1、考研数学二（常微分方程）历年真题试卷汇编 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (89 年 )微分方程 y“一 y=ex+1 的一个特解应具有形式( 式中 a，b 为常数)（A）ae x+b（B） axex+b（C） aex+bx（D）axe x+bx2 (98 年 )已知函数 y=f(x)在任意点 x 处的增量 其中 是比x(x0)的高阶无穷小，且 y(0)=，则 y(1)=（A）（B） 2（C） （D）3 (00 年 )具有特解 y1=e-x，y 2=2xe-x，y 3=3ex 的三阶常系数齐次线性微分方程是（A）y“一 y“一 y+y=0（B）
2、 y“+y“一 y一 y=0（C） y“一 6y“+11y一 6y=0（D）y“一 2y“一 y+2y=0二、填空题4 (94 年 )微分方程 ydx+(x2 一 4x)dy=0 的通解为_ 5 (95 年 )微分方程 y“+y=一 2x 的通解为_6 (96 年 )微分方程 y“+2y+5y=0 的通解为_7 (99 年 )微分方程 y“一 4y=e2x 的通解为_8 (01 年 )过点 且满足关系式 yarcsinx+ =1 的曲线方程为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 (87 年 )求微分方程 =x 一 y 满足条件 的特解10 (87 年) 求微分方程 y“+2y
3、+y=xex 的通解11 (88 年) 求微分方程 的通解12 (88 年) 设函数 y=y(x)满足微分方程 y”一 3y+2y=2ex其图形在点(0，1)处的切线与曲线 y=x2 一 x+1 在该点处的切线重合，求函数 y 的解析表达式13 (89 年) 求微分方程 xy+(1 一 x)y=e2x (0x+)满足 y(1)=0 的解14 (89 年) 设 f(x)=sinx0x(xt)f(t)dt，其中 f 为连续函数，求 f(x)15 (90 年) 求微分方程 xlnxdy+(y 一 lnx)dx=0 满足条件 y|x=0=1 的特解16 (90 年) 求微分方程 y“+4y+4y=ea
4、x 之通解，其中 a 为实数17 (91 年) 求微分方程 xy+y=xex 满足 y(1)=1 的特解18 (91 年) 求微分方程 y“+y=x+cosx 的通解19 (92 年) 求微分方程 (y 一 x3)dx 一 2xdy=0 的通解20 (92 年) 求微分方程 y“一 3y+2y=xex 的通解21 (93 年) 求微分方程 (x2 一 1)dy+(2xy 一 cosx)dx=0 满足初始条件 y|x=0=1 的特解22 (93 年) 设二阶常系数线性微分方程 y”+y+y=ex 的一个特解为 y=e2x+(1+x)ex，试确定常数 、 、，并求该方程的通解23 (94 年) 求
5、微分方程 y“+a2y=sinx 的通解，其中常数 a024 (95 年) 设 y=ex 是微分方程 xy+p(x)y=x 的一个解，求此微分方程满足条件y|x=ln2=0 的特解25 (96 年) 求微分方程 y“+y=x2 的通解26 (96 年) 设 f(x)为连续函数， (1)求初值问题 的解 y(x)，其中 a 是正常数；(2)若 |f(x)|k(k 为常数)，证明：当 x0 时，有27 (97 年) 求微分方程 (3x2+2xyy2)dx+(x2 一 2xy)dy=0 的通解28 (97 年) 已知 y1=xex+e2x，y 2=xex+e-x，y 3=xex+e2x 一 e-x
6、是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程29 (97 年) 设曲线 L 的极坐标方程为 r=r()，M(r ，)为 L 上任一点，M 0(2，0)为 L上一定点，若极径 OM0、OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形面积值等于 L 上 M0、M两点间弧长值的一半，求曲线 L 的方程30 (97 年) 设函数 f(x)在闭区间 0，1上连续，在开区间(01)内大于零，并满足xf(x)=f(x)+ (a 为常数)，又曲线 y=f(x)与 x=1，y=0 所围的图形 S 的面积值为2求函数 f(x)并问 a 为何值时，图形 S 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积最小31 (98 年) 利用代换
