1、考研数学二（常微分方程）历年真题试卷汇编 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (02 年 )设 y=y(x)是二阶常系数微分方程 y“+py+qy=e3x 满足初始条件 y(0)=y(0)=0的特解，则当 x0 时函数 的极限（A）不存在（B）等于 1（C）等于 2（D）等于 32 (03 年 )已知 是微分方程 的表达式为3 (04 年 )微分方程 y“+y=x2+1+sinx 的特解形式可设为（A）y*=ax 2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)（B） y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)（C） y*=(ax2+bx+c+
2、Asinx（D）y*=ax 2+bx+c+Acosx4 (06 年 )函数 y=C1ex+C2e-2x+xex 满足的一个微分方程是（A）y“一 y一 2y=3xex（B） y“-y一 2y=3ex（C） y”+y一 2y=3xex（D）y“+y-2y=3e x5 (08 年 )在下列微分方程中，以 y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C 2，C 3 为任意常数)为通解的是（A）y“+y“-4y-4y=0（B） y“+y“+4y+4y=0（C） y“一 y”一 4y+4y=0（D）y“-y“+4y一 4y=06 (10 年 )设 y1，y 2 是一阶线性非齐次微分方程 y+p(
3、x)y=q(x)的两个特解，若常数， 使 y1+y2 是该方程的解，y 1 一 y2 是该方程对应的齐次方程的解，则7 (11 年 )微分方程 y“一 2y=ex+e-x(0)的特解形式为（A）a(e x+e-x)（B） ax(ex+e-x)（C） x(aex+be-x)（D）x 2(aex+be-x)8 (17 年 )微分方程 y”一 4y+8y=r2x(1+cos2x)的特解可设为 y=（A）Ae 2x+e2x(Bcos2x+Csin2x)（B） Axe2x+e2x(Bcos2x+Csin2x)（C） Ae2x+xe2x(Bcos2x+Csin2x)（D）Axe 2x+xe2x(Bcos2
4、x+Csin2x)二、填空题9 (04 年 )微分方程 (y+x3)dx 一 2xdy=0 满足 y|x=1= 的特解为_10 (05 年) 微分方程 xy+2y=3xlnx 满足 y(1)= 的解为_11 (06 年) 微分方程 的通解是_12 (07 年) 二阶常系数非齐次线性微分方程 y“一 4y+3y=2e2x 的通解为y=_13 (08 年) 微分方程 (y+x2e-x)dxxdy=0 的通解是 y=_14 (10 年)3 阶常系数线性齐次微分方程 y“一 2y“+y一 2y=0 的通解为 y=_15 (11 年) 微分方程 y+y=e-xcosx 满足条件 y(0)=0 的解为 y
5、=_16 (12 年) 微分方程 ydx+(x 一 3y2)dy=0 满足条件 y|x=1=1 的解为 y=_17 (13 年) 已知 y1=e3x 一 xe3x，y 2=ex 一 xe2x，y 3=一 xe2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，则该方程满足条件 y|x=0=0，y| x=0=1 的解为 y=_18 (15 年) 设函数 y=y(x)是微分方程 y“+y-2y=0 的解，且在 x=0 处 y(x)取得极值 3,则 y(x)=_19 (16 年) 以 y=x2 一 ex 和 y=x2 为特解的一阶非齐次线性微分方程为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
6、。20 (01 年) 设 L 是一条平面曲线，其上任意一点 P(x，y)(x0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在 y 轴上的截距，且 L 经过点 (1)试求曲线 L 的方程； (2)求 L 位于第一象限部分的一条切线，使该切线与 L 以及两坐标轴所围图形的面积最小21 (01 年) 一个半球体状的雪堆其体积融化的速率与半球面面积 S 成正比比例常数 K0假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为 r0 的雪堆在开始融化的 3 小时内融化了其体积的 问雪堆全部融化需要多少小时?22 (02 年) 求微分方程 xdy+(x 一 2y)dx=0 的一个解 y=y(x)，使得由曲线 y=y(
