1、考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 f(x)=| xsinx| ecosx(一x +)是（A）有界函数（B）单调函数（C）周期函数（D）偶函数2 函数 f(x)=xsinx（A）当 x时为无穷大（B）在 (一，+)内有界（C）在 (一，+)内无界（D）当 x时有有限极限3 已知 =0，其中 a，b 是常数，则（A）a=1 ，b=1（B） a=一 1，b=1（C） a=1，b=一 1（D）a= 一 1，b=一 14 设 f(x)=5 当 x1 时，函数 的极限（A）等于 2（B）等于 0（C）为 （D）不存在但
2、不为6 当 x0 时，变量 是（A）无穷小（B）无穷大（C）有界的，但不是无穷小的（D）无界的，但不是无穷大7 设 f(x)和 (x)在(一，+)上有定义，f(x)为连续函数，且 f(x)0，(x)有间断点，则（A）f(x)必有间断点（B） (x)2 必有间断点（C） f(x)必有间断点（D） 必有间断点8 设 x0 时，e tanx 一 ex 与 xn 是同阶无穷小，则 n 为（A）1（B） 2（C） 3（D）49 设 g(x)= 则 gf(x)为10 设数列 xn 与 yn 满足 =0，则下列断言正确的是（A）若 xn 发散，则 yn 必发散（B）若 xn 无界，则 yn 必无界（C）若
3、xn 有界，则 yn 必为无穷小（D）若 为无穷小，则 yn 必为无穷小11 “对任意给定 (0，1)，总存在正整数 N，当 nN 时，恒有|x n 一 a|2”是数列xn收敛于 a 的（A）充分条件但非必要条件（B）必要条件但非充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分条件又非必要条件12 设函数 f(x)= 在(一，+)内连续，且 =0，则常数 a，b 满足（A）a0， b0（B） a0，b0（C） a0，b0（D）a0 ，b013 设 f(x)= 则 fff(x)等于（A）0（B） 1（C）（D）14 设当 x0 时，(1 一 cosx)ln(1+x 2)是比 xsinxn 高阶的无穷小，
4、而 xsinxn 是比( 一 1)高阶的无穷小，则正整数 n 等于（A）1（B） 2（C） 3（D）4二、填空题15 =_16 设 f(x)= 在(一，+)内连续，则 a=_17 =_18 设 f(x)= 在 x=0 处连续，则常数 a 与 b 应满足的关系是_19 设函数 f(x)= 则函数尢 f(x)=_20 =_21 求 =_22 若 f(x)= 在(一，+)上连续，则 a=_23 =_24 =_25 已知 f(x)= 在 x=0 处连续，则 a=_26 =_27 设函数 f(x)= 在 x=0 处连续，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。28 设 f(x)= ，
5、f(x)=1 一 x，且 (x)0，求 (x)及其定义域29 30 已知 =9，求常数 a31 32 33 设函数 f(x)= (1)写出 f(x)的反函数 g(x)的表达式(2)g(x)是否有间断点、不可导点，若有，指出这些点34 求极限35 求函数 f(x)= 在区间(0，)内的间断点，并判断其类型36 求极限 记此极限为 f(x)，求函数 f(x)的间断点并指出其类型考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由于 f(一 x)=|xsin(一 x)| ecos)(一 x)=|xsi
6、nx|ecosx=f(x)，则 f(x)为偶函数2 【正确答案】 C【试题解析】 由于 f(2k)=2ksin(2k)=0 则 f(x)在(一，+)内无界，但 x时，f(x)不是无穷大，也没有有限极限，则应选(C)3 【正确答案】 C【试题解析】 由 =0 知，1 一 a=0，a+b=0，则 a=1，b=一 14 【正确答案】 D【试题解析】 5 【正确答案】 D【试题解析】 则极限不存在，但不是6 【正确答案】 D【试题解析】 则当 x0 时 是无界的，但不是无穷大7 【正确答案】 D【试题解析】 反证法设 处处连续，则 (x)= f(x)，从而 (x)处处连续，与原题设矛盾则应选(D)8
