1、考研数学二（常微分方程）模拟试卷 9 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 y(x)是微分方程 y+(x-1)y+x2y=ex 满足初始条件 y(0)=0，y(0)=1 的解，则( )（A）等于 1（B）等于 2（C）等于 0（D）不存在2 二阶常系数非齐次线性微分方程 y-2y-3y=(2x+1)e-x 的特解形式为( )（A）(ax+b)e x（B） x2e-x（C） x2(ax+b)e-x（D）x(ax+b)e -x3 设 1(x)， 2(x)， 3(x)为二阶非齐次线性方程 y+a1(x)y+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，则该方程的
2、通解为( )（A）C 11(x)+2(x)+C23(x)（B） C11(x)-2(x)+C23(x)（C） C11(x)+2(x)+C21(x)-3(x)（D）C 11(x)+C22(x)+C33(x)，其中 C1+C2+C3=1二、填空题4 设 y=y(z)满足y= =_5 微分方程 y-xe-y+ =0 的通解为 _6 微分方程 yy-2(y)2=0 的通解为_7 微分方程 xy= (x0)的通解为_8 以 y=C1ex+ex(C2cosx+C3sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为 _9 设 y(x)为微分方程 y-4y+4y=0 满足初始条件 y(0)=1，y(0)=2 的特解
3、，则=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 设 f(x)是连续函数10 求初值问题 ，的解，其中 a0；11 若f(x)k，证明：当 x0 时，有y(x) (eax-1)12 设有微分方程 y-2y=(c)，其中 (x)= ，在(- ，+)求连续函数 y(x)，使其在(-，1)及(1，+)内都满足所给的方程，且满足条件 y(0)=013 设 f(x)二阶连续可导，f(0)=0，f(0)=1，且xy(x+y)-f(x)ydx+f(x)+x 2ydy=0 为全微分方程，求 f(x)及该全微分方程的通解14 利用变换 x=arctant 将方程 化为 y关于 t 的方程，并求原方程
4、的通解15 设 f(x)为偶函数，且满足 f(x)+2f(x)- f(t-x)dt=-3x+2，求 f(x)16 设二阶常系数线性微分方程，y+ay+by=ce x 有特解 y=e2x+(1+x)ex，确定常数a，b，c，并求该方程的通解17 设 ，求f(x)17 设函数 f(x)在0，+)内可导，f(0)=1，且 f(x)+f(x)-18 求 f(x)；19 证明：当 x0 时，e -xf(x)120 设 y=y(x)二阶可导，且 y0，x=x(y) 是 y=y(x)的反函数(1) 将 x=x(y)所满足的微分方程 变换为 y=y(x)所满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件
5、y(0)=0，y(0)= 的解21 设函数 f(x，y)可微，求 f(x，y)21 设函数 f(x)(x0)可微，且 f(x)0将曲线 y=f(x)，x=1，x=a(a 1)及 x 轴所围成平面图形绕 x 轴旋转一周得旋转体体积为 ，求：22 f(x)；23 f(x)的极值23 设函数 f(x)满足 xf(x)-2f(x)=-x，且由曲线 y=f(x)，x=1 及 x 轴(x0)所围成的平面图形为 D若 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体体积最小，求：24 曲线 y=f(x)；25 曲线在原点处的切线与曲线及直线 x=1 所围成的平面图形的面积26 位于上半平面的上凹曲线 y=y(x)过点(0，
6、2)，在该点处的切线水平，曲线上任一点(x， y)处的曲率与 及 1+y2 之积成反比，比例系数为 k= ，求 y=y(x)27 一条曲线经过点(2，0)，且在切点与 y 轴之间的切线长为 2，求该曲线28 设曲线 L1 与 L2 皆过点(1，1) ，曲线 L1 在点(x，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为 2，曲线 L2 在点(x ， y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为 2，求两曲线所围成区域的面积29 用变量代换 x=sint 将方程 (1-x2) 化为 y 关于 t 的方程，并求微分方程的通解30 用变量代换 x=lnt 将方程 化为 y 关于 t 的方程，并求原方程的通解31 设 y=
7、y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为 ，又此曲线上的点(0，1) 处的切线方程为 y=x+1，求该曲线方程，并求函数 y(x)的极值31 飞机以匀速 v 沿 y 轴正向飞行，当飞机行至 O 时被发现，随即从 x 轴上(x 0，0)处发射一枚导弹向飞机飞去(x 00)，若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为2v32 求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件；33 导弹运行方程34 细菌的增长率与总数成正比如果培养的细菌总数在 24h 内由 100 增长到400，求前 12h 后的细菌总数35 某湖泊水量为 V，每年排人湖泊中内含污染物 A 的污水量为 ，流入湖泊内不含 A
