1、考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 27 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 I1=04 tanxxdx，I 2=xtanxdx ，则( )（A）I 1I 2 1。（B） 1I 1I 2。（C） I2I 11。（D）1I 2I 1。2 设 I=04 ln(sinx)dx，J= 04 ln(cotx)dx，K= 04 ln(cosx)ds，则 I，J，K 的大小关系为( )（A）JI K。（B） IKJ。（C） JIK。（D）KIJ。3 设 Ik=0k sinxdx(k=1，2，3)，则有( )（A）I 1I 2 I3。（B） I3I 2I 1。
2、（C） I2I 3I 1。（D）I 2I 1 I3。4 设二阶可导函数 f(x)满足 f(1)=f(1)=1，f(0)= 1 且 f“(x)0，则( )（A） 1 1f(x)dx0。（B） 1 1f(x)dx0。（C） 1 0f(x)dx 01f(x)dx。（D） 1 0f(x)dx 01f(x)dx。5 设 m，n 均是正整数，则反常积分 01 dx 的收敛性( )（A）仅与 m 的取值有关。（B）仅与 n 的取值有关。（C）与 m，n 的取值都有关。（D）与 m，n 的取值都无关。6 设函数 f(x)= 若反常积分 1+f(x)dx 收敛，则( )（A）2。（B） 2。（C） 20。（D）
3、02。二、填空题7 设 f(x)是周期为 4 的可导奇函数，且 f(x)=2(x 1)，x0，2，则 f(7)=_。8 2 2 (x3+sin2x)cos2xdx=_。9 01ex sinnxdx=_。10 2+ =_。11 1+ =_。12 01 =_。13 广义积分 0+ =_。14 已知 +ek|x|dx=1，则 k=_。15 设函数 f(x)= 0，则 +xf(x)dx=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设 f(x)是区间0，4上的单调、可导函数，且满足 0f(x)(t)dt=0tt dt，其中 f 1 是 f 的反函数，求 f(x)。17 计算不定积分ln(
4、1+ )dx(x0)。18 ()比较 01|lnt|ln(1+t)ndt 与 01|lnt|tndt(n=1，2，)的大小，说明理由；()记un=01|lnt|ln(1+t)ndt(n=0， 1，2，)，求极限 un。19 设 xOy 平面上有正方形 D=(x，y)|0x1 ，0y1及直线 l：x+y=t(t0) 。若 S(t)表示正方形 D 位于直线 l 左下方部分的面积，试求 0xS(t)dt(x0)。20 设 f(x)= 求函数 F(x)=f(t)dt 的表达式。20 设 f(x)=xx+2 |sint|dt。21 证明 f(x)是以 为周期的周期函数；22 求 f(x)的值域。23 如
5、图，曲线 C 的方程为 y=f(x)，点(3，2)是它的一个极点，直线 l1 与 l2 分别是曲线 C 在点 (0，0)与(3 ，2)处的切线，其交点为(2 ，4) 。设函数 f(x)具有三阶连续导数，计算定积分 03(x2+x)f“(x)dx。24 计算积分 12 3225 计算 1+arctanxx 2dx。26 计算 01 dx。考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 27 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为当 x0 时，有 tanxx，于是 tanxx1，xtanx1，从而有 I 1=04 tanxxdx 4，
6、I 2=04 xtanxdx 4， 可见有 I1I 2 且I24，可排除 A，C ， D，故应选 B。【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 B【试题解析】 当 0x4 时，因为 0sinxcosx，所以 ln(sinx)ln(cosx)，从而 I= 04 ln(sinx)dx 04 ln(cosx)dx=K。 又因为 J= 04 ln(cotx)dx=04 ln(cosx)dx 04 ln(sinx)dx。 且 04 ln(sinx)dx0，所以 J=04 ln(cotx)dx 04 ln(cosx)dx=K。 综上可知，I，J， K 的大小关系是 IKJ。因此选 B。【知识模块】 一
7、元函数积分学3 【正确答案】 D【试题解析】 由于当 x(，2)时，sinx0，可知 2 sinxdx0，则I2I 10，因此 I1I 2。又由于 对23 sinxdx 作变量代换 t=x，得由于当 x(，2)时 sinx0， 0，可知 3 sinxdx0，即 I3I 10，可知I3I 1。综上所述有 I2I 1I 3，故选 D。【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 B【试题解析】 由于 f“(x)0，可知函数 f(x)是凹函数，也即 f(x)f(0)+f(1)f(0)x=2x 1，x(0 ，1)， 因此 01f(x)dx 01(2x1)dx=0。 同理 f(x)f(0)+f(0)f(
