1、考研数学二（常微分方程）模拟试卷 11 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 方程 ysinylny，满足条件 y( )e 的特解是（A）（B） esin（C）（D）2 设 C，C 1， C2，C 3 是任意常数，则以下函数可以看作某个二阶微分方程的通解的是（A）yC 12C 2C 3（B） 2y 2C（C） yln(C 1)ln(C 1sin)（D）yC 1sin2C 2cos2二、填空题3 下列微分方程中(填序号)_是线性微分方程4 已知(1)yyy0 的一个解是 y1，又知 e ( 21)，y* 21 均是( 1)y yy(1) 2 的解，则此方程
2、的通解是y_5 已知方程 0 的两个解 y1e ，y 2，则该方程满足初值 y(0)1，y(0) 2 的解 y_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 求下列方程的通解： ()(2)dyy2(2) 3d； ( )y 2d(y 2 )dy； ( )(3y7)d(7y3)dy 07 求下列方程的通解或特解：8 求方程 y2myn 2y0 的通解；又设 yy()是满足初始条件 y(0)a，y(0)b 的特解，求 0 y()d，其中，mn0，a，b 为常数9 设 yy()在0，) 内可导，且在 0 处的增量 yy( )y()满足y(1y) ，其中当0 时 是 的等价无穷小，又 y(0)2
3、，求y()10 设函数 f()连续，且 0f(t)dtsin 2 0tf(1)dt求 f()11 设有微分方程 y2y()，其中 () ，试求：在(，)内的连续函数 yy()，使之在( ，1)和(1 ，)内都满足所给方程，且满足条件 y(0)012 设函数 f(t)在0，)上连续，且满足方程 f(t)试求 f(t)13 已知 y1*e e 2，y 2*e e ，y 3*e e 2e 是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程14 求解初值问题15 设 P()在(a，b) 连续，p()d 表示 p()的某个原函数，C 为任意常数，证明：y 是方程 yP()y0 的所有解16
4、设连接两点 A(0，1) ， B(1，0)的一条凸弧，P(，y)为凸弧 AB 上的任意点(图65)已知凸弧与弦 AP 之间的面积为 3，求此凸弧的方程17 在0 ，)上给定曲线 yy() 0，y(0) 2，y()有连续导数已知0，0，上一段绕 轴旋转所得侧面积等于该段旋转体的体积求曲线yy()的方程18 设 f()为连续正值函数，0，)，若平面区域 Rt(，y)0t，0yf()(t0)的形心纵坐标等于曲线 yf()在0，t上对应的曲边梯形面积与 之和，求f()19 设曲线 yy()上 点(，y)处的切线垂直于此点与原点的连线，求曲线 yy()的方程20 求证：曲率半径为常数 a 的曲线是圆21
5、 设有一弹性轻绳(即重量忽略不计)，上端固定，下端悬挂一质量为 3 克的物体，又已知此绳受一克重量的外力作用时伸长 厘米，如果物体在绳子拉直但并未伸长时放下，问此物体向下运动到什么地方又开始上升?22 5kg 肥皂溶于 300L 水中后，以每分钟 10L 的速度向内注入清水，同时向外抽出混合均匀的肥皂水，问何时余下的肥皂水中只有 1kg 肥皂23 求微分方程 (y21)dy( 21)dy0 的通解24 求解下列方程： () 求方程 yylny的通解； ()求 yy2(y 2y) 满足初始条件 y(0) 1，y(0) 2 的特解考研数学二（常微分方程）模拟试卷 11 答案与解析一、选择题下列每题
6、给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 这是变量分离的方程因此选 D【知识模块】 常微分方程2 【正确答案】 D【知识模块】 常微分方程二、填空题3 【正确答案】 、 【知识模块】 常微分方程4 【正确答案】 yC 1C 2e 21，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程5 【正确答案】 ye 【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 【正确答案】 () 原方程改写成 2(2) 2(一阶线性方程) ，两边同乘 2( 2) 积分得(2) 2C通解 y( 2) 3C(2)，其中 C 为任意常数 ()原方程改写