7、将方程 y”cosx 一 2ysinx+3ycosx=ex 化简，并求出原方程的通解32 (98 年) 从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起) 与下沉速度 v 之间的函数关系，设仪器在重力的作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用设仪器的质量为m，体积为 B，海水比重为 ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k0)试建立 y 与 v 所应满足的微分方程，并求出函数关系式33 (98 年) 设 y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任一点(x ，y)处的曲率为且此曲线上点(0，1)处的切线方程为 y=x+1，求该曲
8、线方程并求函数y=y(x)的极值34 (99 年) 求初值问题 的通解35 (99 年) 设函数 y(x)(x0)二阶可导,且 y(x)0，y(0)=1过曲线上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S1，区间 0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S2，并设 2S1 一 S2 恒为 1，求此曲线 y=y(x)的方程36 (00 年) 某湖泊的水量为 V，每年排入湖泊内含污物 A 的污水量为 流入湖泊内不含 A 的水量为 ，流出湖泊的水量为 已知 1999 年底湖中 A 的含量为5m0，超过国家规定指标，为了治理污染从 20
9、00 年起，限定排入湖泊中含 A 污水的浓度不超过 问至多需经过多少年,湖泊中污染物 A 的含量降至 m0 以内?(注：设湖水中的浓度是均匀的)37 (01 年) 设函数 f(x)，g(x)满足 f(x)=g(x)，g(x)=2e x-f(x)且 f(0)=一 0，g(0)=2 ，求考研数学二（常微分方程）历年真题试卷汇编 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 y“一 y=ex+1 的特解应为方程 y“一 y=ex 和 y”一 y=1 的特解之和，而特征方程为 r 2 一 1=0，解得 r=1 因此 y“一 y=ex 的特
10、解应为 y1*=axex， y“ 一 y=1的特解应为 y2*=b 则原方程特解应具有形式 y=axe x+b【知识模块】 常微分方程2 【正确答案】 A【试题解析】 由于 ，其 是比x(x0)高阶的无穷小，则解此变量可分离方程得 y=Ce arctanx，再由 y(0)= 得 C= 故 y=earctanxy(1)=【知识模块】 常微分方程3 【正确答案】 B【知识模块】 常微分方程二、填空题4 【正确答案】 (x-4)y 4=Cx【试题解析】 该方程是一个变量可分离方程，即 故(x 一 4)y4=Cx【知识模块】 常微分方程5 【正确答案】 y=一 2x+C1cosx+C2sinx【试题解
11、析】 特征方程为 r2+1=0，解得 r1=i，r 2=一 i 齐次通解为 =C1cosx+C2sinx 易观察出非齐次一个特解为 y*= 一 2x 则原方程通解为 y=C1cosx+C2sinx 一 2x【知识模块】 常微分方程6 【正确答案】 y=e -x(C1cos2x+C2sin2x)【试题解析】 特征方程为 r 2+2r+5=0r 1,2=一 12i 故通解为 y=C 1e-xcos2x+C2e-xsin2x【知识模块】 常微分方程7 【正确答案】 y=C 1e-2x+ (C1，C 2 为任意常数 )【试题解析】 特征方程为 r2 一 4=0，r 1,2=2 齐次通解为 =C1e-2
12、x+C2e2x 设非齐次方程特解为 y*=Axe 2x 代入原方程得 故原方程通解为【知识模块】 常微分方程8 【正确答案】 【试题解析】 知 (yarcsinx)=1 则 yarcsinx=x+C【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 原方程改写为标准形式为 由一阶线性微分方程求解公式知【知识模块】 常微分方程10 【正确答案】 特征方程为 r 2+2r+1=0，r= 一 1 为二重根则齐次方程通解为 =(C1+C2x)e-x设非齐次方程特解为 y*=(A0+A1x)ex，代入原方程得故原方程通解为 y=(C 1+C2x)e-x+【知识模块
