1、考研数学二（常微分方程）历年真题试卷汇编 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2004 年) 微分方程 yy 21sin 的特解形式可设为 【 】（A）y *a 2bc(AsinBcos) （B） y*(a 2b cAsinBcos)（C） y*a 2b cAsin（D）y *a 2bcAcos 2 (2006 年) 函数 yC 1eC 2e2 e 满足的一个微分方程是 【 】（A）yy2y3e （B） yy2y3e （C） yy2y3e （D）yy2y3e 3 (2008 年) 在下列微分方程中，以 yC 1eC 2cos2C 3sin2(C1
2、，C 2，C 3 为任意常数)为通解的是 【 】（A） y4y4y0（B） y4y4y0（C） y4y4y0（D） y4y4y04 (2010 年) 设 y1，y 2 是一阶线性非齐次微分方程 yp()yq()的两个特解，若常数 ， 使 y1y 2 是该方程的解，y 1y 2 是该方程对应的齐次方程的解，则 【 】（A）（B）（C）（D）5 (2011 年) 微分方程 y 2ye e (0)的特解形式为 【 】（A）a(e e )（B） a(ee )（C） (ae be )（D） 2(aebe )二、填空题6 (2006 年) 微分方程 y 的通解是_7 (2007 年) 二阶常系数非齐次线性
3、微分方程 y4y3y2e 2的通解为y_8 (2008 年) 微分方程 (y 2e )ddy0 的通解是 y_9 (2010 年)3 阶常系数线性齐次微分方程 2yy2y0 的通解为y_10 (2011 年) 微分方程 yye cos 满足条件 y(0)0 的解为 y_11 (2012 年) 微分方程 yd(3y 2)dy0 满足条件 y 1 1 的解为y_12 (2013 年) 已知 y1e 3e 2，y 2e e 2，y 3 e2是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，则该方程满足条件 y 0 0，y 0 1 的解为y_13 (2015 年)设函数 yy()是微分方程 yy2y0 的
4、解，且在 0 处 y()取得极值 3，则 y()_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 (1998 年)从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度 y(从海平面算起) 与下沉速度 v 之间的函数关系，设仪器在重力的作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用设仪器的质量为 m，体积为 B，海水比重为 ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k0)试建立 y 与 v 所应满足的微分方程，并求出函数关系式15 (1998 年) 设 yy()是一向上凸的连续曲线，其上任一点(，y)处的曲率为，且此曲线上点(0，1)处的切线方程为
5、 y1，求该曲线方程并求函数 yy()的极值16 (1999 年) 求初值问题 的通解17 (1999 年) 设函数 y()(0)二阶可导，且 y()0 ，y(0)1过曲线上任意一点P(，y)作该曲线的切线及 轴的垂线，上述两直线与 轴所围成的三角形的面积记为 S1，区间 0，上以 yy()为曲边的曲边梯形面积记为 S2，并设 2S1S 2 恒为1，求此曲线 yy()的方程18 (2000 年) 某湖泊的水量为 V，每年排入湖泊内含污物 A 的污水量为 ，流入湖泊内不含 A 的水量为 ，流出湖泊的水量为 已知 1999 年底湖中 A 的含量为5m0，超过国家规定指标，为了治理污染，从 2000
6、 年起，限定排入湖泊中含 A 污水的浓度不超过 问至多需经过多少年，湖泊中污染物 A 的含量降至 m0 以内?(注：设湖水中的浓度是均匀的)19 (2001 年) 设函数 f()，g()满足 f()g() ，g()2e f() ，且 f(0)0，g(0)2，求20 (2001 年) 设 L 是一条平面曲线，其上任意一点 P(，y)(0)到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在 y 轴上的截距，且 L 经过点 ( ，0) (1)试求曲线 L 的方程；(2)求 L 位于第一象限部分的一条切线使该切线与 L 以及两坐标轴所围图形的面积最小21 (2001 年) 一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半
7、球面面积 S 成正比，比例常数 K0假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为 r0 的雪堆在开始融化的 3 小时内，融化了其体积的 ，问雪堆全部融化需要多少小时?22 (2002 年)求微分方程 dy(2y)d0 的一个解 yy()，使得由曲线 yy()与直线 1， 2 以及 轴所围成平面图形绕 轴旋转一周的旋转体体积最小23 (2003 年) 设函数 yy()在(，) 内具有二阶导数，且 y0， (y)是yy()的反函数 (1)试将 (y) 所满足的微分方程 0变换为 yy()满足的微分方程； (2)求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)0，y(0) 的解24 (2003 年) 设