7、x)与直线 x=1，x=2 以及 x 轴所围成平面图形绕 x 轴旋转一周的旋转体体积最小23 (03 年) 设函数 y=y(x)在(一 +)内具有二阶导数，且 y0,x=x(y)是 y=y(x)的反函数(1)试将 x=x(y)所满足的微分方程 变换为 y=y(x)满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0,y(0)= 的解24 (03 年) 设位于第一象限的曲线 y=f(x)过点 ，其上任一点 P(x,y)处的法线与 y 轴的交点为 Q，且线段 PQ 被 x 轴平分 (1)求曲线 y=f(x)的方程： (2)已知曲线 y=sinx 在0，上的弧长为 l，试用 l 表示曲
8、线 y=f(x)的弧长 s25 (13 年)有一平底容器，其内侧壁是由曲线 x=(y)(y0)绕 y 轴旋转而成的旋转曲面(如图 )，容器的底面圆的半径为 2 m根据设汁要求当以 3 m3/min 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以 m3/mjn 的速率均匀扩大 (假设注入液体前,容器内无液体) (1)根据 t 时刻液面的面积写出 t 与 (y)之间的关系式：(2)求曲线 x=(y)的方程26 (04 年) 某种飞机在机场降落时为了减少滑行距离在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下 现有一质量为 9 000 kg 的飞机，着陆时的水平速度为 700 kmh经测
9、试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 k=6010 6)问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少?27 (05 年) 用变量代换 x=cost(0t)化简微分方程(1 一 x2)y“一 xy+y=0，并求其满足 y|x=0=1，y| x=0=2 的特解28 (07 年) 求微分方程 y“(x+y2)=y满足初始条件 y(1)=y(1)=1 的特解29 (08 年) 设 f(x)是区间0，+)上具有连续导数的单调增加函数，且 f(0)=1对任意的 t0，+)，直线 x=0，x=t ，曲线 y=f(x)以及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周生成一旋转体若该旋转体
10、的侧面面积在数值上等于其体积的 2 倍，求函数f(x)的表达式30 (09 年) 设非负函数 y=y(x)(x0)满足微分方程 xy”一 y+2=0当曲线 y=y(x)过原点时，其与直线 x=1 及 y=0 围成的平面区域 D 的面积为 2求 D 绕 y 轴旋转所得旋转体的体积31 (09 年) 设 y=y(x)在区间(一 )内过点 的光滑曲线当一 x0时曲线上任一点处的法线都过原点；当 0x 时，函数 y(x)满足 y“+y+x=0求函数 y(x)的表达式32 (10 年) 设函数 y=f(x)由参数方程 (t一 1)所确定，其中 (t)具有 2阶导数，且 (1)=6，已知 ,求函数 (t)
11、33 (11 年) 设函数 y(x)具有二阶导数，且曲线 l：y=y(x)与直线 y=x 相切于原点记a 为曲线 l 在点(x ，y)处切线的倾角，若 求 y(x)的表达式34 (12 年) 已知函数 f(x)满足方程 f”(x)+f(x)一 2f(x)=0 及 f“(x)+f(x)=2ex (I) 求 f(x)的表达式； () 求曲线 y=f(x2)0xf(一 t2)dt 的拐点35 (14 年) 设函数 f(u)具有 2 阶连续导数,z=f(e xcosy)满足若 f(0)=0，f(0)=0，求 f(u)的表达式36 (15 年) 已知高温物体置于低温介质中。任一时刻该物体温度对时间的变化
12、率与该时刻物体和介质的温差成正比现将一初始温度为 120的物体在 20恒温介质中冷却，30min 后该物体温度降至 30，若要将该物体的温度继续降至 21，还需冷却多长时问?37 (16 年) 已知 y1(x)=ex，y 2(x)=u(x)ex 是二阶微分方程(2x 一 1)y“一(2x+1)y+2y=0 的两个解若 u(-1)=eu(0)=一 1，求 u(x)，并写出该微分方程的通解38 (17 年) 设 y(x)是区间 内的可导函数且 y(1)=0点 P 是曲线 l：y=y(x) 上的任意一点，l 在点 P 处的切线与 y 轴相交于点(0，Y p)法线与 x 轴相交于点(XP,0)若 XP
