1、考研数学二（矩阵、向量）历年真题试卷汇编 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2012 年试题，一) 设 A 为 3 阶矩阵，P 为 3 阶可逆矩阵，且 若P=(1， 2， 3)，Q=( 1+2， 2， 3)，则 Q-1AQ=( )（A）（B）（C）（D）2 (2011 年试题，一) 设 A 为三阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B再交换曰的第 2 行与第 3 行得单位矩阵，记 则 A=( )（A）P 1P2（B） P1-1P2（C） P2P1（D）P 2P1-13 (2009 年试题，一) 设 A， P 均为三阶矩阵，PT 为
2、P 的转置矩阵，且 PTAP=若 P=(1， 2， 3)，Q=( 1+2,2,3)，则 QTAQ 为( )（A）（B）（C）（D）3 (2006 年试题，二) 设 A 为三阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B，再将 B 的第 1 列的一 1 倍加到第 2 列得 C 记 则( )（A）C=P -1AP（B） C=PAP-1(c)C=PTAP（C） C=PAPT（D）初等矩阵的计算4 (2005 年试题，二) 设 A 为 n(n2)阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵B，A *，B *分别为 A，B 的伴随矩阵，则( )（A）交换 A*的第 1 列与第 2 列得 B*（
3、B）交换 A*的第 1 行与第 2 行得 B*（C）交换 A*的第 1 列与第 2 列得一 B*（D）交换 A*的第 1 行与第 2 行得一 B*5 (2004 年试题，二) 设 A 是三阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B，再把 B的第 2 列加到第 3 列得 C，则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为( )（A）（B）（C）（D）6 (2009 年试题，一) 设 A， B 均为二阶矩阵，A *，B *分别为 A，B 的伴随矩阵若A=2，B =3 ，则分块矩阵 的伴随矩阵为( )（A）（B）（C）（D）7 (1998 年试题，二) 设 A 是任一 n(n3)阶方阵，A *是其伴随
4、矩阵，又 k 为常数，且k0，1，则必有(kA) *=( )（A）kA *（B） kn-1A*（C） knA*（D）k -1A*8 (2008 年试题，一) 设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵若 A3=O，则( ) （A）E 一 A 不可逆，E+A 也不可逆（B） E 一 A 不可逆，E+A 可逆（C） E 一 A 可逆，E+A 也可逆（D）E 一 A 可逆，E+A 不可逆9 (2010 年试题，7) 设向量组 I1， 2， 3 可由向量组： 1,2, s 线性表示，下列命题正确的是( ) （A）若向量组 I 线性无关，则 rs（B）若向量组 I 线性相关，则 rs（C）若向量
5、组线性无关，则 rs（D）若向量组线性相关，则 rs10 (2012 年试题，一) 设 均为任意常数，则下列向量组线性相关的是( )（A） 1， 2， 3（B） 1， 2， 4（C） 1， 3， 4（D） 2， 3， 411 (2007 年试题，一) 设向量组 1， 2， 3 线性无关，则下列向量组线性相关的是( )（A） 1 一 2， 2 一 3， 3 一 1（B） 1+2， 2+3， 3+1（C） 1 一 22， 223,3 一 21（D） 1+22， 2+23， 3+21,12 (2006 年试题，二) 设 1， 2， s 均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，下列选项正确的是( )
