1、考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 16 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(u)连续，区域 D=(x，y)|x 2+y22y，则 f(xy)dxdy 等于（A）（B）（C） 0d02sinf(r2sincos)dr（D） 0d02sinf(r2sincos)rdr2 设函数 u(x，y)=(x+ y)+(x一 y)+ x 一 yx 一 y(t) dt，其中函数 具有二阶导数，具有一阶导数，则必有3 设区域 D=(x，y)|x 2+y24，x0，y0 ，f(x) 为 D 上的正值连续函数，a，b 为常数，则（A）ab（B）（C） (a+
2、b)（D）4 设 f(x，y)为连续函数，则 d01f(rcos,rsin)rdr等于5 设 f(x，y)与 (x，y) 均为可微函数，且 y(x，y)0已知(x 0，y 0)是 f(x，y)在约束条件 (x，y)=0 下的一个极值点，下列选项正确的是（A）若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)=0（B）若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)0（C）若 fx(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)=0（D）若 fx(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)06 二元函数 f(x，y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是7 设函数 f(x， y)连续，则二次
3、积分 dxsinx1f(x，y)dy 等于（A） 01dy+arcsiny f(x， y)dx （B） 01dy一 arcsiny f(x，y)dx（C）（D）8 设函数 f 连续，若 F(u，)= 其中区域 Du为图中阴影部分，则（A）f(u 2)（B）（C） f(u)（D）9 设函数 z=f(x，y)的全微分为 dz=xdx+ydy，则点(0，0)（A）不是 f(x，y)的连续点（B）不是 f(x，y) 的极值点（C）是 f(x，y) 的极大值点（D）是 f(x， y)的极小值点10 设函数 f(x，y)连续，则 12dxx2f(x，y)dy+ 12dyy4 一 yf(x，y) dx=（A
4、） 12dx14 一 xf(x，y)dy（B） 12dxx4 一 xf(x，y)dy（C） 12dy14 一 yf(x，y)dx（D） 12dyy2f (x，y)dx 11 设函数 z=z(x，y)由方程 =0 确定，其中 F 为可微函数，且 F20，则（A）x（B） z（C）一 x（D）一 z12 二、填空题13 设函数 z=z(x，y)由方程 z 一=e 2x 一 3z+2y 确定，则 =_14 设 f(u，)是二元可微函数， =_15 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设 z=f(x2 一 y2，e xy)，其中 f 具有连续二阶偏导数，求17 已知函数 z=
5、f(x，y)的全微分 dz=2xdx 一 2ydy，并且 f(1，1)=2求 f(x，y)在椭圆域 D=(x， y)|x2+ 1上的最大值和最小值18 计算二重积分 x2+ y2 一 1|d，其中 D=(x，y)|0x 1，0 y1 19 设区域 D=(x，y)|x 2+y21，x0 ，计算二重积分20 设函数 f(u)在(0，+)内具有二阶导数，且 z= 满足等式() 验证 f“(u)+ =0；()若 f(1)=0，f(1)=1，求函数 f(u)的表达式21 已知函数 f(u)具有二阶导数，且 f(0)=1，函数 y=y(x)由方程 y 一 xey 一 1=1 所确定，设 z=f(lny 一
6、 sinx)，求22 设二元函数 计算二重积分其中 D= (x，y) | x|+|y|223 求函数 u=x2+ y2+ z2 在约束条件 z=x2+ y2 和 x+y+z=4 下的最大值与最小值24 计算 maxxy，1dxdy，其中 D=(x，y)|0x2，0y225 设 z=f(x+y，x 一 y，xy) ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 dz 与26 计算二重积分 (x 一 y)dxdy，其中 D=(x，y)|(x 一 1)2+(y 一 1)22，y x考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 16 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案