8、位于第一象限的曲线 yf()过点 ，其上任一点 P(，y)处的法线与 y 轴的交点为 Q，且线段 PQ 被 轴平分 (1)求曲线 yf()的方程； (2)已知曲线 ysin 在0 ，上的弧长为 l，试用 l 表示曲线 yf()的弧长 s25 (2003 年) 有一平底容器，其内侧壁是由曲线 (y)(y0)绕 y 轴旋转而成的旋转曲面(如图 )，容器的底面圆的半径为 2m根据设计要求，当以 3m3min 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以 m3min 的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体) (1)根据 t 时刻液面的面积，写出 t 与 (y)之间的关系式； (2)求曲线(y)的方程
9、26 (2004 年) 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下 现有一质量为 9000 kg 的飞机，着陆时的水平速度为 700kmh经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 k6010 6)问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少?27 (2005 年) 用变量代换 cost(0t) 化简微分方程 (1 2)yyy0，并求其满足 y 0 ，y 0 2 的特解28 (2007 年) 求微分方程 y( y 2)y满足初始条件 y(1)y(1)1 的特解29 (2008 年)设 f()是区间0，)上具有
10、连续导数的单调增加函数，且 f(0)1对任意的 t0，)，直线 0， t，曲线 yf()以及 轴所围成的曲边梯形绕 z 轴旋转一周生成一旋转体若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2 倍，求函数 f()的表达式30 (2009 年)设非负函数 yy()(0)满足微分方程 yy20当曲线yy()过原点时，其与直线 1 及 y0 围成的平面区域 D 的面积为 2，求 D 绕y 轴旋转所得旋转体的体积31 (2009 年) 设 yy()在区间(，) 内过点( )的光滑曲线当 0时，曲线上任一点处的法线都过原点；当 0 时，函数 y()满足 yy0求函数 y()的表达式32 (2010 年) 设函数
11、 yf()由参数方程 所确定，其中 (t)具有 2 阶导数，且 (1) ，(1)6，已知 ，求函数 (t)33 (2011 年) 设函数 y()具有二阶导数，且曲线 l： yy()与直线 y 相切于原点记 a 为曲线 l 在点(，y)处切线的倾角，若 ，求 y()的表达式34 (2012 年) 已知函数 f()满足方程 f()f() 2f() 0 及 f() f()2e ()求 f()的表达式； ()求曲线 yf( 2)0f(t 2)dt 的拐点35 (2014 年) 设函数 f(u)具有 2 阶连续导数，zf(e cosy)满足 (4ze cosy)e2 若 f(0)0，f(0)0，求 f(
12、u)的表达式36 (2015 年)已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比现将一初始温度为 120的物体在 20恒温介质中冷却，30min 后该物体温度降至 30，若要将该物体的温度继续降至 21，还需冷却多长时间?考研数学二（常微分方程）历年真题试卷汇编 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 方程 yy0 的特征方程为 210，其特征根为 i，因此方程 yy 21sin y *abC(AsinBcos) 故应选 A【知识模块】 常微分方程2 【正确答案】 D【试题解析】
13、由 yC 1eC 2e2 e 知，齐次方程的两个特征根分别为 1 和2，所以只有 C 和 D 项可能是正确的选项，将 ye 代入 D 项中方程知其满足该方程，则应选 D【知识模块】 常微分方程3 【正确答案】 D【试题解析】 由原题设知所求方程的特征方程的根为 11， 2，3 2i 则其特征方程为(1)( 24)0，故所求方程应为 yy 4y4y0 故应选 D【知识模块】 常微分方程4 【正确答案】 A【试题解析】 由于 y1 y2 为方程 yp()yq()的解，则 (y 1y 2)p()(y1y 2)g() 即 (y1p()y 1)(y 2p()y 2)q() q()()q() 1 (1)