7、成 (以 y 为自变量，是一阶线性的) 两边同乘 e y积分得 y yC 通解 ，其中 C 为任意常数 ()原方程改写成分离变量得积分得通解为(y) 2(y)5C，其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程7 【正确答案】 () 相应齐次方程的特征方程 240，特征根 2零不是特征根，方程有特解 y*a 2bc，代入方程得 2a4(a 2bc)4 2 4a4， b0，2a 4c0 a，c 得 y* 2 则通解为yC 1e2C 2e2 2 由初值 y(0)C 1C 2 ，y(0)2C 1 2C2 2， 因此得特解 y()相应齐次方程的特征方程 2320，特征根11， 22由于非齐次项是 e c
8、os；1i 不是特征根，所以设非齐次方程有特解 y*e (acosbsin)代入原方程比较等式两端 e cos与 e sin的系数，可确定出 ，所以非齐次方程的通解为yC 1e C 2e2 e (sincos) ，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程8 【正确答案】 特征方程 22mn 20，特征根 m ，通解为 y 注意：指数均为负的将方程两边积分【知识模块】 常微分方程9 【正确答案】 由题设等式可得(1 y) ，令0 即得1从而 yy()是如下一阶线性微分方程初值问题的特解：方程两边乘 ，两边积分得 Cln(4) yC(4) (4)ln(4) 令 0，y2可确定常数 C
9、 2ln2，故 y( 2ln2)(4)(4)ln(4)(4) 2ln2ln(4) 【知识模块】 常微分方程10 【正确答案】 将代入原方程即得 0f(t)dtsin2 0f(u)du 0uf(u)du 由 f()连续可见以上方程中各项均可导将方程两端对 求导即得 f() 2sincos 0f(u)dusin2 0f(u)du (在中令 0，得 00，不必另加条件与同解) 在式中令 0 可得 f(0)0，由式还可知 f()可导，于是将它两端对 求导，又得 f()2cos2f() 故求 yf() 等价于求解初值问题 的特解解之可得 yf() (e2sin2cos2) 【知识模块】 常微分方程11
10、【正确答案】 当 1 时，方程 y2y2 的两边同乘 e-2得(ye -2)2e -2，积分得通解 yC 1e21； 而当 1 时，方程 y2y0 的通解为 yC 2e2 为保持其在 1 处的连续性，应使 C1e21C 2e2，即 C2C 1e -2，这说明方程的通解为再根据初始条件，即得 C11，即所求特解为 y【知识模块】 常微分方程12 【正确答案】 先用极坐标变换将二重积分转化为定积分代入原方程得 f(t) 两边对 t 求导得 f(t)8t 2.f(1).2t.2，即 f(t) 8tf(t) 8t 在前一个方程中令 t0得 f(0)1 求 f(t)转化为求解初值问题这是一阶线性方程，两
11、边同乘得 8t 积分得 f(t)4t 2C 由f(0)1 得 C 1因此 f(t)(4t 21) 【知识模块】 常微分方程13 【正确答案】 易求得该微分方程相应的齐次方程的两个特解 y1*y 3*e ，y 2*y 3*2e e 2 进一步又可得该齐次方程的两个特解是 y1e ，y 22(y 1*y 3*)(y 2*y 3*)e 2， 它们是线性无关的为简单起见，我们又可得该非齐次方程的另一个特解 y 4*y 1*y 1e 因此该非齐次方程的通解是yC 1e C 2e2e ，其中 C1，C 2 为任意常数 由通解结构易知，该非齐次方程是：二阶线性常系数方程 ypyqyf() 它的相应特征根是1
12、1， 22，于是特征方程是 (1)(2)=0，即 2 20 因此方程为yy2yf() 再将特解 y4*e 代入得 (2)e (1)e 2e f() ，即f()(1 2)e 因此方程为 yy2y(12)e 【知识模块】 常微分方程14 【正确答案】 这是可降价类型的(方程不显含 )令 p ，并以 y 为自变量变换原方程 代入原方程得p2y -2C 1 由初值得C1 1， 积分得最后得y (02)【知识模块】 常微分方程15 【正确答案】 因为对任意常数 C，yCe p()d是原方程的解，又设 y 是原方程的任意一个解，则 ye p()de p()dyp()y0 即存在常数 C，使得 yep()d