7、】 D【试题解析】 将圆 x2+y2=2y 改写为极坐标方程为 r=2sin则故应选(D)2 【正确答案】 B【试题解析】 排除法令 (x)=x2，(x)=0 ，则 u(x，y)=(x+y) 2+(xy)2= 2x2+2y2，从而选项(A)(C)(D)均不正确，故应选(B)3 【正确答案】 D【试题解析】 由于积分域 D 关于直线 y=x 对称，则4 【正确答案】 C【试题解析】 由积分 df(rcos，rsin)rdr 知其积分域如右图所示，则故应选(C)5 【正确答案】 D【试题解析】 由拉格朗日乘数法知，若(x 0，y 0)是 f(x，y)在约束条件 (x，y)=0 下的极值点，则必有
8、若 fx(x0，y 0)0，由式知，0，又由原题设知 y (x0，y 0)0，则由式知， y(x0，y 0)0，从而必有 fy(x0，y 0)0，故应选(D)6 【正确答案】 C【试题解析】 直接法从而 f(x，y)在(0，0)处可微7 【正确答案】 B【试题解析】 二次积分 对应的二重积分的积分域 D 如右图所示，交换二次积分次序得 故应选(B)8 【正确答案】 A【试题解析】 故应选(A)9 【正确答案】 D【试题解析】 由 dz=xdx+ydy 知，由极值定义可知(0，0)为 f(x，y)的极小值点，故应选(D) 10 【正确答案】 C【试题解析】 原式= 12dy14 一 yf(x，y
9、)dx，故应选(C)11 【正确答案】 B【试题解析】 由隐函数求导公式得12 【正确答案】 D【试题解析】 故应选(D)二、填空题13 【正确答案】 2【试题解析】 等式 z=e2x 一 3z+y 两端分别对 x 和 y 求偏导得式乘 3 加式得14 【正确答案】 【试题解析】 15 【正确答案】 【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 =2xf1+yexf2， =一 2y1+xef2 = 2xf11“(一 2y)+f12“xe xy+ exyf2+ xyxyf2+yexyf21“(一 2y)+f22“xe xy=一 4xyf11“+2(x2 一
10、y2) exyf12“+ xye2xyf22“+exy(1+xy) f217 【正确答案】 由 dz=2xdx 一 2ydy 可知 z=f(x，y)=x 2 一 y2+C 再由 f(1，1)=2，得C=2，故 z=f(x，y)=x 2 一 y 2+2 令 =一 2y=0解得驻点(0，0)在椭圆 x2+ =1 上，z=x 2 一(44x 2)+2，即 z=5x2 一 2 (一 1x1)其最大值为 z|x=1=3，最小值为 z|x=1=一 2 再与 f(0，0)=2 比较，可知 f(x，y)在椭圆域 D 上的最大值为 3，最小值为一 218 【正确答案】 如图，将 D 分成 D1 与 D2 两部分
11、19 【正确答案】 所以 I=I1=I1+I2=20 【正确答案】 所以根据题设条件可得 ()由()及 f(1)=1，得 f(u)= ，所以 f(u)=lnu+C由 f(1)=0，得 C=0，因此 f(u)=lnu21 【正确答案】 由 y 一 xey 一 1=1 知，当 x=0 时，y=1等式 y 一 xe y 一 1=0 两端对x 求导得 y一(e y 一 1+ xyey 一 1)=0 令 x=0，y=1 得， y(0)=1y 一 ye y 一 1+yey 一 1+x(yey一 1)=0 令 x=0，得 y“(0) 一 2=0，则 y“(0)=2由 z=f(lny 一 simx)知22 【
12、正确答案】 由于被积函数 f(x，y)关于 x 和 y 都是偶函数，而积分域 D 关于 x轴和 y 轴都对称，则 其中 D1 为直线 x+y=1 与 x 轴和 y 轴围成的区域，D 1 为直线 x+y=1，x+y=2 与 x 轴和 y 轴所围成的区域(如图) 23 【正确答案】 作拉格朗日函数 F(x，y，2， ，)=x 2+y2+ z2+(x2+ y2 一 z)+(x+y+24)， 解方程组得(x 1，y 1，z 1)=(1，1，2)， (x2，y 2，z 2)=(一 2，一 2，8)故，所求的最大值为 72，最小值为 624 【正确答案】 曲线 xy=1 将区域 D 分成如图所示的两个区域 D1 和 D225 【正确答案】 由于 =f1+f2+f3， =f1一 f2+xf13所以 dz=(f 1+f2+yf3)dx+(f2+xf3)dy =f11“一 f12“+f13“+f21“一 f22“+xf23“+f3+y(f3“一 f32“+xf33“)=f3“+f11“一f22“+ xyf 33“+ (x+y)f13“+ (x 一 y)f23“26 【正确答案】
