)1 进行讨论 如果 r(A)2，则 A0 的基础解系由一个向量构成又因为 A 0，所以 A0 的通解为 c 1(1，2，3) T，其中 c1 为任意常数 如果 r(A)1，则 A0 的基础解系由两个向量构成又因为 A 的第一行为(a ，b，c) 且 a，b，c 不全为零，所以 A0 等价于 a1b 2c 30不妨设a0，则 1
30、(b，a，0) T， 2( c，0，a) T 是 A0 的两个线性无关的解，故A0 的通解为 c 11c 22，其中 c1，c 1 为任意常数【知识模块】 线性方程组26 【正确答案】 (1)设 1， 2， 3 是该方程组的 3 个线性无关的解，则由解的性质知 1 1 2， 2 1 3 是对应齐次线性方程组 A0 的两个解，且由 1 2 1 2 3 及 1， 2， 3 线性无关，易知向量组 1， 2 线性无关，故齐次线性方程组 A0 的基础解系至少含 2 个向量，即 4r(A)2，得 r(A)2，又显然有 r(A)2(A 中存在 2 阶非零子式 1，或由 A 的前 2 行线性无关)，于是有 r
31、(A)2 (2) 对增广矩阵 施行初等行变换：因 r(A)2，故有 42a0 4ab5 0 由此解得 a2，b3此时由此可得方程组的用自由未知量表示的通解为令 3k 1， 4k 2，则得用对应齐次线性方程组的基础解系表示的通解为 其中 k1，k 2 为任意常数【知识模块】 线性方程组27 【正确答案】 方程组()的系数矩阵 A 的行列式为(1)当A0，即 a1 且 a2 时，方程组() 只有零解，而零解 (0，0，0) T 不满足方程( )，故 当 a1 且 a2 时，()与()无公共解； (2)当 a1 时，由 A 的初等行变换 得方程组()的通解为 c(1 ，0，1) T，其中 c 为任意
32、常数显然当 a1 时，()是()的一个方程，()的解都满足()所以，当 a1 时，()与()的所有公共解是 c(1 ，0，1) T，其中 c 为任意常数； (3)当 a2 时，由 A 的初等行变换 得()的通解为 k(0，1，1) T，要使它是( )的解，将其代入方程()，得k1，故当 a2 时，( )与()的公共解为 (0， 1，1) T【知识模块】 线性方程组28 【正确答案】 () 记 DnA以下用数学归纳法证明 Dn(n1)a n 当 n1时，D 12a，结论成立；当 n2 时， D 1 3a 2(n1)a n 结论成立；假设结论对于小于 n 的情况成立将 Dn 按第 1 行展开，得2
33、aD n-1a 2Dn-2(代入归纳假设Dk(k 1)a k，kn) 2ana n-1a(n 1)a n-2(n1)a n 故A(n1)a n ()该方程组有唯一解 A0，即 a0此时，由克莱姆法则，将 Dn 第 1 列换成b，得行列式 ()当 a0 时，方程组为 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为 n1，所以此时方程组有无穷多解，其通解为 (0，1，0，0)T k(1，0，0 ，0) T 其中 k 为任意常数【知识模块】 线性方程组29 【正确答案】 () 设 2( 1， 2， 3)T，解方程组 A2 1，由得1 2，12 2(2 任意) 令自由未知量 2c 1，则得设考 3(y 1，
34、y 2，y 3)T，解方程组 A23 1，由 得y1 y 2(y2，y 3 任意)令自由未知量 y2c 2，y 3c 3，则得其中 c2，c 3 为任意常数 ()3 个 3 维向量 1， 2， 3 线性无关的充要条件是 3 阶行列式 D 1 2 30而所以 1， 2， 3 线性无关【知识模块】 线性方程组30 【正确答案】 () 因为 A 为方阵且方程组 Ab 的解不唯一，所以必有A0，而A(1) 2(1)，于是 1 或 1 当 1 时，因为r(A)rA b，所以 Ab 无解(亦可由此时方程组的第 2 个方程为矛盾方程知Ab 无解)，故舍去 1 当 A1 时，对 Ab 的增广矩阵施以初等行变换
35、因为 Ab 有解，所以 a2 ()当 1、a2 时， 所以， 1 3， 2 ， 3 任意，令自由未知量 3k，则得 Ab 的通解为【知识模块】 线性方程组31 【正确答案】 () 按第 1 列展开，得A1 a( 1) 4+1a31a 4 ( )若方程组 A 有无穷多解，则A0由()得 a1 或 a1 当 a1 时，对增广矩阵作初等行变换： 可见 r(A)r(A )，故方程组 A 无解； 当 a1 时，对增广矩阵作初等行变换： 可见 r(A)r(A )3 4，故方程组 A 有无穷多解，其通为【知识模块】 线性方程组32 【正确答案】 设矩阵 C ，由同型矩阵相等的充分必要条件是它们的对应元素都相
36、等，得 ACCAB 成立的充分必要条件是对方程组(*)的增广矩阵施以初等行变换，得当 a1 或 b0 时，方程组(*)的系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，方程组(*)无解 当 a1 且 b0时，方程组(*)的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，方程组(*)有解，通解为综上，当且仅当a1 且 b 0 时，存在满足条件的矩阵 C，且【知识模块】 线性方程组33 【正确答案】 () 对方程组的系数矩阵 A 施以初等行变换设 ( 1， 2， 3， 4)T，选取 为自由未知量，则得方程组的一般解： 1 4， 22 4， 33 4(4 任意) 令41，则得方程组 A0 的一个基础解系为 ( 1，2，3，1) T ()对矩阵A E施以初等行变换记 Ee 1，e 2，e 3，则 方程组 Ae 1 同解方程组为 ，从而得 A e1 的通解为 k 1 ，k 1 为任意常数，同理得方程组 Aye 2 的通解为 yk 2 ，k 2 为任意常数，方程组 Aze 3 的通解为zk ，k 为任意常数，于是得所求矩阵为【知识模块】 线性方程组