6、（A）若 1， 2， s， s 线性相关，则 A1，A 2，Aa s 线性相关（B）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2，A s 线性无关（C）若 1， 2， s， s 线性无关，则 A1，A 2， ，A s 线性相关（D）若 1， 2， s， s 线性无关，则 A1，A 2，A s 线性无关13 (2005 年试题，二) 设 1， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1， 2，则 1，A( 1+2)线性无关的充分必要条件是( )（A） 10（B） 20（C） 1=0（D） 2=014 (2004 年试题，二) 设 A，B 为满足AB=O 的任意两个非零矩阵，则
7、必有( )（A）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（B） A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关（C） A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（D）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关15 (2003 年试题，二) 设向量组 I： 1， 2 s，可由向量组： 12 s，线性表示，则( ) （A）当 rs 时，向量组必线性相关（C）当 rs 时，向量组 I 必线性相关16 (2002 年试题，二) 设向量组 1， 2， 3 线性无关，向量 1 可由 1， 2， 3 线性表示，而向量 2 不能由 1， 2， 3 线性表示，则对于任意常数尼，必有( )（A） 1
8、， 2， 3，k 1+2 线性无关（B） 1， 2， 3，k 1+2 线性相关（C） 1， 2， 3， 1+k2 线性无关（D） 1， 2， 3， 1+k2 线性相关二、填空题17 (2000 年试题，一) 设 E 为四阶单位矩阵，且 B=(E+A)-1(EA)，则(E+B) -1=_.18 (2003 年试题，一) 设 为三维列向量， T 是 的转置，若则 T=_19 (2012 年试题，二) 设 A 为 3 阶矩阵，A=3 ， A*为 A 的伴随矩阵，若交换 A的第 1 行与第 2 行得矩阵 B，则BA *_20 (2007 年试题，二) 设矩阵 则 A3 的秩为 _21 (2008 年试
9、题，23) 设 A 为三阶矩阵 1， 2 为 A 的分别属于特征值一 1，1 的特征向量，向量 3 满足 A3=2+3，(I) 证明 1， 2， 3 线性无关；()令P=(1， 2， 3)，求 -1PAP22 求 的值；23 将 12， 3 用 1， 2， 3 线性表示三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 (2002 年试题，十一) 已知 A，B 为三阶矩阵，且满足 2A-1B=B-4E，其中 E 是三阶单位矩阵(1)证明：矩阵 A-2E 可逆；(2)若 求矩阵 A25 (2001 年试题，十一) 已知矩阵 且矩阵 X 满足AXA+BXB=AXB+BXA+E，其中 E 是三阶
10、单位阵，求 X.26 (1999 年试题，十一) 设矩阵 矩阵 X 满足 A.X=A-1+2X，其中A*是 A 的伴随矩阵，求矩阵 X27 (1998 年试题，十二) 设(2E 一 C-1B)AT=C-1，其中 E 是四阶单位矩阵，A T 是四阶矩阵 A 的转置矩阵， 求 A28 (1997 年试题，三，(6) 已知 且 A2 一 AB=I，其中，是三阶单位矩阵,求矩阵 B28 (2011 年试题，三) 设向量组 1=(1，0，1) T， 2=(0，1，1) T， 3=(1，3，5) T，不能由向量组 1=(1，1，1) T， 2=(1，2，3) T， 3=(3，4，) T 线性表示29 (2
11、005 年试题，三(22) 确定常数 ，使向量组 1=(1，1，) T， 2=(1， 2，1)T， 3=(，1，1) T 可由向量组 1=(1，1，) T， 2=(一 2，,4) T， 3=(一 2， ，) T 线性表示，但是向量组 12， 3 不能由向量组 1， 2， 3 线性表示30 (2000 年试题，十三) 已知向量组 1= 与向量组具有相同的秩，且 3 可由 1， 2， 3 线性表示，求a，b 的值31 (1998 年试题，十三) 已知 1=(1，4，0，2) T， 2=(2，7，1，3) T， 3=(0，1，一1，) T，=(3，10，6，4) T，问： (1)a ，b 取何值时，
