1、考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 30 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 二元函数 f(x，y)在点(0，0)处可微的一个充要条件是 ( )2 设函数 f(x， y)可微，且对任意 x，y，都有 则使不等式f(x1，y 1)f(x 2，y 2)成立的一个充分条件是( )（A）x 1x 2，y 1y 2。（B） x1x 2，y 1y 2。（C） x1x 2，y 1y 2。（D）x 1x 2，y 1y 2。3 设函数 u(x，y)=(x+y)+(x y)+ xy x+y(t)dt，其中函数 具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有( )4 设函数 z(
2、x，y)由方程 F(yx，z x)=0 确定，其中 F 为可微函数，且 F20，则x =( )（A）x。（B） z。（C） x。（D）z。5 设 z=yxf(xy)，其中函数 f 可微，则 =( )（A）2yf(xy)。（B） 2yf(xy)。（C） 2xf(xy) 。（D）2x(xy) 。6 已知函数 f(x，y)=e x(xy)，则( )（A）f xf y=0。（B） fx+fy=0。（C） fxf y=f。（D）f x+fy=f。7 设函数 z=f(x，y)的全微分为 dz=xdx+ydy，则点(0，0)( )（A）不是 f(x，y)的连续点。（B）不是 f(x，y) 的极值点。（C）是
3、 f(x，y) 的极大值点。（D）是 f(x， y)的极小值点。8 设函数 f(x)，g(x) 均有二阶连续导数，满足 f(0) 0，g(0)0，f(0)=g(0)=0，则函数 z=f(x)g(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是( )（A）f“(0)0，g“(0)0。（B） f“(0)0，g“(0)0。（C） f“(0)0，g“(0)0。（D）f“(0)0，g“(0)0。9 设 f(x，y)与 (x，y) 均为可微函数，且 y(x，y)0 ，已知(x 0，y 0)是 f(x，y)在约束条件 (x，y)=0 下的一个极值点，下列选项正确的是( )（A）若 fx(x0，y 0)=0，则
4、 fy(x0，y 0)=0。（B）若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)0。（C）若 fx(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)=0。（D）若 fx(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)0。10 设函数 u(x，y) 在有界闭区域 D 上连续，在 D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足 =0，则( )（A）u(x ，y)的最大值和最小值都在 D 的边界上取得。（B） u(x，y)的最大值和最小值都在 D 的内部取得。（C） u(x，y)的最大值在 D 的内部取得，最小值在 D 的边界上取得。（D）u(x ，y)的最小值在 D 的内部取得，最大值在 D 的边界上取得。二
5、、填空题11 设函数 z=z(x，y)由方程 z=e2x3z +2y 确定，则 3 =_。12 设 f(u，v)是二元可微函数，z=f(yx，xy)，则 x =_。13 设 z=(yx) xy ，则 |(1，2) =_。14 设 z=f(lnx+ )，其中函数 f(u)可微，则 x =_。15 设 z=z(x，y)是由方程 e2yz+x+y2+z=74 确定的函数，则 dz|(12，12) =_。16 若函数 z=z(x，y)由方程 ex+2y+3z+xyz=1 确定，则 dz|(0，0) =_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 设 z=f(x2y 2，e xy)，其中