8、 的水量为 ，流出湖的水量为 设 1999 年底湖中 A 的含量为 5m0，超过国家规定指标为了治理污染，从 2000 年初开始，限定排人湖中含 A 污水的浓度不超过 问至多经过多少年，湖中污染物 A 的含量降到 m0 以内(设湖中 A 的浓度是均匀的)?考研数学二（常微分方程）模拟试卷 9 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 微分方程 y+(x-1)y+x2y=ex 中，令 x=0，则 y(0)=2，于是，y(0)=1，选(A) 【知识模块】 常微分方程2 【正确答案】 D【试题解析】 方程 y-2y-3y=(2x+1)e
9、-x 的特征方程为 2-2-3=0，特征值为 1=-1， 2=3，故方程 y-2y-3y=(2x+1)e-x 的特解形式为 x(ax+b)e-x，选(D)【知识模块】 常微分方程3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 1(x)， 2(x)， 3(x)为方程 y+a1(x)y+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解， 所以 1(x)-3(x)， 2(x)-3(x)为方程 y+a1(x)y+a2(x)y=0 的两个线性无关解，于是方程 y+a1(x)y+a2(x)y=f(x)的通解为 C 11(x)-3(x)+C22(x)-3(x)+3(x) 即C11(x)+C22(x)+C33(x)，其中 C3
10、=1-C1-C2 或 C1+C2+C3=1，选(D)【知识模块】 常微分方程二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 由 x+o(x)得函数 y=y(x)可微且 y= ，积分得y(x)= ，因为 y(1)=1，所以 C=0，【知识模块】 常微分方程5 【正确答案】 【试题解析】 由 令z=ey，则 所以原方程的通解为 ey=【知识模块】 常微分方程6 【正确答案】 【试题解析】 令 y=p，得 y= ，代入原方程得当 p=0 时，yy=C；【知识模块】 常微分方程7 【正确答案】 lnx+C【试题解析】 【知识模块】 常微分方程8 【正确答案】 y-3y“+4y-2y=0【试题解析】 特征值为
11、 1=1， 2,3=1i，特征方程为(-1)(-1+i)(-1-i)=0，即 3-2+4-2=0，所求方程为 y-3y“+4y-2y=0【知识模块】 常微分方程9 【正确答案】 【试题解析】 y-4y+4y=0 的通解为 y=(C1+C2x)e2x，由初始条件 y(0)=1，y(0)=2得 C1=1，C 2=0，则 y=e2x，于是【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 常微分方程10 【正确答案】 y+ay=f(x)的通解为 y= 由 y(0)=0 得 C=0，所以 y=【知识模块】 常微分方程11 【正确答案】 当 x0 时，【知识模块】 常
12、微分方程12 【正确答案】 当 x1 时，y-2y=2 的通解为 y=C1e2x-1，由 y(0)=0 得C1=1，y=e 2x-1；当 x1 时，y-2y=0 的通解为 y=C2e2x，根据给定的条件，y(1+0)=C2e2=y(1-0)=e2-1，解得 C2=1-e-2，y=(1-e -2)e2x，补充定义 y(1)=e2-1，则得在(-，+)内连续且满足微分方程的函数【知识模块】 常微分方程13 【正确答案】 令 P(x，y)=xy(x+y)-f(x)y ，Q(x，y)=f(x)+x 2y，因为xy(x+y)-f(x)ydx+f(x)+x2ydy=0 为全微分方程，所以 ，即 f(x)+
13、f(x)=x2，解得 f(x)=C1cosx+C2sinx+x2-2，由 f(0)=0，f(0)=1 得 C1=2，C 2=1，所以 f(x)=2cosx+sinx+x2-2原方程为xy 2-(2cosx+sinx)y+2y-dx+(-2sinx+cosx+2x+z2y)dy=0，整理得(xy2dx+x2ydy)+2(ydx+xdy)-2(ycosxdx+sinxdy)+(-ysinxdx+cosxdy)=0，即原方程的通解为 x2y2+2xy-2ysinx+ycosx=C【知识模块】 常微分方程14 【正确答案】 的特征方程为 2+2+1=0，特征值为 1=2=-1，则的通解为 y=(C1+