14、由于 y1y 2 为方程 yp()y0 的解，则 (y 1y 2)p()(y 1y 2)0 (y1p()y 1)(y 2p()y 2)0 q() q() 0 0 (2) 由(1)式和(2)式解得【知识模块】 常微分方程5 【正确答案】 C【试题解析】 方程 y 2y0 的特征方程为 r 2 21 r 1 ，r 2 方程 y 2ye 的特解形式为 ae 方程 y 2ye 的特解形式为 bee 则原方程的特解形式为 y(ae be ) 故应选 C【知识模块】 常微分方程二、填空题6 【正确答案】 yCe 【试题解析】 则lnylnlnlne ln(e ) yCe 【知识模块】 常微分方程7 【正确
15、答案】 yC 1eC 2e32e 2【试题解析】 齐次方程特征方程为 2430 解得 11， 23，则齐次方程通解为 yC 1eC 2e3 设非齐方程特解为 Ae 2，代入原方程得 A2，则原方程通解为 yC 1eC 2e32e 2【知识模块】 常微分方程8 【正确答案】 y(C e )【试题解析】 方程(y 2e )ddy 0 可改写为【知识模块】 常微分方程9 【正确答案】 yC 1e2C 2cosC 1sin【试题解析】 方程 y2yy2y0 的特征方程为 r 32r 2r 20 即r2(r2)(r2) 0 (r2)(r 21)0 r 12，r 2，3 l 则原方程通解为yC 1e2C
16、2cosC 1sin【知识模块】 常微分方程10 【正确答案】 e sin【试题解析】 由一阶线性方程的通解公式得 y e cosdc e sinC 由 y(0)0 知，C0，则 ye sin【知识模块】 常微分方程11 【正确答案】 【试题解析】 由 yd(3y 2)dy0 得 这是一阶线性微分方程，由通解公式得 又因为 y1 时，1，解得 C0，故 y 2 y【知识模块】 常微分方程12 【正确答案】 C 1eC 2e3e 2【试题解析】 由题设知 y 1y 3e 3，y 2y 3e 为齐次方程两个线性无关的特解，则非齐次方程的通解为 yC 1eC 2e3e 2【知识模块】 常微分方程13
17、 【正确答案】 2e e 2 【试题解析】 原方程的特征方程为 2 20 特征根为 11， 22 原方程的通解为 yC 1eC 2e2 由 y(0)3，y(0)0 得 则C12，C 21，y2e e 2 【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 取沉放点为原点 o，oy 轴方向铅直向下，则由牛顿第二定律得 mmgkv 这是 y 对 t 的二阶可降阶方程，其中 v ，按典型的降阶法【知识模块】 常微分方程15 【正确答案】 因曲线向上凸，则 y0；由题设有 化简，即为 y(1y 2) 曲线经过点(0，1) ，故 y(0)1，又因为在该点的切线方
18、程为 y 1，即切线斜率为 1，于是 y(0)1 现在归结为求的特解 令 yP，yP ，于是得 P(1P 2) 分离变量解得 arctanPC 1，以 P(0)1 代入，得 C 1arctan1 ，所以yPtan( )再积分得 以y(0)1 代入，得 C21 ln2，故所求曲线方程为取其含有 0 在内的连续的一支为当 时，cos( )0，y，故此函数无极小值当 时，y 为极大，极大值y1 ln2【知识模块】 常微分方程16 【正确答案】 原方程可化为 令 yu，得【知识模块】 常微分方程17 【正确答案】 曲线 yy()上点 P(，y)处切线方程为 Yyy()(X ) 它与 轴的交点为( ，0
19、)由于 y()0，y(0),1，从而 y()0，于是 S 1又 S2 0y(t)dt 由条件 2S1S 21 知两边对 求导并化简得 yy(y) 2 令 Py，则上述方程可化为 yP P 2 注意到 y(0)1，并由(*)式知 y(0)1从而可知 C11，C 20，故所求曲线的方程是 ye 【知识模块】 常微分方程18 【正确答案】 设从 2000 年初(令此时 t0)开始，第 t 年湖泊中污染物 A 的总量为 m，浓度为 ，则在时间间隔t，tdt内，排入湖泊中 A 的量为，流出湖泊的水中 A 的量为 因此在此时间间隔内湖泊中污染物 A 的改变量 dm( )dt 由分离变量法解得 m 代入初始
20、条件 令 mm 0，得t6ln3 即至多需经过 6ln3 年，湖泊中污染物 A 的含量降至 m0 以内【知识模块】 常微分方程19 【正确答案】 由 f()g() 得，f()g()2e f() 于是有【知识模块】 常微分方程20 【正确答案】 (1)设曲线 L 过点 P(，y)的切线方程为 Yyy(X)，令X0，则得该切线在 y 轴上的截距为 yy由题设知由 L 经过点( ，0)，知 C ，于是 L 的方程为 (2)设第一象限内曲线y 2，在点 P(，y)处切线方程为它与 轴及 y 轴交点分别为，所求面积为令 S()0，解得 当 0 时，S()0； 时，S()0，因而 是 S()在(0， )内
21、的唯一极小点，于是所求切线为【知识模块】 常微分方程21 【正确答案】 设雪堆在时刻 t 的体积 V r3，侧面积 S2r 2，由题设知积分得 rKtC，由 r t0 r 0，有rr 0Kt， 因雪球全部融化时 r 0，故得 t6，即雪球全部融化需 6 小时【知识模块】 常微分方程22 【正确答案】 原方程可化为 1 则 y由曲线 yC 2 与直线1，2 及 轴所围成的平面图形绕 轴旋转一周的旋转体体积为又 V(C) 0，故C 为唯一极小值点，也是最小值点，于是得 yy() 2【知识模块】 常微分方程23 【正确答案】 由反函数导数公式知 上式两端对 y 求导得将 代入原方程得 yysin 该
