1、考研数学二（矩阵）历年真题试卷汇编 1及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.(1998年)设 A是任一 n(n3)阶方阵，A * 是 A的伴随矩阵，又 k为常数，且 k0，1，则必有(kA) * 【 】（分数：2.00）A.kA *B.k n-1 A *C.k n A *D.k -1 A *3.(2004年)设 A是 3阶方阵，将 A的第 1列与第 2列交换得 B，再把 B的第 2列加到第 3列得 C，则满足AQC 的可逆矩阵 Q为 【 】（分数：2.
2、00）A.B.C.D.4.(2005年)设 A为 n(n2)阶可逆矩阵，交换 A的第 1行与第 2行得矩阵 B，A * ，B * 分别为 A，B 的伴随矩阵，则 【 】（分数：2.00）A.交换 A * 的第 1列与第 2列得 B * B.交换 A * 的第 1行与第 2行得 B * C.交换 A * 的第 1列与第 2列得B * D.交换 A * 的第 1行与第 2行得B * 5.(2006年)设 A为 3阶矩阵，将 A的第 2行加到第 1行得 B，再将 B的第 1列的1 倍加到第 2列得 C，记 P （分数：2.00）A.CP -1 APB.CPAP -1C.CP T APD.CPAP T
3、6.(2008年)设 A为 n阶非零矩阵，E 为 n阶单位矩阵，若 A 3 O，则 【 】（分数：2.00）A.EA 不可逆，EA 不可逆B.EA 不可逆，EA 可逆C.EA 可逆，EA 可逆D.EA 可逆，EA 不可逆7.(2009年)设 A，B 均为 2阶矩阵，A * ，B * 分别为 A，B 的伴随矩阵若A2，B3，则分块矩阵 （分数：2.00）A.B.C.D.8.(2009年)设 A，P 均为 3阶矩阵，P T 为 P的转置矩阵，且 P T AP （分数：2.00）A.B.C.D.9.(2011年)设 A为 3阶矩阵，将 A的第 2列加到第 1列得矩阵 B，再交换 B的第 2行与第 3
4、行得单位矩阵 记 （分数：2.00）A.P 1 P 2B.P 1 -1 P 2C.P 2 P 1D.P 2 P 1 -110.(2012年)设区域 D由曲线 ysin， ，y1 围成，则 （分数：2.00）A.B.2C.2D.二、填空题(总题数：10，分数：20.00)11.(2000年)设 A （分数：2.00）填空项 1:_12.(2003年)设 为 3维列向量， T 是 的转置若 T （分数：2.00）填空项 1:_13.(2003年)设三阶方阵 A、B 满足 A 2 BABE，其中 E为三阶单位矩阵，A （分数：2.00）填空项 1:_14.(2004年)设矩阵 A （分数：2.00）
5、填空项 1:_15.(2005年)设 1 ， 2 ， 3 均为 3维列向量，记矩阵 A( 1 ， 2 ， 3 )，B( 1 2 3 ， 1 2 2 4 3 ， 1 3 2 9 3 ) 如果A1，那么B 1（分数：2.00）填空项 1:_16.(2006年)设矩阵 A （分数：2.00）填空项 1:_17.(2007年)设矩阵 A （分数：2.00）填空项 1:_18.(2010年)设 A，B 为 3阶矩阵，且A3，B2，A -1 B2，则AB -1 1（分数：2.00）填空项 1:_19.(2012年)设 A为 3阶矩阵，A3，A * 为 A的佯随矩阵，若交换 A的第 1行与第 2行得矩阵 B
6、，则BA * 1（分数：2.00）填空项 1:_20.(2013年)设 A(a ij )是 3阶非零矩阵，A为 A的行列式，A ij 为 a ij 的代数余子式若 a ij A ij 0(i，j1，2，3)，则A 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：7，分数：14.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_22.(1997年)已知 A （分数：2.00）_23.(1998年)设(2EC -1 B)A T C -1 ，其中 E是 4阶单位矩阵，A T 是 4阶矩阵 A的转置矩阵， （分数：2.00）_24.(1999年)设矩阵 A （分数：2
7、.00）_25.(2001年)已知矩阵 （分数：2.00）_26.(2002年)已知 A，B 为 3阶矩阵，且满足 2A -1 BB4E，其中 E是 3阶单位矩阵 (1)证明：矩阵A2E 可逆； (2)若 B （分数：2.00）_27.(2015年)设矩阵 A （分数：2.00）_考研数学二（矩阵）历年真题试卷汇编 1答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.(1998年)设 A是任一 n(n3)阶方阵，A * 是 A的伴随矩阵，又 k为常数，且 k0