12、 不能由 1， 2， 3 线性表示?(2)a，b 取何值时， 可由 1， 2， 3 线性表示?并写出此表示式考研数学二（矩阵、向量）历年真题试卷汇编 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由题设 Q=(1+2， 2， 3)=(1,2,3) 因此 Q-1AQ=【知识模块】 矩阵2 【正确答案】 D【试题解析】 显然 P2P1=E，A=P 2-1P1-1，因为 P2-1=P2，所以 A=P2P1-1，选 D【知识模块】 矩阵3 【正确答案】 A【试题解析】 因为 其中，所以 故正确答案为A【知识模块】 矩阵3 【试题解析】 依
13、题意，用初等矩阵描述有 所以 已知 所以 C=PAP-1故选 B【知识模块】 矩阵4 【正确答案】 C【试题解析】 设 A 为三阶矩阵，根据题意有 于是因为A=一B，所以所以选 C评注涉及矩阵 A 的伴随矩阵 A*的问题，通常会用到公式 AA*=A*A=AB，并且当 A 可逆时，A *AA -1，(AB) *=B*A*【知识模块】 矩阵5 【正确答案】 D【试题解析】 由题设，由 A 到 B 的过程相当于 A 右乘初等矩阵 B 到 C的过程相当于 B 右乘初等矩阵 所以,选 D【知识模块】 矩阵6 【正确答案】 B【试题解析】 若矩阵 C 可逆，则 C*=CC -1因为 A=2，B=3 ，所以
14、分块矩阵 的行列式 从而此分块矩阵可逆于是故正确答案为 B【知识模块】 矩阵7 【正确答案】 B【试题解析】 题设未给出 A-1 存在的条件，所以公式 A*=AA -1 不可直接应用，但由题意知结论对 A 可逆应该也成立，即假设 A 可逆，则(kA) *=kA(kA) -1=kn-1AA -1=k-1A*，从而知只有 B 成立题设中 k0，1 的条件是为保证正确选项的唯一性，严格的做法是由伴随矩阵的定义出发，设 A=(aij)，a ij的代数余子式为 Aij，则 A=(Aij)，令 kA=(kaij)，ka ij 的代数余子式记为 Bij,则Bij=kn-1Aij，因此(kA) *=(Bij)
15、T=(kAij)T=kn-1(Aij)T=kn-1A*，综上，选 B评注涉及到矩阵 A 的伴随矩阵 A*的问题，一般会用到公式 A*A=AA*=AE，关于伴随矩阵的结论还有A *=A n-1(n2)，(A *)*=A n-2A(n3)，(kA) *=kn-1A*(n2)【知识模块】 矩阵8 【正确答案】 C【试题解析】 由 A3=O 可得 E 一 A3=(EA)(E+A+A2)=E 和 E+A3=(E+A)(E 一A+A2)=E 显然 E 一 A 0，E+A0，所以 E 一 A 和 E+A 均可逆故应选C【知识模块】 矩阵9 【正确答案】 A【试题解析】 因为向量组 I 能由向量组线性表示，所
16、以 r(I)，()，即r(1， 2，L， r)r(1， 2，L， s)s 若向量组 I 线性无关，则 r(1， 2，L， r)=r，故 rr(1， 2，L， r)r(1， 2，L ， s)s，即有 rs故正确答案为 A【知识模块】 向量10 【正确答案】 C【试题解析】 根据题意可知，由 3+3= 而 因此 1， 2， 3 线性相关应选 C【知识模块】 向量11 【正确答案】 A【试题解析】 很显然 A 选项的向量组( 1 一 2)+(2 一 3)+(3 一 1)=0，即线性相关，故应选 A【知识模块】 向量12 【正确答案】 A【试题解析】 用秩的方法判断线性相关性因为(A 1，A 2，A
17、s)=A(1， 2， s)，所以 r(A1，A 2，A s)r(1， 2， s)又因为若1， 2， s 线性相关，则有 r(1， 2， s)1，A 2，A s)1，A 2，A s 线性相关故选 A【知识模块】 向量13 【正确答案】 B【试题解析】 根据特征值特征向量的定义，有 A(1+2)=A1+A2=11+22， 1，A( 1+2)线性无关 k11+k2A(1+2)=0，k 1，k 22 恒为0， (k1+1k2)1+2k22=0，k 1，k 2 恒为 0 所以 k1，k 2 恒为 0而齐次方程组 只有零解 所以选 B【知识模块】 向量14 【正确答案】 A【试题解析】 由题设 AB=O，