13、】 常微分方程11 【正确答案】 由一阶线性方程求解公式知【知识模块】 常微分方程12 【正确答案】 特征方程为 r22r+2=0 解得 r1=1，r 2=2则：齐次方程通解为 =C1ex+C2e2x 设非齐次方程特解为 y*=Axe x，代入原方程得 A=一 2 故原方程通解为 y=C 1ex+C2e2x 一 2xex (*) 又由题设 y=y(x)的图形在点(0，1)处切线与曲线 y=x2 一x+1 在该点的切线重合由此可知 y(0)=1，y(0)=(2x 一 1)|x=0=一 1 利用此条件由(*)式可得 C 1=1，C 2=0 因此所求解为 y=(1 2x)ex【知识模块】 常微分方程
14、13 【正确答案】 原方程改写为标准形式 由一阶线性微分方程通解公式得代入初始条件 y(1)=0，得 c=一 e 故所求解为【知识模块】 常微分方程14 【正确答案】 原方程可改写为 f(x)=sinxx 0xf(t)dt+0xtf(t)dt 上式两端对 x 求导得 f(x)=cosx 一 0xf(t)dtxf(x)+x(f)x=cosx0xf(t)dt (*)两端再对 x 求导得 f“(x)= 一sinx-f(x)即 f“(x)+f(x)= 一 sinx 这是一个二阶线性非齐次方程，由原方程知 f(0)=0，由(*)式知 f(0)=1 特征方程为 r 2+1=0，r=i 齐次通解为 =C1s
15、inx+C2cosx 设非齐次方程特解为 y*=x(asinx+bcosx)，代入 f“(x)+f(x)=一 sinx 得 则非齐次方程的通解为 y=C 1sinx+C2cosx+ 由初始条件 y(0)=0 和 y(0)=1 可知【知识模块】 常微分方程15 【正确答案】 原方程改写为标准形式为由 y|x=e=1 知所以满足初始条件 y|x=e=1 的特解为【知识模块】 常微分方程16 【正确答案】 特征方程为 r 2+4r+4=0 解得 r 1=r2=一 2 则齐次方程通解为 =(C1+C2x)e-2x 当 a一 2 时，原方程特解可设为 y*=Ae ax当 a=一 2 时，原方程特解可设为
16、 y*=Ax 2e-2x 综上所述，原方程通解为【知识模块】 常微分方程17 【正确答案】 将原方程化为标准形式 由一阶线性方程通解公式可知 由 y(1)=1，得 C=1，故所求特解为【知识模块】 常微分方程18 【正确答案】 易求得齐次方程通解为 y=C 1cosx+C2sinx 设非齐次方程 y”+y=x 的特解为 y 1=Ax+B 代入方程得 A=1B=0所以 y1=x 设非齐次方程 y”+y=cosx 的特解为 y=Cxcosx+Dxsinx 代入方程解 C=0，D= 所以 故原方程通解为 y=C 1cosx+C2sinx+x+【知识模块】 常微分方程19 【正确答案】 将原方程化为标
17、准形式 由一阶线性微分方程通解公式知【知识模块】 常微分方程20 【正确答案】 特征方程为 r 2 一 3r+2=0 解得 r1=1，r 2=2 齐次方程通解为 =C1ex+C2e2x 设非齐次方程特解为 y*=x(ax+b)e x 代入原方程得 b=一 1所以 从而所求通解为 y=C 1ex+C2e2x 一【知识模块】 常微分方程21 【正确答案】 原方程化为标准型 则通解为由 y|x=0=1 知C=一 1 则所求特解为【知识模块】 常微分方程22 【正确答案】 将 y=e2x+(1+x)ex 代入原方程得 (4+2+)e 2x+(3+2+)ex+(1+)xex=ex 比较同类项的系数有 解
18、得 = 一 3，=2，=一 1 即原方程为 y“ 一 3y+2y=一 ex 其特征方程为 r2 一 3r+2=0 解得 r1=1，r 2=2 故齐次通解为 =C1ex+C2e2x 则原方程通解为 y=C 1ex+C2e2x+e2x+(1+x)ex【知识模块】 常微分方程23 【正确答案】 特征方程为 r2+a2=0，r=ai 则：齐次方程通解为 y=C1cosax+C2sinax (1)当 a1 时，原方程特解可设为 y*=Asinx+Bcosx 代入原方程得B=0 所以 (2)当 a=1 时，原方程特解可设为y*=x(Asinx+Bcosx)代入原方程得 A=0， 所以 综上所述当a1 时，