8、1)x= 2x1，x (1，0)， 因此 1 0f(x)dx 1 0(2x1)dx=0， 从而 1 1f(x)dx=1 0f(x)dx+01f(x)dx0，故选 B。【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 D【试题解析】 x=0 和 x=1 可能是被积函数 的瑕点，所以将原积分拆成考虑点 x=0，注意到因为 m，n 是正整数，所以 1 恒成立，故01 2 dx 收敛，于是由比较判别法的极限形式可知 012 dx 也收敛。考虑点 x=1，取函数 ，其中 0p1，由于而 12 1 dx 收敛，所以由比较判别法的极限形式可知， 12 1 dx 也收敛。综上所述， 01dx 的收敛性与 m，n
9、的取值都无关。故选 D。【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 D【试题解析】 易知， 1+f(x)dx 其中1e =0e1 dtt 1 当且仅当 11 时才收敛。而第二个反常积分e+1xln +1xdx=1+etdt ett +1=1+1t +1dt，当且仅当 0 时才收敛。从而当且仅当 02 时，反常积分 1+f(x)dx 收敛。故应选 D。【知识模块】 一元函数积分学二、填空题7 【正确答案】 1【试题解析】 当 x0，2时，f(x)=2(x1)dx=x 22x+C，因为 f(x)为奇函数，则f(0)=0，可得 C=0，即 f(x)=x22x。又 f(x)是周期为 4 的奇函数，故
10、 f(7)=f(1)=f(1)=1。【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 8【试题解析】 由题设知 2 2 (x3+sin2x)cos2xdx= 2 2 x3cos2xdx+2 2 sin2xcos2xdx。在区间2，2 上，x3cos2x 是奇函数，sin 2xcos2x 是偶函数，故2 2 x3cos2xdx=0， 2 2 sin2xcos2xdx=202 sin2xcos2xdx所以，原式=2 2 x3cos2xdx+2 2 sin2xcos2xdx=202 sin2xcos2xdx=02 sin12 22xdx=14 02 (1cos4x)dx【知识模块】 一元函数积分学9 【
11、正确答案】 0【试题解析】 方法一：令In=ex sinnxdx=e x sinnx+nex cosnxdx=e x sinnxne x cosnxn 2In。所以In= ex +C。即有方法二：01ex sinnxdx1n 01ex dcosnx=1ne x cosnx|011n 01ex cosnxdx=1n 01ex cosnxdx，那么|01ex cosnxdx|01|excosnx|1，即有界。则1n 01ex cosnxdx=0，故 01ex cosnxdx=0。【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 3【试题解析】 作积分变量替换，令 =t，x 2=t2，dx=2tdt，
12、【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 2【试题解析】 方法一：令 x=sect，则1+ =02 secttantsect tantdt= 02 dt=2。【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 4【试题解析】 令 x=sint，则【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 12【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 2【试题解析】 1= +ek|x|dx=20+ekxdx=2 1ke kx|0b。因为极限存在，所以k0。从而得 1=0 。所以 k=2。【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 1【试题解析】 +(x)dx= 00dx+0+xex
13、 dx= 0+xd(ex ) =xe x |0+0+ex dx=e x | 0+=1。【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 已知等式 0f(x)f1 (t)dt=0xt dt，两边对 x 求导得 f1 (f(x)f(x) 两边积分得 f(x)=ln(sinx+cosx)+C，(*)将 x=0 代入题中方程可得 0f(0)f1 (t)dt=00t dt=0。因为 f(x)是区间0，4 上的单调、可导的函数，则 f1 (x)的值域为0，4，单调非负，所以f(0)=0。代入(*) 式可得 C=0，故 f(x)=ln(sinx+cosx)。【