13、=YP，求 l 上点的坐标(x，y)满足的方程39 (18 年) 已知连续函数 f(x)满足 0xf(t)dt+0xtf(x 一 t)dt=ax2 (1) 求 f(x)； (2)若 f(x)在区间0 ，1 上的平均值为 1求 a 的值考研数学二（常微分方程）历年真题试卷汇编 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由于 y(x)是方程 y“+py+qy=e3x 满足初始条件 y(0)=y(0)=0 的特解，在方程 y“+py+qy=e3x 中，令 x=0 得 y“(0)+py(0)+qy(0)=e 0=1 即 y“(0)=1
14、 则所以应选(C)【知识模块】 常微分方程2 【正确答案】 A【试题解析】 故应选(A)【知识模块】 常微分方程3 【正确答案】 A【试题解析】 方程 y“+y=0 的特征方程为 2+1=0，其特征根为 =i，因此方程y“+y=x2+1+sinx 的特解形式可设为 y*=ax 2+bx+C+x(Asinx+Bcosx) 故应选(A)【知识模块】 常微分方程4 【正确答案】 D【试题解析】 由 y=C1ex+C2e-2x+xex 知，齐次方程的两个特征根分别为 1 和一 2，所以只有(C) 和(D) 可能是正确的选项，将 y=xex 代入 (D)中方程知其满足该方程，则应选(D)【知识模块】 常
15、微分方程5 【正确答案】 D【试题解析】 由原题设知所求方程的特征方程的根为 1=1， 2,3=2i 则其特征方程为 ( 一 1)(2+4)=0，故所求方程应为 y“一 y“+4y一 4y=0 故应选(D)【知识模块】 常微分方程6 【正确答案】 A【试题解析】 由于 y1+y2 为方程 y+p(x)y=q(x)的解则 (y1+y2)+p(x)(y1+y2)=q(x)即 (y1+p(x)y1)+(y2+p(x)y2)=q(x) q(x)+q(x)=q(x) +=1 (1)由于 y1 一 y2为方程 y+p(x)y=0 的解，则 (y 1 一 y2)+p(x)(y1 一 y2)=0 (y1+p(
16、x)y1)一(y2+p(x)y2)=0 q(x)一 q(x)=0 -=0 (2)由(1)式和(2)式解得 =【知识模块】 常微分方程7 【正确答案】 C【试题解析】 方程 y“一 2y=0 的特征方程为 r 2 一 2=1 r1=， r 2=一 方程 y“一2y=ex 的特解形式为 axex 方程 y“一 2y=e-x 的特解形式为 bxe-x 则原方程的特解形式为 y=x(axe x+bxe-x) 故应选(C) 【知识模块】 常微分方程8 【正确答案】 C【试题解析】 方程 y“一 4y+8y=0 的特征方程为 2 一 4+8=0e2x(1+cos2x)=e2x+e2xcos2x 则方程 y
17、“一 4y+8y=e2x(1+cos2x)特解可设为 y=Ae 2x+xe2x(Bcos2x+Csin2x)【知识模块】 常微分方程二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 方程(y+x 3)dx 一 2xdy=0 可改写为 设方程为一阶线性方程，则其通解为 由 y|x=1= 知C=1，则所求特解为【知识模块】 常微分方程10 【正确答案】 【试题解析】 方程 xy+2y=xlnx 是一阶线性方程，方程两端同除以 x 得：则通解为【知识模块】 常微分方程11 【正确答案】 y=Cxe -x【试题解析】 则 ln|y|=ln|x|一x=ln|x|+lne-x=ln(|x|e-x) y=Cxe-x
18、【知识模块】 常微分方程12 【正确答案】 y=C 1ex+C2e3x 一 2e2x【试题解析】 齐次方程特征方程为 2 一 4+3=0 解得 1=1， 2=3，则齐次方程通解为 y=C 1ex+C2e3x 设非齐方程特解为 代入原方程得 A=一 2，则原方程通解为 y=C1ex+C2e3x 一 2e2x【知识模块】 常微分方程13 【正确答案】 填 y=x(Ce-x)【试题解析】 方程(y+x 2e-x)dx 一 xdy=0 可改写为【知识模块】 常微分方程14 【正确答案】 y=C 1e2x+C2cosx+C1sinx【试题解析】 方程 y“一 2y”+y一 2y=0 的特征方程为 r 3