18、且 AO，BO ，则线性齐次方程组AX=O 有非零解，则 A 的列向量组线性相关；同时由 AB=O，知 BTAT=O，且 BTO，A TO，同理线性齐次方程组 BTY=0 也有非零解，因而 BT 的列向量组，也就是 B 的行向量组线性相关综上，选 A评注与 B=0 相关的两个结论(1)ABrA+rB【知识模块】 向量15 【正确答案】 D【试题解析】 由题设，由于向量组 I 可由向量组 线性表示，则必有向量组 I 的秩向量组的秩，同时向量组的秩s，因此当 sr 时，向量组 I 的秩r，则向量组 I 必线性相关，所以选 D评注本题为教材上的定理改编而成的选择题，由定理可知选 D，考生应熟记教材上
19、的定理【知识模块】 向量16 【正确答案】 A【试题解析】 由题设， 1 可由 1， 2， 3 线性表示，则 1， 2， 3， 1，线性相关，在 C 中取 k=0，则可看出 C 不正确；又由 3 不能由 1， 2， 3 线性表示且1， 2， 3 线性无关知， 1， 2， 3， 2 线性无关，在 B 中取 k=0，可看出 B 不正确；关于 A，矩阵( 1， 2， 3，k 1+2)可 1， 2， 3 通过初等列变换化为(1， 2， 3， 2)，则该矩阵秩为 4，所以 1， 2， 3，k 1+2 线性无关，所以 A正确；关于 D，同样可将矩阵( 1， 2， 3， 1+k2)化为( 1， 2， 3，k
20、 2)，当 k=0时，矩阵的秩为 3，则 1， 2， 3， 1+k2 线性相关，当 k0 时矩阵秩为 4，此时1， 2， 3， 1+k2：线性无关，所以 D 不正确，综上，选 A【知识模块】 向量二、填空题17 【正确答案】 由已知 B=(E+A)-1(E-A)，则(E+A)B=E-A，即 B+AB+A+E=2E，即B+E+A(B+E)=2E 从而(E+A)(B+E)=2E，因此【知识模块】 矩阵18 【正确答案】 由题设， T 是矩阵，而 T 是一个常数，且有( T)(T)=(T).T 因此 所以 T=3【知识模块】 矩阵19 【正确答案】 设 则由题知 PA=B，A 为 3 阶矩阵，又A=
21、3，所以A *= A 2=9因此BA *=BA *=PAA *= P AA *=一 27【知识模块】 矩阵20 【正确答案】 矩阵 则故 A3 的秩 r(A3)=1【知识模块】 矩阵21 【正确答案】 (I)假 1， 2， 3 线性相关，则 3 可由 1,2 线性表出，可设3=k31+k22 其中后 k1，k 2 不全为 0，否则由等式 A3=2+3 得到 2=0，不符合题设因为 1， 2 为矩阵 A 的分别属于特征值一 1，1 的特征向量，所以 1， 2 相互独立，且有 A1=一 1，A 2=2，则 A=A(k 11+k22)=一k11+k22=2+k11+k22又 1， 2 相互独立，等式
22、中 1， 2 的对应系数相等，即显然此方程组无解故假设不成立，从而可知 1， 2， 3 线性无关( )因为 1， 2， 3 线性无关，所以矩阵 P=(1， 2， 3)可逆由于AP=A(1， 2， 3)=(一 1， 2， 2+3)=(1， 2， 3) 等式两边同时左乘矩阵 P 的逆矩阵 P-1，可得【知识模块】 向量22 【正确答案】 (1)因为 1， 2， 3= ，所以 r(1， 2， 3)=3 又因为 1， 2， 3 不能由 1， 2， 3 线性表示，所以 r(1， 2， 3)1， 2， 3=0，解得 =5【知识模块】 向量23 【正确答案】 (2)( 1， 2， 3,1， 2， 3)=于是
23、【知识模块】 向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 【正确答案】 由题设，2A -1B=B 一 4E2A -1B=AB 一 4AAB 一 2B=4A(A一 2E)B=4A 一 8E+8E(A 一 2E)B=4(A 一 2E)+8E(A 一 2E)(B 一 4E)=8E(A一 2E) (B 一 4E)=E 因此 A-2E 可逆，且(A 一 2E)-1= 同时 A=2E+8(B-4E)-1，由已知 则 且(B 一 4E)-1 可求初等行变换求得为 所以【试题解析】 证明矩阵可逆的方法有 n 阶矩阵 A 可逆=P1P2Ps，其中只为初等矩 阵营齐次方程组 Ax=0 只有零解 ，