6、f 具有连续二阶偏导数，求18 设 z=f(x+y，xy，xy) ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 dz 与19 设函数 u=f(x，y) 具有二阶连续偏导数，且满足等式 4 =0，确定 a，b 的值，使等式在变换 =x+ay，=x+by 下化简为 =0。20 设函数 z=fxy，yg(x)，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数 g(x)可导，且在x=1 处取得极值 g(1)=1，求21 已知函数 f(x，y)满足 =2(y+1)，且 f(y，y)=(y+1) 2(2y)lny，求曲线 f(x，y)=0 所围成的图形绕直线 y=1 旋转所成旋转体的体积。22 设函数 f(u，v)具有二阶连
7、续偏导数，y=f(e x，cosx)，求 dydx| x=0，d 2ydx 2|x=023 求函数 f(x，y)=x 的极值。24 已知函数 f(x，y)满足 f“xy(x，y)=2(y+1)e x，f x(x，0)=(x+1)e x，f(0，y)=y 2+2y，求f(x，y)的极值。25 已知函数 z=z(x，y)由方程(x 2+y2)z+lnz+2(x+y+1)=0 确定，求 z=z(x，y)的极值。26 求函数 u=x2+y2+z2 在约束条件 z=x2+y2 和 x+y+z=4 下的最大值与最小值。27 求曲线 x3xy+y 3=1(x0，y0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。2
8、8 已知函数 x=f(x，y) 的全微分 dz=2xdx2ydy，并且 f(1，1)=2 。求 f(x，y)在椭圆域 D=(x，y)|x 2+ 1上的最大值和最小值。考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 30 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 选项 A 证明 f(x，y)在点(0 ，0)处连续。选项 B 证明两个一阶偏导数fx(0，0)=0，f y(0，0)=0 存在，因此 A、B 均不能保证 f(x，y)在点(0，0)处可微。选项 D 只能得到两个一阶偏导数 fx(0，0)，f y(0，0)存在，但不能推导出两个一阶偏
9、导函数 fx(x，y)，f y(x， y)在点(0，0)处连续，因此也不能保证 f(x，y)在点(0，0)处可微。由选项 C 中极限式 可知 f(x，y)f(0，0)=o( )=0x+0y+0( )，其中 = 。对照全微分定义，相当于 x0=0，y 0=0，x=x，y=y，A=0，B=0。可见 f(x，y) 在(0，0)点可微，故选择 C。【知识模块】 多元函数微分学2 【正确答案】 D【试题解析】 由题干可知， 表示函数 f(x，y)关于变量 x是单调递增的，关于变量 y 是单调递减的。因此，当 x1x 2，y 1y 2 时，必有f(x1，y 1)f(x 2，y 2)，故选 D。【知识模块】
10、 多元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 因为 =(x+y)+(xy)+(x+y) (xy)， =(x+y)(x y)+(x+y)+(xy)。于是 =“(x+y)+“(xy)+(x+y) (x y) ，=“(x+y)“(x y)+(x+y)+(xy)， =“(x+y)+“(xy)+(zx+y)(xy)。可见有 ，应选 B。【知识模块】 多元函数微分学4 【正确答案】 B【试题解析】 等式两边求全微分得 F1d(yx)+F 2d(zx)=0，F1(xdyydx)+F2(xdzzdx)=0。【知识模块】 多元函数微分学5 【正确答案】 A【试题解析】 由偏导公式可知，=1xf(xy)+yf
11、(xy)+ f(xy)+yf(xy)=2yf(xy)。故应选 A。【知识模块】 多元函数微分学6 【正确答案】 D【试题解析】 由复合函数求导法则 故fx+fy=f。【知识模块】 多元函数微分学7 【正确答案】 D【试题解析】 因 dz=xdx+ydy 可得 =y，又在(0，0)处，=0，ACB 2=10。故(0，0)为函数 z=f(x，y)的一个极小值点。因此正确选项为 D。【知识模块】 多元函数微分学8 【正确答案】 A【试题解析】 由 z=f(x)g(y)，得由于 |(0，0) =f(0)g(0)=0， |(0，0) =f(0)g(0)=0，f(0)0，g(0)0。只有 f“(0)0，g
