1、考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 15 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 Ik=0k sinxdx(k=1，2，3)，则有（A）I 1I 2 I3（B） I3I 2 I 1（C） I2I 3I 1（D）I 2I 1 I32 设函数 f(x)= F(x)=0xf(t)dt，则（A）x= 是函数 F(x)的跳跃间断点（B） x= 是函数 F(x)的可去间断点（C） F(x)在 x= 处连续但不可导（D）F(x)在 x= 处可导3 设函数 f(x)= 若反常积分 1+f(x)dx 收敛，则（A）一 2（B） 2（C）一 20（D）024 下列反常
2、积分中收敛的是5 知函数 f(x)= 则 f(x)的一个原函数是6 反常积分 的敛散性为（A）收敛， 收敛（B） 收敛，发散（C） 发散，收敛（D）发散， 发散二、填空题7 曲线 y=0xtantdt(0x )的弧长 s=_8 设函数 f(x)= 0，则 一 +xf(x)dx=_9 =_10 设函数 f(x)=一 1x 则 y=f(x)的反函数 x=f 一 1(y)在 y=0 处的导数|y=0=_11 设封闭曲线 L 的极坐标方程为 则 L 所围平面图形的面积是_12 一 1 =_13 一根长为 1 的细棒位于 x 轴的区间0，1上，若其线密度 (x) =一 x2+2x+1，则该细棒的质心坐标
3、 =_14 设函数 f(x)连续，(x)= x(t)dt，若 (1)=1，(1)=5，则 f(1)=_15 极限 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 一容器的内侧是由图中曲线绕 y 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由 x2+y22y(y )与 x2+y2=1(y )连接而成 ()求容器的容积；() 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？(长度单位：m，重力加速度为 gms 2，水的密度为 103kg/m3)17 过点(0 ，1)作曲线 L:y=lnx 的切线，切点为 A，又 L 与 x 轴交于 B 点，区域 D由 L 与直线 AB 围成求区域 D 的面积及
4、 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积18 设 D 是由曲线 y= ，直线 x=a(a0) 及 x 轴所围成的平面图形，V x，V y 分别是 D 绕 x 轴，y 轴旋转一周所得旋转体的体积若 Vy=10Vx，求 a 的值19 设曲线 L 的方程为 y= ()求 L 的弧长；( )设 D是由曲线 L，直线 x=1， x=e 及 x 轴所围平面图形，求 D 的形心的横坐标20 设函数 f(x)，g(x) 在区间 a，b上连续，且 f(x)单调增加，0g(x)1证明：()0axg(t)dt(x 一 a)，xa，b() f(x)dxabf(x)g(x)dx21 已知函数 f(x，y)满足 =2(y
5、+1)，且 f(y，y)=(y+1) 2 一(2 一 y)lny，求曲线f(x，y)=0 所围图形绕直线 y=一 1 旋转所成旋转体的体积22 设 A0，D 是由曲线段 y=Asinx(0x )及直线 y=0，x= 所围成的平面区域，V1，V 2 分别表示 D 绕 x 轴与绕 y 轴旋转所成旋转体的体积，若 V1=V2，求 A 的值23 设函数 f(x)=01|t2 一 x2|dt(x0)，求 f(x)，并求 f(x)的最小值24 设 D 是由曲线 y= 围成的平面区域，求 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积25 已知函数 f(x)在 的一个原函数，且 f(0)=0()求 f(x)
6、在区间 上的平均值；()证明 f(x)在区间 内存在唯一零点考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 15 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 本题主要考查定积分几何意义，曲线 y=sinx 如上图，而 在(0，+) 单调增且大于 1，则曲线 y= sinx 如下图该曲线与 x 轴围成三块域面积分别为 S1，S 2，S 3，由定积分几何意义知=S1+(S3 一 S2)S 1=I1 则 I 2I 1I 3 故应选(D)2 【正确答案】 C【试题解析】 3 【正确答案】 D【试题解析】 则敛，则 a+11，即 a0，故 0a24