14、知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 方法一：令 =t，得【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 () 令 f(t)=ln(1+t)t，则当 0t1 时，f(t)= 10，故当0t1 时，f(t)f(0)=0。所以 0ln(1+t)t1，从而1n(1+t) ntn(n=1，2，)。又由|lnt|0，得 01|lnt|ln(1+t)ndt 01tn|lnt|dt(n=1，2，)。()由( )知，0un=01|lnt|ln(1+t)ndt01tn|lnt|dt，因为 01tn|lnt|dt= 01tn(lnt)dt所以 01tn|lnt|dt=0。由夹逼定理得01|lnt|ln(1
15、+t)ndt=0。【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 先写出面积 S(t)的(分段)表达式。当 0t 1 时，图形为三角形，利用三角形的面积公式：S(t)=12t 2；当 1t2 时，图形面积可由正方形面积减去小三角形面积，其中由于 x+y=t 与 y=1 交点的横坐标为 t1，于是，小三角形的边长为：1(t1)=2t，所以 S(t)=1 (2t) 2=1 (t24t+4)= t2+2t1；当t2 时，图形面积就是正方形的面积：S(t)=1，则当 0x1 时， 0xS(t)dt=0x12t 2dt=(12t 33)| 0x=x36；当 1x2 时， 0xS(t)dt=01S(t)d
16、t+1xS(t)=0112t 2dt+1x1 (t2) 2dt当 x2 时， 0xS(t)dt=02S(t)dt+2xS(t)dt=1+2x1dt=x1。因此，【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 当1x0 时，F(x)= 1 xf(t)dt=(t2+ t3)|1 x 当0x1 时，F(x)= 1 xf(t)dt=1 0f(t)dt+0xf(t)dt=(t2+ t3)1 0+0x dt【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 f(x+)= x+x+32 |sint|dt，设 t=u+，则有 f(x+)= xx+2 |sin(u+)|du=xx+2 s
17、inu|du=f(x)， 故 f(x)是以 为周期的周期函数。【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 因为|sinx|周期为 ，故只需在0，上讨论 f(x)的值域。因为 f(x)=|sin(x+ )|sinx|=|cosx|sinx|，令 f(x)=0，得 x1=4，x 2=34，且 f(4)=4 34 sintdt= f(34)= 34 54 |sint|dt=34 54 sintdt 54 sintdt=2 又f(0)=02 sintdt=1=f()=32 (sint)dt=1因此 f(x)的最小值是 2 ，最大值是，所以 f(x)的值域是2 。【知识模块】 一元函数积分学23 【
18、正确答案】 由题设图形知， f(0)=0，f(0)=2；f(3)=2 ，f(3)=2，f“(3)=0 。 由分部积分法，知 03(x2+x)f“(x)dx=03(x2+x)df“(x)=(x2+x)f“(x)|03 03f“(x)(2x+1)dx =03(2x+1)df(x)=(2x+1)f(x)| 03+203f(x)dx =16+2f(3)f(0)=20 。【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 |xx 2|=|x(1x)| =arcsin(2x1)| 12 1+ln(sect+tant)|03 其中，=arcsin(2x1)| 12 1=2。=03 sectdt=ln(sect+
19、tant)|03 =ln(2+ )。【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 1+arctanxx 2dx= 1+arctanxd(1x)=1 xarctanx|1+1+1 x dx【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 方法一：由于 故 01 dx 是反常积分。令 arcsinx=t，有 x=sint， t0，2) ，=12x 2(arcsinx)2|01 01x(arcsinx)2dx= 01x(arcsinx)2dx。令 arcsinx=t，有x=sint，t0 ，2)， 01x(carcsinx)2dx=1 202 t2sin2tdt=14 02 t2dcos2t=14(t 2cos2t)|02 + 02 tcos2tdt因此，原式=【知识模块】 一元函数积分学