7、【正确答案】 C【试题解析】 由于则应选(C)9 【正确答案】 D【试题解析】 当 x0 时，f(x)=x 20，则 gf(x)=f(x)+2=x2+2；当 x0 时，f(x)=一 x0，则 gf(x)=2 一 f(x)=2 一(一 x)=2+x；故 gf(x)= 故应选(D)10 【正确答案】 D【试题解析】 排除法若取 xn=n，y n= ，则显然(A)不正确；若取 xn=n，y n=0，则显然(B) 不正确；若取 xn=0，y n=n，则显然(C) 不正确，故只有 (D)正确11 【正确答案】 C【试题解析】 由数列极限的“ 一 ”定义可知本题中 “对任意给定 (0，1)，总存在正整数
8、N，当 nN 时，恒有|x n 一 a|2”与原定义等价，故应选 (C)12 【正确答案】 D【试题解析】 由 =0 可知，b0，又 f(x)在(一，+)上连续，则a0，所以应选(D)13 【正确答案】 B【试题解析】 先求 ff(x)由于当 x1 时 f(x)=1，从而 ff(x)=1当 x1 时，f(x)=0 ，则 ff(x)=1因此 ff(x)=1显然 fff(x)=114 【正确答案】 B【试题解析】 当 x0 时1 一 cosx x2，ln(1+x 2)x 2sinx nx n ， 一 1 x2，则，当 x0 时(1 一 cosx)ln(1+x2) x4，xsinx nx n+1，
9、一 1x 2 由于当x0 时，(1 一 cosx)ln(1+x2)是比 xsinxn 高阶的无穷小，则 4n+1；又 当 x0 时，xsinxn 是比( 一 1)高阶的无穷小，则 n+12故 n+1=3，即 n=2二、填空题15 【正确答案】 e 一 3【试题解析】 16 【正确答案】 1【试题解析】 f(0 一 0)= (sinx+cosx) =1要使 f(x)在(一，+) 上连续，只需 a=1=f(0)=a，即 a=117 【正确答案】 【试题解析】 18 【正确答案】 a=b【试题解析】 由于 f(0+0)= (a+bx2)=a，f(0)=a，要使 f(x)在 x=0 连续，则应有 f(
10、0+0)=f(0 一 0)=f(0)，即 a=b19 【正确答案】 1【试题解析】 由 f(x)= 知，对一切的 x，|f(x)|1，则 ff(x)=120 【正确答案】 一 1【试题解析】 21 【正确答案】 【试题解析】 22 【正确答案】 一 2【试题解析】 由于 =2+2a，又 f(0) =a要使 f(x)在(一 ，+)上连续，只要 2+2a=a，即 a=一 223 【正确答案】 【试题解析】 24 【正确答案】 由和差化积公式得25 【正确答案】 【试题解析】 26 【正确答案】 【试题解析】 将分子有理化，分母分解因式得27 【正确答案】 一 2【试题解析】 由于当 x0 时而 f
11、(0)=a 所以要使函数f(x)在 x=0 处连续，则 a=一 2三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。28 【正确答案】 由 f(x)= = 1 一 x，又 (x)0，则 (x)=x029 【正确答案】 30 【正确答案】 =e2a=9，从而 a=ln331 【正确答案】 32 【正确答案】 33 【正确答案】 (1) (2)g(x)处处连续，没有间断点；g(x) 不可导的点是 x=0 及 x=一 134 【正确答案】 35 【正确答案】 f(x)在(0，2)上的间断点为f(x)=+，则 x=为第二类间断点，而为可去间断点36 【正确答案】 由于由于 =e，则 x=0 为 f(x)的可去间断点，x=k(k =1，2，)为 f(x)的第二类间断点