19、 一 2r2+r 一 2=0 即 r 2(r 一2)+(r 一 2)=0 (r 一 2)(r2+1)=0 r1=2，r 2,3=l 则原方程通解为y=C1e2x+C2cosx+C1sinx【知识模块】 常微分方程15 【正确答案】 e -xsinx【试题解析】 由一阶线性方程的通解公式得 y=e -dxe-xcosx.edxdx+C =e-xcosxdx+C=e-xsinx+C 由 y(0)=0 知，C=0，则 y=e-xsinx【知识模块】 常微分方程16 【正确答案】 【试题解析】 由 ydx+(x 一 3y2)dy=0 这是一阶线性微分方程，由通解公式得 又因为 y=1 时，x=1 ，解
20、得 C=0，故x=y2【知识模块】 常微分方程17 【正确答案】 C 1ex+C2e3xxe2x【试题解析】 由题设知 y 1 一 y3=e3x，y 2 一 y3=ex 为齐次方程两个线性无关的特解，则非齐次方程的通解为 y=C1ex+C2e3x 一 xe2x【知识模块】 常微分方程18 【正确答案】 2e x+e-2x【试题解析】 原方程的特征方程为 2+ 一 2=0 特征根为 1=1， 2=一 2 原方程的通解为 y=C 1ex+C2e-2x 由 y(0)=3，y(0)=0 得 则C1=2 C2=1， y=2ex+e-2x【知识模块】 常微分方程19 【正确答案】 y一 y=2xx2【试题
21、解析】 设所求的一阶非齐次线性方程为 y+p(x)y=q(x) 则 y=x2 与 y=x2 一 ex的差 ex 应是方程 y+p(x)y=0 的解，将 y=ex 代入以上方程得 p(x)=一 1， 再把 y=x2代入方程 y 一 y=q(x) 得 q(x)=2xx2则所求方程为 y一 y=2xx2【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 (1)设曲线 L 过点 P(x，y)的切线方程为 Yy=y(Xx)，令X=0，则得该切线在 y 轴上的截距为 yxy由题设知(2)设第一象限内曲线 在点 P(x，y)处切线方程为【知识模块】 常微分方程21
22、【正确答案】 设雪堆在时刻 t 的体积 侧面积 S=2r2由题设知积分得 r=一 Kt+C，由 r|t=0=r0，有 t=r0-Kt，因雪球全部融化时 r=0故得 t=6，即雪球全部融化需 6 小时【知识模块】 常微分方程22 【正确答案】 原方程可化为由曲线 y=x+Cx2 与直线 x=1,x=2及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周的旋转体体积为又为唯一极小值点，也是最小值点，于是得【知识模块】 常微分方程23 【正确答案】 由反函数导数公式知 上式两端对 y 求导得y“y=sinx 该方程对应的齐次方程 y“一 y=0 的通解为 y=C 1ex+C2e-x 设方程 y”-y=sin
23、x 的特解为=Acosx+Bsinx代入该方程得 从而 y“一 y=sinx 的通解为 y(x)=C1ex+C2e-x 一 由 y(0)=0，y(0)= 得 C1=1C 2=一 1 故 y(x)=e x 一 e-x 一【知识模块】 常微分方程24 【正确答案】 (1)曲线 y=f(x)在点 P(x，y)处的法线方程为令 X=0，则 故 Q 点的坐标为 由题设知即 2ydy+xdx=0 积分得 x 2+2y2=C 由 知 C=1，故曲线y=f(x)的方程为 x2+2y2=1(2)曲线 y=sinx 在0， 上的弧长为曲线 y=f(x)的参数方程为【知识模块】 常微分方程25 【正确答案】 (1)
24、设 t 时刻液面高度为 y，则由题设知此时液面面积为 2(y)=4+t 从而 t= 2(y)一 4 (2)液面高度为 y 时，液体的体积为 0y2(u)du=3t=32(y)一 12 上式两边对 y 求导得 2(y)=6(y)(y)解此方程得 由 (0)=2知 C=2故所求曲线方程为【知识模块】 常微分方程26 【正确答案】 由题设，飞机的质量 m=9 000 kg，着陆时的水平速度 v0=700 kmh从飞机接触跑道开始计时，设 t 时刻飞机的滑行距离为 x(t)，速度为v(t)根据牛顿第二定律，得 由以上二式得 积分得 由于 v(0)=v0，x(0)=0 ，故得 从而当 v(t)0 时 所