24、非齐次方程组 Ax=b 总有唯一解 A 的特征值全不为 0，如果在已知一矩阵等式的情况下，讨论矩阵的可逆性问题，一般应将已知等式化简为逆矩阵的定义形式进行分析【知识模块】 矩阵25 【正确答案】 由题设 AXA+BXB=AXB+BXA+E 知，AX(A 一 B)=BX(AB)+E即(AX BX)(AB)=E，从而(AB)X(A B)=E(1)又由已知，不难求得 则A B=1 ，所以AB 可逆，且 则由(1)式，X=(AB) -1(AB)-1=【知识模块】 矩阵26 【正确答案】 根据已知 A*X=A-1+2X，得(A *一 2E)x=A-1，由 A 左乘上式，并利用公式 A*=AA -1，则得
25、(AE 一 2A)X=E，其中 从而 因此【试题解析】 涉及矩阵 A 的伴随矩阵 A*的问题，往往得用公式AA*=A*A=AE【知识模块】 矩阵27 【正确答案】 由题设(2E 一 C-1B)AT=C-1，上式左乘 C 阵，得(2CB)A T=E，由已知 B，C 可求得 且2CB=1，因此 2CB 可逆，由此AT=(2CB)-1，不难由初等变换求得 从而【知识模块】 矩阵28 【正确答案】 由题设， 因而 A 可逆，由 A2 一AB=I，A 2 一 I=AB，即 AA-1=B，不难求得 因此【试题解析】 解矩阵方程，一般利用某些矩阵的可逆性先将已知方程化简，再求解；也可以用待定系数法求解，先将
26、所要求的矩阵设出来，再把已知矩阵代入原矩阵方程即可求解【知识模块】 矩阵【知识模块】 向量29 【正确答案】 根据题意得 1， 2， 3 可由向量组 J12， 3。线性表示，所以 3个方程组 x11+x22+x33=i(i=1，2，3)均有解对增广矩阵作初等行变换，有可见 4 且 一 2 时，1， 2， 3 可由 12， 3 线性表示向量组 12， 3 不能由向量组 1， 2， 3 线性表示，即有 3 个方程组 x11+x22+x33=j(j=1，2，3)均无解对增广矩阵作初等变换，有 可见 =1 或=一 2 时， 2， 3 不能由 1， 2， 3 线性表示所以 =1 时向量组 1， 2， 3
27、 可由向量组 12， 3 线性表示，但 12， 3，不能由 1， 2， 3 线性表示评注两量组能否线性表示的问题完全转化为线性方程组是否有解的问题，若线性方程组无解，则向量组不能线性表示；若线性方程组有唯一解，则向量组可以线性表示，并且表示方法唯一；若线性方程组有无穷多组解，则向量量组可以线性表示，并且有无穷多种表示方法在本题中，向量组 12， 3 不能由向量组 1， 2， 3 线性表示，必有行列式 1， 2， 3=0，从而可以确定 =1【知识模块】 向量30 【正确答案】 由题设， 设矩阵4=(1， 2， 3)，则 利用初等行变换化 A 为行简化阶梯形得即 r(A)=2，因此 1， 2， 3
28、 的秩为 2 且 1， 2 线性无关，3=31+22， 12， 3 与 1， 2， 3 具有相同的秩，因此 12， 3 线性相关，则 12， 3=0，即 可推出 a=3b，又由已知条件 3 可由1， 2， 3 线性表示，从而 3 可由 1， 2 线性表示，因此，向量组 1， 2， 3线性相关，同理有 1， 2， 3=0，即 可解得 b=5，因而 a=15【试题解析】 本题还可由以下方法求解，由已知 3 可由 1， 2， 3 线性表示，等价于方程组 有解，通过对其增广矩阵施行行初等变换化为行简化阶梯形得 由方程组有解的条件知 ，即 b=5，从而由原解法同样可算出 a 的值【知识模块】 向量31
29、【正确答案】 向量 能否由 1， 2， 3 线性表示实质上等价于下述方程组有解或无解的问题：Ax=，其中 从而 ，相应的增广矩阵为 利用初等行变换将 B 化为阶梯形如下，当 b2 时，rA 1， 2， 3 线性表示；当 b=2，a1 时，rA=rB且 rA=3，此时方程组 Ax= 有唯一解，且相应的行简化阶梯形为 因此该唯一解为 因此 可由 1， 2， 3 唯一表示为 =一 1+22；当b=2，a=1 时，rA=rB 且 rA=2 其导出组的基础解系为(一 3，3，1)T，原方程组特解为(一 1，2，0) T，则通解为 C(一 3，3，1) T+(一 1，2，0) T 其中 C为任意常数，此时 可 1， 2， 3 表示为 =一(3C+1) 1+(3C+2)2+C3【试题解析】 一向量是否可由一组两量线性表示与对应的线性方程组是否有解是等同的，若对应的线性方程组无解，则不能线性表示；若对应的线性方程组有唯一解；则可以线性表示，并且表示方法唯一；若对应的线性方程组有无穷多组解，则可以线性表示，并且有无穷多种表示方法在对线性方程组求解化为阶梯形的过程中，只能用行变换，在化为阶梯形后，对参数 a，b 讨论时要做到不重不漏【知识模块】 向量