22、方程对应的齐次方程 yy0 的通解为 yC 1eC 2e 。 设方程 yysin 的特解为 Acos Bsin，代入该方程得 A0，B 故从而 yysin 的通解为 y() C 1eC 2e sin 由 y(0)0，y(0) 得 C11，C 21 故 y()e e sin【知识模块】 常微分方程24 【正确答案】 (1)曲线 yf()在点 P(，y)处的法线方程为 Yy (X) 令 X0，则 Yy 故 Q 点的坐标为(0，y )，由题设知 yy 0 即2ydyd0 积分得 22y 2C 由 知 C1，故曲线 yf()的方程为22y 21 (2)曲线 ysin 在0，上的弧长为 l 曲线 yf(
23、)的参数方程为【知识模块】 常微分方程25 【正确答案】 (1)设 t 时刻液面高度为 y，则由题设知此时液面面积为 2(y)4t 从而 t 2(y)4 (2)液面高度为 y 时，液体的体积为 0y2(u)du3t3 2(y)12 上式两边对 y 求导得 2(y)6(y)(y) 解此方程得 (y)C y 由 (0)2 知 C2 故所求曲线方程为 2 y【知识模块】 常微分方程26 【正确答案】 由题设，飞机的质量 m9000kg ，着陆时的水平速度v0700kmh从飞机接触跑道开始计时，设 t 时刻飞机的滑行距离为 (t)，速度为 v(t) 根据牛顿第二定律，得 积分得 (t) vC 由于 v
24、(0)v 0，(0)0，故得 C v0，从而 (t) (v0v(t) 当v(t)0 时， v(t) 105(km) 所以，飞机滑行的最长距离为105 km【知识模块】 常微分方程27 【正确答案】 其特征方程为 210，解得 i，于是此方程的通解为 yC 1costC 2sint 从而原方程的通解为 yC 1C 2 由 y 0 1，y 0 2，得 C12，C 21，故所求方程的特解为 y2 【知识模块】 常微分方程28 【正确答案】 令 yP，则 y ，原方程化为由 y(1)1 知 C10，则 P 2由 y(1)1 知，C 2 【知识模块】 常微分方程29 【正确答案】 旋转体的体积 V 0t
25、f2()d，侧面积 S2 0tf() ，由题设条件知 上式两端对 t 求导得 f2(t)f(t) 即 y 由分离变量法解得将 y(0)1 代入知 C1，故于是所求函数为 yf() (ee )【知识模块】 常微分方程30 【正确答案】 在方程 yy20 中令 yP，则 yP且 PP 20由于曲线过原点，则 C20【知识模块】 常微分方程31 【正确答案】 曲线在(，y) 处的法线方程为 Yy (X) 由于当 0 时，法线过原点，所以有 y 由此可得，y 2 2C 因为点()在曲线上，所以 C 2， 则所求曲线为 2y 2 2( 0) 当0 时，由 yy 0 解得，yC 1cosC 2sin 由于
26、曲线是光滑的，则 y(00)y(00)，y -(0)y +(0) 而 y(00)，y(00)C 1，则 C1 y -(0)0，y +(0)C 21，则 C21 故【知识模块】 常微分方程32 【正确答案】 由u t1 (1)6，知 C1 0，于是 (t)3t(1t) 由 (1) ，知 C20，于是 (t) t2t 3 (t)【知识模块】 常微分方程33 【正确答案】 由于 ytan，即 arctany，所以 于是有y，即 yy(1y 2) 令 yP ，则 yP ，代入 式得 Pp(1P 2) 分离变量得 两边积分得 ln 2lnC 1 由题意 y(0)1 ，即当 0 时 p1，代入式得 C1
27、，于是有两边积分得 由y(0)0 得 C2 所以 yarcsin【知识模块】 常微分方程34 【正确答案】 () 得 f()3f()2e ，因此 f()e 3d(2e )e3d dC)e Ce 3 代入 f()f()2e ，得 C0，所以 f()e 当 0 时 y0，当 0时，y0，又 y(0)0，所以曲线的拐点为(0，0)【知识模块】 常微分方程35 【正确答案】 令 ecosyu，则 将以上两个式子代入 (4ze cosy)e2得 f(u)4f(u)u 即 f(u)4f(u) U 以上方程对应的齐次方程的特征方程为 r240，特征根为 r2，齐次方程的通解为 f(u)C 1e2uC 2e2u 设非齐次方程的特解为 f*aub，代入非齐次方程得a ，b 0 则原方程的通解为 f(u)C 1e2u C2e2u u 由 f(0)0，f(0)0得 ，则 f(u) (e2ue 2u 4u)【知识模块】 常微分方程36 【正确答案】 设 t 时刻物体的温度为 T(t)()，由题设知 k(T20) 解该方程得 T(t)20Ce kt 又 T(20)120，则 C100，T(t)20100e kt T(30)30，则代入 T(t0)21，得 t060， 则，还需要 30 分钟物体温度降至 21【知识模块】 常微分方程