13、C，即 yCe p()d 【知识模块】 常微分方程16 【正确答案】 设凸弧的方程为 yf()，因梯形 OAPC 的面积为 1f()，故3 0f(t)dt 1f() 两边对 求导，则得 yf()所满足的微分方程为 yy6 21 其通解为y C 621 对任意常数 C，总有y(0)1，即此曲线族均通过点 A(0，1) 又根据题设，此曲线过点(1，0)，即 y(1)0，由此即得 C5，即所求曲线为 y56 21【知识模块】 常微分方程17 【正确答案】 () 列方程，定初值 在0， 上侧面积与体积分别为 20ydt， 0y2dt按题意 2 0y(t) dt 0y2(t)dt， y(0)2 ()转化
14、将式两边求导得 2y() y 2() (在中令0，得 0 0，不必另附加条件 )化简得()解初值问题式分离变量得 积分得为解出 y，两边乘 将， 相加得 y【知识模块】 常微分方程18 【正确答案】 () 列方程按平面图形的形心公式，形心的纵坐标为 0tf2()d 0tf()d 而相应的曲边梯形的面积为 0tf()d见图 62按题意即 0tf2()d2 0tf()d2 0tf()d(0) () 转化将方程 两边求导，则 方程 f2(t)4f(t) 0tf()df(t) f(t)4f()d1 (中令 0，等式自然成立，不必另加条件) f()实质上是可导的，再将方程两边求导，并在 中令 t0 得
15、方程()求解等价的微分方程的初值问题这是一阶线性齐次方程的初值问题，两边同乘 (t)e 4dt e-4t 得f(t)e-4t0，并由初条件得 f(t)e 4t，即 f()e 4【知识模块】 常微分方程19 【正确答案】 () 列方程曲线 yy()在 点(，y)处的切线斜率为 ，与原点连线的斜率为 ，按题意 1 ()解方程将方程改写为ydyd0，即 d(2y 2)0 于是通解为 y C(C0 为 常数)【知识模块】 常微分方程20 【正确答案】 由曲率半径公式知曲线 yyf()满足 解方程 积分得由和 式得( C 1)2(yC 2)2a 2，即曲线是圆周 若 y ，则同样可证【知识模块】 常微分
16、方程21 【正确答案】 () 弹性恢复力 fks，由条件知gk. k24g f24gs，g 为重力加速度重力 mg3g ()加速度表示由题目的需要，加速度 a ()列方程与初始条件由牛顿第二定律得 3 v3g24gs 初始条件：t0 时 s(0)0， v(s) s0 0 ()求解初值问题 分离变量得 vdv(g8gs)ds gs4gs 2c 由 v(0)0gs4gs 2 ()当物体开始向下运动到它再开始向上运动时，此时 v0解 gs4gs 20 得 s0，s 因此，s 为所求【知识模块】 常微分方程22 【正确答案】 设 t 时刻水中含的肥皂量为 Q(t)kg任取t ，t dt ，这段时间内肥
17、皂含量的减少量：抽出水的肥皂含量，即解此初值问题得 Q(t)5由 1 ln5 因此，当 tT30ln5 时肥皂水中只有 1kg 肥皂【知识模块】 常微分方程23 【正确答案】 这是一个变量可分离的方程，分离变量后原方程化为两边同时积分，可求得其通解为lny 21ln 21C即 ( 21)(y 21) C，其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程24 【正确答案】 () 此方程不显含 y令 py，则原方程化为 pplnp 当 p1时，可改写为 ，其通解为 lnlnplnC，即 lnpC 1，即y 这样，原方程的通解即为 y C 2，其中 C10，C 2 为任意常数 当 P1 时，也可以得到一族解 yC 3 ()此方程不显含 令 py，且以 y 为自变量， ，原方程可化为 yp 2(p 2p) 当 p0时，可改写为 y 2(p1) 或 ，解为 p1C 1y2 再利用 Py，以及初始条件，可推出常数 C11从而上述方程为变量可分离的方程 y1y 2 其通解为 ytan( C2) 再一次利用初始条件 y(0)1，即得 C2 所以满足初始条件的特解为 ytan( )【知识模块】 常微分方程