14、C2t)e-t+t-2，故原方程通解为 y=(C1+C2tanx)e-tanx+tanx-2【知识模块】 常微分方程15 【正确答案】 则有 f(x)+2f(x)- =-3x+2，因为 f(x)为偶函数，所以 f(x)是奇函数，于是 f(0)=0，代入上式得 f(0)=1将 f(x)+2f(x)- =-3x+2 两边对 x 求导数得 f(x)+2f(x)-3f(x)=-3， 其通解为 f(x)=C1ex+C2e-3x+1，将初始条件代人得 f(x)=1【知识模块】 常微分方程16 【正确答案】 将 y=e2x+(1+x)ex 代入原方程得(4+2n+b)e 2x+(3+2a+b)ex+(1+a
15、+b)xex=cex，则有 解得 a=-3，b=2，c=-1，原方程为 y-3y+2y=-ex原方程的特征方程为 2-3+20，特征值为 1=1， 2=2，则 y-3y+2y=0 的通解为 y=C1ex+C2e2x，于是原方程的通解为 y=C1ex+C2e2x+e2x+(1+x)ex【知识模块】 常微分方程17 【正确答案】 由 =2 得 f(1)=0，f(1)=2 ，令 ，则解得 rf(r)=C1，由 f(1)=2 得 C1=2，于是 f(r)= f(r)=lnr2+C2，由 f(1)=0 得 C2=0，所以 f(x)=lnx2【知识模块】 常微分方程【知识模块】 常微分方程18 【正确答案
16、】 (x+1)f(x)+(x+1)f(x)- =0，两边求导数，得(x+1)f(x)=-(x+2)f(x) 再由 f(0)=1，f(0)+f(0)-0，得 f(0)=-1，所以 C=-1，于是f(x)=【知识模块】 常微分方程19 【正确答案】 当 x0 时，因为 f(x)0 且 f(0)=1，所以 f(x)f(0)=1令 g(x)=f(x)-e-x，g(0)=0，g(x)=f(x)+e -x= 0，由【知识模块】 常微分方程20 【正确答案】 代入原方程得 y-y=sinx，特征方程为 r2-1=0，特征根为 r1,2=1，因为 i 不是特征值，所以设特解为 y*=acosx+bsinx，代
17、入方程得 a=0，b= ，于是方程的通解为 y=C1ex+C2e-x sinx，由初始条件得 C1=1，C 2=-1，满足初始条件的特解为 y=ex-e-x-【知识模块】 常微分方程21 【正确答案】 由，解得 f(0， y)=siny+C由 ，得 C=0，即 f(0，y)=siny又由 =-f(x，y)，得 lnf(x，y)=-x+ln(y) ，即 f(x，y)=(y)e -x，由 f(0，y)=siny，得 (y)=siny,所以f(x，y)=e -xsiny【知识模块】 常微分方程【知识模块】 常微分方程22 【正确答案】 由题设知， a2f(a)-f(1)，两边对 a 求导，得3f2(
18、a)=2af(a)+a2f(a)【知识模块】 常微分方程23 【正确答案】 因为 f(x)=【知识模块】 常微分方程【知识模块】 常微分方程24 【正确答案】 由 xf(x)-2f(x)=-x f(x)=x+cx2设平面图形 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V，则【知识模块】 常微分方程25 【正确答案】 f(x)= 在原点处的切线方程为 y=x，则【知识模块】 常微分方程26 【正确答案】 根据题意得令 y=p，则有因为 p(2)=0，所以 C1=0，故y=p= 进一步解得 因为 y(0)=2，所以 C2=0，故曲线方程为【知识模块】 常微分方程27 【正确答案】 曲线在点(x，y
19、)处的切线方程为 Y-y=y(X-x)，令 X=0，则 Y=y-xy，切线与 y 轴的交点为(0，y-xy) ，由题意得 x2+x2y2=4，解得因为曲线经过点(2，0) ，所以 C=0，故曲线为【知识模块】 常微分方程28 【正确答案】 对曲线 L1，由题意得 =2，解得 t=x(2x+C1)，因为曲线 L1过点(1 ，1) ，所以 C1=-1，故 L1：y=2x 2-x对曲线 L2，由题意得因为曲线 L2 过点 (1，1)，所以 C2=-1，故 L2：y=2-由 2x2-x=2- 得两条曲线的交点为 ( ，0)及(1，1)，故两条曲线所围成区域的面积为【知识模块】 常微分方程29 【正确答
20、案】 故原方程的通解为 y=C1e-2arcsinx+C2e2arcsinx【知识模块】 常微分方程30 【正确答案】 故原方程的通解为 y=C1cosex+C2sinex【知识模块】 常微分方程31 【正确答案】 因为曲线是上凸的，所以 y0，由题设得因为曲线 y=y(x)在点(0， 1)处的切线方程为 y=x+1，所以 p x=0=1，从而 y=因为曲线过点(0，1)，所以 C2=1+所求曲线为【知识模块】 常微分方程【知识模块】 常微分方程32 【正确答案】 设 t 时刻导弹的位置为 M(x，y)，根据题意得所以导弹运行轨迹满足的微分方程及初始条件为【知识模块】 常微分方程33 【正确答案】 令【知识模块】 常微分方程34 【正确答案】 设 t 时刻细菌总数为 S，则有 =kS，S(0)=100，S(24)=400，【知识模块】 常微分方程35 【正确答案】 设从 2000 年初开始，第年湖中污染物 A 的总量为 m，则浓度为 ，任取时间元素t，t+dt，排人湖中污染物 A 的含量为 ，流出湖的污染物 A 的含量为 ，则在此时间元素内污染物 A 的改变量为，令 m=m0，得 t=6ln3，即至多经过 7 年，湖中污染物 A 的含量不超过 m0【知识模块】 常微分方程