25、以，飞机滑行的最长距离为 105 km【知识模块】 常微分方程27 【正确答案】 将 y，y“代入原方程，得 其特征方程为2+1=0解得 =i，于是此方程的通解为 y=C1cost+C2sint 从而原方程的通解为由 y|x=0=1，y| x=0=2，得 C1=2，C 2=1，故所求方程的特解为【知识模块】 常微分方程28 【正确答案】 令 y=P则 原方程化为由 y(1)=1 知C1=0则 x=P2【知识模块】 常微分方程29 【正确答案】 旋转体的体积 V=0tf2(x)dx，侧面积 S= 由题设条件知 将y(0)=1 代入知 C=1，故【知识模块】 常微分方程30 【正确答案】 在方程
26、xy”一 y+2=0 中令 y=P，则 y“=P且 xP 一 P+2=0由于曲线过原点，则 C2=0 又 2=01(2x+ x2)dx，则 C1=6，曲线方程为 y=2x+3x2V=201xydx=201x(2x+3x2)dx=【知识模块】 常微分方程31 【正确答案】 曲线在(x，y)处的法线方程为 由于当一x0 时，法线过原点，所以有 由此可得， y2=一 x2+C因为点在曲线上，所以 C=2.则所求曲线为 x2+y2=2(一 x0) 当 0x 时，由 y“+y+x=0 解得y=C 1cosx+C2sinx 一 x 由于曲线是光滑的，则 y(00)=y(0+0)， y-(0)=y+(0)而
27、 y(00)=,y(0+0)=C 1，则 C1= y -(0)=0，y +(0)=C2 一 1。则 C2=1【知识模块】 常微分方程32 【正确答案】 (1+t)“(t)一 (t)=3(1+t)2 设 u=(t)，则有由 u| t=1=(1)=6，知 C1=0，于是 (t)=3t(1+t)【知识模块】 常微分方程33 【正确答案】 由于 y=tan即 =arctany所以 于是有即 y“=y(1+y 2) 令 y=p，则 y”=p，代入式得 p=p(1+p 2)分离变量得 由题意 y(0)=1，即当x=0 时 p=1，代入 式得 于是有【知识模块】 常微分方程34 【正确答案】 (I)联立 得
28、 f(x)一 3f(x)=一 2ex，因此 f(x)=e3dx(一 2ex)e-3dxdx+C)=ex+Ce3x 代入 f“(x)+f(x)=2ex，得 C=0，所以 f(x)=e x当 x0 时，y“0；当 x0 时，y“ 0，又 y(0)=0，所以曲线的拐点为(0，0)【知识模块】 常微分方程35 【正确答案】 令 excosy=u，则 将以上两个式子代入 =(4z+excosy)e2x 得 f“(u)=4f(u)+u 即 f“(u) 一 4f(u)=u 以上方程对应的齐次方程的特征方程为 r2 一 4=0，特征根为 r=2，齐次方程的通解为 f(u)=C1e2u+C2e-2u 设非齐次方
29、程的特解为 f*=au+b，代入非齐次方程得则原方程的通解为 f(u)=C1e2u+C2e-2u- 由 f(0)=0，f(0)=0 得则 f(u)= (e2ue-2u 一 4u)【知识模块】 常微分方程36 【正确答案】 设 t 时刻物体的温度为 T(t)()，由题设知 解该方程得 T(f)=20+Ce kt 又 T(20)=120，则 C=100，T(t)=20+100e ktT(30)=30，则代入 T(t0)=21，得 t0=60，则，还需要 30 分钟物体温度降至21【知识模块】 常微分方程37 【正确答案】 将 y2(x)=u(x)ex 代入原方程并整理得 (2x 一 1)u“+(2
30、x 一 3)u=0令u(x)=z，则 (2x 一 1)z+(2x 一 3)z=0由 u(一 1)=e，u(0)=一 1，得 所以 u(x)=一(2x+1)e -x所以原微分方程的通解为 y=C 1ex 一C2(2x+1)【知识模块】 常微分方程38 【正确答案】 曲线 l:y=y(z)在点 P(x，y)的切线方程为 Yy=y(Xx)令 X=0得 YP=y-xy曲线 l：y=y(x)在点 P(x,y)的法线方程为 y(Yy)=一 X+x令 Y=0得 XP=x+yy由题设知 x+yy=y 一 xy，整理得因为曲线 l 过点(1 ，0)，所以 C=0，于是曲线 l 上点的坐标 (x，y)满足的方程为【知识模块】 常微分方程39 【正确答案】 (1)令 u=xt，则 0xtf(x-t)dt=0x(x-u)f(u)du=x0xf(u)du-0xuf(u)du 由题设知 0xf(t)dt+x0xf(u)du-0xuf(u)du=ax2对上式两端求导得 f(x)+0xf(u)du=2ax 所以f(x)可导，f(0)=0，且 f(x)+f(x)=2a 于是， f(x)=e -x(C+2aexdx)=Ce-x+2a 由 f(0)=0，得 C=-2a，从而 f(x)=2a(1 一 e-x)(2) 012(1-e-x)dx=【知识模块】 常微分方程