12、“(0)0 时，ACB 20，且 A0，此时 z=f(x)g(y)在点(0，0)处取得极小值，因此选项 A 是正确的。【知识模块】 多元函数微分学9 【正确答案】 D【试题解析】 构造拉格朗日函数 F(x，y，)=f(x，y)+(x，y)，并记对应 x0，y 0的参数 的值为 0，可知，如果fx(x0，y 0)0，则可以得到 00，又由于 y(x0，y 0)0，从而有 fy(x0，y 0)0，故选D。【知识模块】 多元函数微分学10 【正确答案】 A【试题解析】 记 A= ，则由已知，B0，A，C 互为相反数，则=ACB 20，所以 u(x，y)在 D 内无极值，则最值在边界处取得。故选 A。
13、【知识模块】 多元函数微分学二、填空题11 【正确答案】 2【试题解析】 方法一：在 z=e2x3z +2y 的两边分别对 x，y 求偏导，可得：方法二：利用全微分公式，得 dz=e2x3z (2dx3dz)+2dy=2e2x3z dx+2dy3e 2x3z dz，从而3 =2。【知识模块】 多元函数微分学12 【正确答案】 【试题解析】 本题为二元复合函数求偏导，直接利用多元复合函数的求导公式即可。利用求导公式可得【知识模块】 多元函数微分学13 【正确答案】 【试题解析】 把 y=2 代入可得 z=(2x) x2 ，取对数恒等变形可得 z= ，则【知识模块】 多元函数微分学14 【正确答案
14、】 0【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学15 【正确答案】 12(dx+dy)【试题解析】 在 e2yz+x+y2+z=74 方程两边分别对 x，y 求偏导，得当 x=12，y=1 2 时，z=0，则【知识模块】 多元函数微分学16 【正确答案】 13(dx+2dy)【试题解析】 直接在方程两端对 x，y 求偏导数有则 dz|(0，0) =13(dx+2dy)。【知识模块】 多元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 =2xf1+yexyf2， =2yf 1+xexyf2， =2xf“11(2y)+f“12 xexy+exyf2+xyexyf2+
15、yexyf“21( 2y)+f“ 22xe xy=4xyf“ 11+2(x2y 2)exyf“12+xye2xyf“22+exy(1+xy)f2。【知识模块】 多元函数微分学18 【正确答案】 =f1+f2+f3， =f1f 2+xf3，所以=(f1+f2+yf3)dx+(f1f 2+xf3)dy， =f“111+f“ 12(1)+f“13 x+f“211+f“ 22(1)+f“ 23x+f 3+yf“311+f“ 32(1)+f“ 33x=f3+f“11xyf“ 33+(x+y)f“13+(xy)f“ 23。【知识模块】 多元函数微分学19 【正确答案】 根据已知，有 将以上各个式子代入等式
16、，可得(5a 2+12a+4) +10ab+12(a+b)+8 +(5b2+12b+4) =0。根据10ab+12(a+b)+80，舍去 因此可知， a=2，b= 25 或a=25，b=2。【知识模块】 多元函数微分学20 【正确答案】 =f1y+f 2yg(x) ，因为 g(x)可导且在 x=1 处取极值，因此可得 g(1)=0。又因 g(1)=1， |x=1=f1y，yg(1)y=f1(y，y)y，故 =ddyyf 1(y，y)| y=1=f1(1，1)+f“ 11(1，1)+f“ 12(1，1)。【知识模块】 多元函数微分学21 【正确答案】 因为 =2(y+1)，所以有 f(x，y)=
17、y 2+2y+(x)，其中 (x)为待定函数。又因为 f(y，y)=(y+1) 2(2y)lny=y 2+2y+1 (2y)lny，则 (y)=1(2y)lny，从而 f(x，y)=y 2+2y+1(2x)lnx=(y+1) 2(2x)lnx。令 f(x，y)=0，可得(y+1)2=(2x)lnx，当 y= 1 时，得 x=1 或 x=2，从而所求的体积为 V=12(y+1)2dx=12(2x)lnxd(2x )=2x )lnx|11 12(2 )dx=2ln2(2x )|12=ln2 54=(2ln2 )。【知识模块】 多元函数微分学22 【正确答案】 由复合函数求导法则可得 dydx=f