7、【正确答案】 D【试题解析】 2+ =2+xe 一 xdx=一 2+xde 一 x=一 xe 一 x|2+2+e 一 xdx=一 e 一x|2+=e 一 2 则该反常积分收敛，故应选(D)5 【正确答案】 D【试题解析】 则 C1=一 1+C2令 C1=C，则 C2=1+C故应选(D)6 【正确答案】 B【试题解析】 =一(0 一 1)=1 则该反常积分收敛则该反常积分发散，故应选(B)二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 8 【正确答案】 【试题解析】 一 +xf(x)dx=0+dx=一 0+xde 一 x= 一 xex|0+0+e 一 xdx9 【正确答案】 【试题解析】 这是一个 n
8、 项和的极限，提出一个 的因子知，原式为一个积分和式10 【正确答案】 【试题解析】 由 f(x)=一 1x 知，当 f(x)=0 时，x=一 1，又 11 【正确答案】 【试题解析】 由线 所围图形面积为12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 质心的横坐标为14 【正确答案】 2【试题解析】 (x)= f(t)dt，由 (1)=1 知 01f(t)dt=1，又 (x)= f(t)dt+2x2f(x2)由 (1)=5 知 5=01f(t)dt+2f(1)=1+2f(1)则 f(1)=215 【正确答案】 sin1 一 cos1【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说
9、明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 由对称性，所求的容积为17 【正确答案】 设切点 A 的坐标为(x 1，y 1)，则切线方程为 y 一 y1= (x 一 x1)将点(0， 1)代入，得 x1=e2，y 1=2所求面积为 = 2e2 一 e2+1 一 e2+1=2所求体积为18 【正确答案】 由 Vy= 10Vx，即19 【正确答案】 ()y= ，则 L 的弧长所以 D 的形心的横坐标为20 【正确答案】 () 由 0g(x)1 得 00xg(t)dt0x1dt=(x 一 a) xa，b()令 F(u)=auf(x)g(x)dx 一 f(x)dx 只要证明 F(b)0，显然 F(a)
10、=0，只要证明 F(u)单调增，又 F(u)=f(u)g(u)一 f(a+aug(t)dt)g(u)=g(u)f(u)一 g(a+abg(t)dt)由()的结论0axg(t)dt(x 一 a)知，aa+ axg(t)dtx即 aa+aug(t)dtu 又 f(x)单调增加，则 f(u)f(a+abg(t)dt)，因此，F(u)0，F(b)0故 f(x)dxabf(x)g(x)dx21 【正确答案】 由 = 2(y+1)可知， f(x，y) =2(y+1)dy = (y+1)2+(x)又 f(y，y)=(y+1)2 一(2 一 y)lny，则(y+1) 2 一(2 一 y)lny=(y+1) 2
11、+(y)则 (y)=一(2 一 y)lny，曲线 f(x，y)=0 的方程为(y+1) 2=(2 一 x)lnx (1x2)其所围图形绕直线 y =一 1 旋转所成旋转体的体积 V=12(y+1)2dx=12(2 一 x)lnxdx=(2ln2 一 ).22 【正确答案】 23 【正确答案】 当 0x1 时，f(x)= 0x|t2 一 x2|dt+01|t2 一 x2|dt=0x(x2 一 t2)dt+01(t2x2)dt 当 x1 时，f(x)= 01(x2 一 t2)dt=x2 一 所以 由 f(x)=0 求得唯一驻点 x= 为 f(x)的最小值点，最小值为24 【正确答案】 设 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V，表面积为 S，则25 【正确答案】 ()f(x)在区间 上的平均值()由题意，得 f(x)=当 0x 时，因为 f(x)0，所以 f(x)f(0)=0，故 f(x)在 0由积分中值定理，存在 x0时，f(x)0，所以x0 根据连续函数介值定理，存在时，f(x) 0，所以 f(x)在 内至多只有一个零点综上所述，f(x)在 内存在唯一的零点