19、通解为 y=C 1cosX+C2sinax+ 当 a=1 时，通解为 y=C 1cosx+C2sinax一【知识模块】 常微分方程24 【正确答案】 将 y=ex 代入原方程得 xe x+p(x)ex=x 得 p(x)=xe -x 一 x 代入原方程得xy+(xe-x 一 x)y=x 即 y+(e -x 一 1)y=1 解此线性方程得通解 y=e x+Cex-e【知识模块】 常微分方程25 【正确答案】 特征方程为 r2+r=0，r 1=0，r 2=一 1 则齐次通解为 =C1+C2e-x 设非齐次方程特解为 y*=x(ax 2+bx+c)，代入原方程得 b=一 1,c=2 因此，原方程通解为
20、 一 x2+2x+C1+C2e-x【知识模块】 常微分方程26 【正确答案】 (1)原方程通解是 y(x)=e-axf(x)eaxdx+C =e-axF(x)+C其中 F(x)是f(x)eax 的任一原函数，由 y(0)=0 得 C=一 F(0)故 y(x)=e -axF(x)一 F(0)=e-ax0xeatf(t)dt(2)|y(x)|e-ax0x|f(t)|eatdtkeax0xeatdt【知识模块】 常微分方程27 【正确答案】 令 y=xu，则 解之得 u 2 一 u一 1=Cx-3，即 y2-xy-x2=Cx-1【知识模块】 常微分方程28 【正确答案】 由题设知 e2x 与 e-x
21、 是相应齐次方程两个线性无关的解，且 xex 是非齐次方程一个特解，故此方程是 y“一 y一 2y=f(x) 将 y=xex 代入上式得 f(x)=(xe x)“一 (xex)一 2xex=ex 一 2xex 因此所求方程为 y“ 一 y一 2y=ex 一 2xex【知识模块】 常微分方程29 【正确答案】 由题设可知由 r(0)=2 知 ，故所求曲线 L 的方程为【知识模块】 常微分方程30 【正确答案】 由原题设，当 x时， 即 据此并由 f(x)在点 x=0 处连续性，得 又由已知条件得旋转体体积为故 a=一 5 时，旋转体体积最小【知识模块】 常微分方程31 【正确答案】 y=usec
22、x，y=usecx+utanxsecx y“=u“secx+2utanxsecx+usec3x+utan2xsecx 代入原方程化简得 u“+4u=e x 解此线性常系数非齐次方程，得通解为 u=C1cos2x+C2sin2x+ 还原成 y，得原方程通解【知识模块】 常微分方程32 【正确答案】 取沉放点为原点 o，oy 轴方向铅直向下，则由牛顿第二定律得这是 y 对 t 的二阶可降阶方程，其中 按典型的降阶法原式化为初始条件为 v| y=0=0，求出【知识模块】 常微分方程33 【正确答案】 因曲线向上凸，则 y“0；由题设有 化简，即为 y“=一(1+y 2)曲线经过点(0，1) ，故 y
23、(0)=1，又因为在该点的切线方程为y=x+1，即切线斜率为 1于是 y(0)=1现在归结为求 的特解 令 y=P，y“=P，于是得 P=一(1+P 2)分离变量解得 arctanP=C 1 一 x，以 P(0)=1代入，得以 y(0)=1代入，得 故所求曲线方程为 取其含有 x=0 在内的连续的一支为 当,y-，故此函数无极小值，当 时，y为极大，极大值 y=【知识模块】 常微分方程34 【正确答案】 原方程可化为 令 y=xu，得将 y| x=1=0 代入得，C=1，故所求解为 化简得 【知识模块】 常微分方程35 【正确答案】 曲线 y=y(x)上点 P(x，y)处切线方程为 Y y=y
24、(x)(Xx)它与 x 轴的交点为 由于 y(x)0，y(0)=1，从而 y(x)0，于是又 S 2=0xy(t)dt 由条件 2S1 一 S2=1 知两边对 x 求导并化简得 yy”=(y) 2 令 P=y，则上述方程可化为 从而 注意到 y(0)=1，并由(*)式知 y(0)=1从而可知 C1=1，C 2=0，故所求曲线的方程是 y=ex【知识模块】 常微分方程36 【正确答案】 设从 2000 年初(令此时 t=0)开始，第 t 年湖泊中污染物 A 的总量为 m，浓度为 ，则在时间间隔t，t+dt 内，排入湖泊中 A 的量为流出湖泊的水中 A 的量为 因此在此时间间隔内湖泊中污染物 A 的改变量 由分离变量法解得令 m=m 0，得 t=6ln3 即至多需经过 6ln3 年，湖泊中污染物 A 的含量降至 m0 以内【知识模块】 常微分方程37 【正确答案】 由 f(x)=g(x)得，f“(x)=g(x)=2e x 一 f(x)于是有解之得 f(x)=sinxcosx+e x【知识模块】 常微分方程
