1、考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 22 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)=arctanx，若 f(x)=xf()，则 2x 2=( )（A）1。（B） 23。（C） 12。（D）13。2 设 an=32 0n(n+1) xn1 dx，则极限 nan 等于( )（A）(1+e) 32 +1。（B） (1+e1 )32 1。（C） (1+e1 )32 +1。（D）(1+e) 32 1。3 （A） 12ln2xdx。（B） 212lnxdx。（C） 212ln(1+x)dx。（D） 12ln2(1+x)dx。4 （A） 01dx0x
2、 dy。（B） 01dx0x dy。（C） 01dx01 dy。（D） 01dx01 dy。二、填空题5 6 7 8 9 10 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设函数 f(x)连续，且 f(0)0，求极限12 13 14 15 16 已知函数 试求 的取值范围。17 17 已知函数 f(x)= f(x)。18 求 a 的值；19 若 x0 时，f(x)a 与 xk 是同阶无穷小量，求常数 k 的值。20 求极限 (cos2x+2xsinx)x14 。21 设函数 S(x)=0x|cost|dt。()当 n 为正整数，且 nx(n+1) 时，证明 2nS(x)2(n+1)
3、；( )求 S(x)x。22 23 设 f(x)是区间0，+)上单调减少且非负的连续函数，a n= f(k) 1nf(x)dx(n=1，2，)，证明数列 an的极限存在。24 设 0x 13，x n+1= (n=1，2，) ，证明：数列 xn的极限存在，并求此极限。24 设数列x n满足 0x 1 ，x n+1=sinxn(n=1，2，)。25 证明 xn 存在，并求该极限；26 27 ()证明：对任意的正整数 n，都有 成立；()设 an=1+lnn(n=1，2 ，) ，证明数列a n收敛。28 ()证明方程 xn+xn1 +x=1(n 为大于 1 的整数 )在区间(12，1)内有且仅有一个
4、实根；()记()中的实根为 xn，证明 xn 存在，并求此极限。29 设函数 f(x)=lnx+ ()求 f(x)的最小值；( )设数列 xn满足 lnxn+ 1，证明xn 存在，并求此极限。考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 22 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 故选 D。【知识模块】 函数、极限与连续2 【正确答案】 B【试题解析】 因为=1n(1+x n)32 |0n(n+1)=1 n1+( )n32 1，所以=(1+e1 )32 1。【知识模块】 函数、极限与连续3 【正确答案】 B【试题解析】 由题干可知，
5、=201ln(1+x)dx 212lntdt=212lnxdx。故选 B。【知识模块】 函数、极限与连续4 【正确答案】 D【试题解析】 =01dx01dy。【知识模块】 函数、极限与连续二、填空题5 【正确答案】 16【试题解析】 方法一：本题为 00 未定型极限的求解，利用洛必达法则即可。方法二：泰勒公式。【知识模块】 函数、极限与连续6 【正确答案】 【试题解析】 由于 因此原式=e ln22 =【知识模块】 函数、极限与连续7 【正确答案】 e 12【试题解析】 因此原式=e 12 。【知识模块】 函数、极限与连续8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限与连续9 【正确
6、答案】 4【试题解析】 =arctanx|01=4。【知识模块】 函数、极限与连续10 【正确答案】 sin1cos1【试题解析】 由定积分的定义=01xsinxdx=sin1cos1。【知识模块】 函数、极限与连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 由于 0xf(xt) x0f(u)(du)= 0xf(u)du，于是【知识模块】 函数、极限与连续12 【正确答案】 =16。方法二：因 sinx=x x3+o(x3)，sin(sinx)=sinx sin3x+o(sin3x)。则【知识模块】 函数、极限与连续13 【正确答案】 方法一：当 x0 时，1cosx