18、1xex+f2(sinx)， d2ydx 2=exf1+exddx(f 1)cosxf 2sinx ddx(f 2) =exf1+ex(f“11exf“ 12sinx)cosxf 2sinx(f“ 21exf“ 22sinx) =exf1cosxf 2+e2xf“112e xsinxf“21+sin2xf“22， 故dydx| x=0=f1(1，1)，d 2ydx 2|x=0=f1(1，1)f 2(1，1)+f“ 11(1，1)。【知识模块】 多元函数微分学23 【正确答案】 对于函数 f(x，y)=x ，先求函数的驻点：令解得驻点为(1，0)，(1，0)。又 f“xx=x(x23)，f“ x
19、y=y(1 x 2) ，f“ yy=x(1y 2) 对点(1，0)，有 A1=f“xx(1，0)=2e 12 ，B 1=f“xy(1，0)=0 ，C 1=f“yy(1，0)= e 12 ，所以，A1C1B 12 0，A 10，故 f(x，y)在点(1，0)处取得极大值 f(1，0)=e 12 。对点(1， 0)，有 A2=f“xx(1 ，0)=2e 12 ，B 2=f“xy(1，0)=0，C 2=f“yy(1，0)=e12 ，所以，A 2C2B 220，A 20，故 f(x，y)在点(1，0)处取得极小值f(1，0)=e 12 。【知识模块】 多元函数微分学24 【正确答案】 先求出 f(x，
20、y)。对函数 f“xy(x，y)两端对 y 求不定积分，可得fx(x，y)=(y 2+2y)ex+1(x)。由于 fx(x，0)=(x+1)e x，所以有 1(x)=(x+1)ex，f x(x，y)=(y2+2y)ex+(x+1)ex。再对函数 fx(x，y)两端对 x 求不定积分，可得 f(x，y)=(y 2+2y)ex+xex+2(y)。由于 f(0，y)=y 2+2y，所以有 2(y)=0，f(x，y)=(y 2+2y)ex+xex。下面求 f(x，y)的极值。 解得x=0，y=1，而 A=f“xx(0，1)=1，B=f“ xy(0，1)=0，C=f“ yy(0，1)=2。由于ACB 2
21、0， A0，所以取得极小值 f(0，1)= 1。【知识模块】 多元函数微分学25 【正确答案】 在已知方程两边分别同时对 x 和 y 求偏导得 2xz+(x2+y2)+2=0，(1)2yz+(x 2+y2) +2=0， (2)令 =0 得x=1 z，y=1z。代入方程(x 2+y2)z+lnz+2(x+y+1)=0 可得，lnz +2=0，解得z=1，故 x=y=1。方程(1)(2) 两边再分别同时对 x，y 求导，得将x=1， y= 1，x=1， =0 代入，可得由ACB 20， A0 可知，z(1，1)=1 为极大值。【知识模块】 多元函数微分学26 【正确答案】 作拉格朗日函数 F(x，
22、y，z，)=x 2+y2+z2+(x2+y2z)+(x+y+z4)，令 解方程组得(x 1，y 1，z 1)=(1，1，2)，(x2，y 2，z 2)=(2，2，8)。故所求的最大值为(2) 2+(2) 2+82=72，最小值为12+12+22=6。【知识模块】 多元函数微分学27 【正确答案】 构造函数 L(x，y)=x 2+y2+(x3xy+y 31)。令得唯一驻点 M1(1， 1)。考虑边界上的点 M2(0，1)，M3(1，0) ；距离函数为 f(x，y)= 在三点的取值分别为 f(1，1)= ，f(0 ，1)=1，f(1，0)=1，所以最长距离为 ，最短距离为 1。【知识模块】 多元函
23、数微分学28 【正确答案】 由题设可知 于是 f(x，y)=x 2+C(y)，且 C(y)=2y，从而 C(y)=y 2+C，再由 f(1，1)=2 ，得 C=2，故 f(x，y)=x 2y 2+2。令=0 得可能极值点为(0，0) 。再考虑其在边界曲线 x2+ =1 上的情形。作拉格朗日函数 F(x，y，)=f(x，y)+(x 2+ 1)，解得得可能极值点(0，2)，(0，2)，(1，0)，(1， 0)。将上述各点代入 f(x，y)得 f(0，0)=2，f(0，2)=2，f(1，0)=3，可见z=f(x，y)在区域 D=(x，y)|x 2+ 1)内的最大值为 3，最小值为2。【知识模块】 多元函数微分学