8、，1，则必有(kA) * 【 】（分数：2.00）A.kA *B.k n-1 A * C.k n A *D.k -1 A *解析：解析：由于 n阶行列式的每个元素的余子式都是一个 n1 阶行列式，故kA的每个元素的代数余子式等于A的对应元素的代数余子式的 k n-1 倍，于是由伴随矩阵的定义知(kA) * 的每个元素等于A * 的对应元素的 k n-1 倍，即(kA) * k n-1 A * 3.(2004年)设 A是 3阶方阵，将 A的第 1列与第 2列交换得 B，再把 B的第 2列加到第 3列得 C，则满足AQC 的可逆矩阵 Q为 【 】（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：记交
9、换单位矩阵的第 1列与第 2列所得初等矩阵为 E(1，2)，记将单位矩阵第 2列的忌倍加到第 3列所得初等矩阵为 E(3，2(k)，则由题设条件，有 AE(12)B，BE(3，2(1)C， 故有AE(1，2)E(3，2(1)C 于是得所求逆矩阵为4.(2005年)设 A为 n(n2)阶可逆矩阵，交换 A的第 1行与第 2行得矩阵 B，A * ，B * 分别为 A，B 的伴随矩阵，则 【 】（分数：2.00）A.交换 A * 的第 1列与第 2列得 B * B.交换 A * 的第 1行与第 2行得 B * C.交换 A * 的第 1列与第 2列得B * D.交换 A * 的第 1行与第 2行得B
10、 * 解析：解析：用排除法以 2阶方阵为例，设 5.(2006年)设 A为 3阶矩阵，将 A的第 2行加到第 1行得 B，再将 B的第 1列的1 倍加到第 2列得 C，记 P （分数：2.00）A.CP -1 APB.CPAP -1 C.CP T APD.CPAP T解析：解析：将单位矩阵 E的第 2行加到第 1行即得初等矩阵 P，由初等变换与初等矩阵的关系，有BPA令矩阵 则将 E的第 1列的1 倍加到第 2列即得矩阵 Q，于是有 CBQ，从而有CPAQ由于 6.(2008年)设 A为 n阶非零矩阵，E 为 n阶单位矩阵，若 A 3 O，则 【 】（分数：2.00）A.EA 不可逆，EA 不
11、可逆B.EA 不可逆，EA 可逆C.EA 可逆，EA 可逆 D.EA 可逆，EA 不可逆解析：解析：由于(EA)(EAA 2 )EA 3 E，(EA)(EAA 2 )EA 3 E， 故由可逆矩阵的定义知：EA 和 EA 均是可逆的7.(2009年)设 A，B 均为 2阶矩阵，A * ，B * 分别为 A，B 的伴随矩阵若A2，B3，则分块矩阵 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：记矩阵 C ，则 C的行列式C(1) 4 AB60，因此 C为可逆矩阵，由公式 CC * CE，得 8.(2009年)设 A，P 均为 3阶矩阵，P T 为 P的转置矩阵，且 P T AP （分数：2.00
12、）A. B.C.D.解析：解析：9.(2011年)设 A为 3阶矩阵，将 A的第 2列加到第 1列得矩阵 B，再交换 B的第 2行与第 3行得单位矩阵 记 （分数：2.00）A.P 1 P 2B.P 1 -1 P 2C.P 2 P 1D.P 2 P 1 -1 解析：解析：由题设条件有 P 2 AP 1 I，两端左乘 P 2 -1 ，两端右乘 P 1 -1 ，得 AP 2 -1 P 1 -1 ，因 P 2 -1 P 2 ，而 P 1 -1 P 1 ，故只有 D正确10.(2012年)设区域 D由曲线 ysin， ，y1 围成，则 （分数：2.00）A.B.2 C.2D.解析：解析： 于是，Q -
13、1 AQ(PM) -1 A(PM)M -1 (P -1 AP)M 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)11.(2000年)设 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题设等式得 EBE(EA) -1 (EA) 用(EA)左乘上式两端，得 (EA)(EB)EAEA2E 即 (EA)(EB)E 所以(EB) -1 12.(2003年)设 为 3维列向量， T 是 的转置若 T （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析： 于是有 a 2 1，b 2 1，c 2 1，从而得 T a b c 13.(2003年)设三阶方阵 A、
14、B 满足 A 2 BABE，其中 E为三阶单位矩阵，A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题设方程移项得 A 2 BBAE， (A 2 E)BAE， (AE)(AE)BAE，注意 AE 可逆，用(AE) -1 左乘上式两端，得 (AE)BE 两端取行列式，得 AEB1 因为AE 2 得 2B1， 14.(2004年)设矩阵 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 A * AAE，而A3，所以 A * A3E用矩阵 A右乘题设方程两端，可得 3AB6BA， 或 3(A2E)BA， 两端取行列式，得 3 3 A2EB
15、A， 由于 故有27B3，所以B 15.(2005年)设 1 ， 2 ， 3 均为 3维列向量，记矩阵 A( 1 ， 2 ， 3 )，B( 1 2 3 ， 1 2 2 4 3 ， 1 3 2 9 3 ) 如果A1，那么B 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：利用矩阵乘法，可将 B表示为16.(2006年)设矩阵 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：由给定矩阵方程得 BAB2E B(AE)2E 两端取行列式，得BAE2E 因AE 17.(2007年)设矩阵 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1
16、）解析：解析：利用矩阵乘法，容易计算得 18.(2010年)设 A，B 为 3阶矩阵，且A3，B2，A -1 B2，则AB -1 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：由于 AB -1 (ABE)B -1 A(BA -1 )B -1 A(A -1 B)B -1 ， 两端取行列式，并利用ABCABC及B -1 B -1 ，得 AB -1 A.A -1 B.B -1 32 19.(2012年)设 A为 3阶矩阵，A3，A * 为 A的佯随矩阵，若交换 A的第 1行与第 2行得矩阵 B，则BA * 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：27）解
17、析：解析：由于互换行列式的两行，则行列式仅变号，于是知B3再利用A * A n-1 A 2 9，得BA * BA * 2720.(2013年)设 A(a ij )是 3阶非零矩阵，A为 A的行列式，A ij 为 a ij 的代数余子式若 a ij A ij 0(i，j1，2，3)，则A 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：由 A0，不妨设 a 11 0，由已知的 A ij a ij (i，j1，2，3)，得 三、解答题(总题数：7，分数：14.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：22.(1997年)已知 A
18、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 2 ABA(AB)I，及A10， 知 ABA -1 ，故 BAA -1 ， 又 A -1 从而得 )解析：23.(1998年)设(2EC -1 B)A T C -1 ，其中 E是 4阶单位矩阵，A T 是 4阶矩阵 A的转置矩阵， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：给题设方程两端左乘 C，得 C(2EC -1 B)A T E 即(2CB)A T E 由于矩阵 可逆，故 A T (2CB) -1 ，从而 A(2CB) -1 T )解析：24.(1999年)设矩阵 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设等式得(A * 2E)X
19、A -1 ，其中 E是 3阶单位矩阵，用矩阵 A左乘等式两端，得 (AE2A)XE 可见(AE2A)可逆，从而 X(AE2A) -1 )解析：25.(2001年)已知矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设等式得 AX(AB)BX(BA)E 即(AB)X(AB)E 矩阵 AB 可逆，且(AB) -1 故 X(AB) -1 (AB) -1 )解析：26.(2002年)已知 A，B 为 3阶矩阵，且满足 2A -1 BB4E，其中 E是 3阶单位矩阵 (1)证明：矩阵A2E 可逆； (2)若 B （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由 2A -1 BB4E，得 AB2B4A0 从而有(A2E)(B4E)8E (*) 或(A2E). (B4E)E 故 A2E 可逆，且(A2E) -1 (B4E) (2)由(*)式可得 A2B8(B4E) -1 故 A2E8(B4E) -1 )解析：27.(2015年)设矩阵 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由 A 3 O。两端取行列式，得A 3 0，从而得A0，而Aa 3 ，所以 a0 ()由已知的 XXA 2 AXAXA 2 E，得 X(EA 2 )AX(EA 2 )E 即(EA)X(EA 2 )E 由()知 由于 EA，EA 2 均可逆，所以 X(EA) -1 (EA 2 ) -1 )解析：