7、12x 2，sin 4xx 4，则【知识模块】 函数、极限与连续14 【正确答案】 先对变上限积分 0x etdt 作变量代换 u=xt，得0x etdt=x0 exu (du)=e x0x eu du。则由洛必达法则可得【知识模块】 函数、极限与连续15 【正确答案】 由对数恒等式【知识模块】 函数、极限与连续16 【正确答案】 当 0 时， F(x)=+。当 0 时，所以当 10 时，有 F(x)=+。当 1 时，有根据题意 F(x)=0，得 1。又因根据题意 F(x)=0，得 3。综上所述 13。【知识模块】 函数、极限与连续17 【正确答案】 当 x+ 时，ln(1+ )与 1x 是等
8、价无穷小量，于是【知识模块】 函数、极限与连续【知识模块】 函数、极限与连续18 【正确答案】 即a=1。【知识模块】 函数、极限与连续19 【正确答案】 当 x0 时，有又因为当 x0 时，xsinx1 6x 3 等价，故=16x+o(x)16x。即k=1。【知识模块】 函数、极限与连续20 【正确答案】 =e13 ，其中，cos2x 12sin 2x，且用到的等价无穷小替换有：x0 时ln(1+x)x，xsinx1 6x3。【知识模块】 函数、极限与连续21 【正确答案】 () 因为|cosx|0，且 nx(n+1)，所以0n|cosx|dx0x|cosx|dx 0(n+1)|cosx|d
9、x(定积分的性质)。又因为|cosx|的周期是 ，所以在长度为 的积分区间上的积分值均相等，则0n|cosx|dx=0|cosx|dx+2|cosx|dx+ (n1)n|cosx|dx=n0|cosx|dx=n(02 cosxdx 2 nncosxdx)=n(sinx|02 sinx| 2 )=n1(0 1)=2n，所以 0(n+1)|cosx|dx=2(n+1)。所以 2n0x|cosx|dx2(n+1)，即2nS(x)2(n+1) 。() 由()有，当 nx(n+1) 时，由夹逼定理，得 S(x)x=2。【知识模块】 函数、极限与连续22 【正确答案】 1【试题解析】 原式= )=01xl
10、n(1+x)dx，再由分部积分法可得01xln(1+x)dx=12 01ln(1+x)d(x21)=12 01(x1)dx=14(x1) 2|01=14。【知识模块】 函数、极限与连续23 【正确答案】 利用单调有界必有极限的准则来证明。先将 an 形式化简，因为1nf(x)dx=12f(x)dx+23f(x)dx+ n1 nf(x)dx= kk+1f(x)dx，所以 an= kk+1f(k)f(x)dx+f(n)，又因为 f(x)单调减少且非负，kxk+1 ，所以有 故 an0；又因为an+1a n= f(k) 1n+1f(x)dx f(k) 1nf(x)dx= f(k) 1n+1f(x)d
11、x 1nf(x)dx=f(n+1) nn+1f(x)dx=nn+1f(n+1)f(x)dx0，所以a n单调减少，因为单调有界数列必有极限，所以 an 存在。【知识模块】 函数、极限与连续24 【正确答案】 由 0x 13，知 x1，3x 1 均为正数，故0x 2= 12(x 1+3x 1)=32。设 0 xk32(k1)，则 0x k+1=12(x k+3x k)=32。由数学归纳法知，对任意正整数 n1，均有0x n32，因而数列x n有界。又当 n1 时，x n+1x n因而有xn+1xn(n1) ，即数列x n单调增加。由单调有界数列必有极限，知 xn 存在。设xn=a，在 xn+1=
12、 两边取极限，得 a= ，解得 a=32，a=0(舍去)。故 xn=32。【知识模块】 函数、极限与连续【知识模块】 函数、极限与连续25 【正确答案】 先证明 0x n，n=1 ，2，3，：当 n=1 时，结论显然成立；假设当 n=k 时，结论成立，也即 0x k ，此时有 xk+1=sinxk0，同时也有sinxk1 ，因此，0x k+1。由数学归纳法可知，0x n，n=1，2，3，。再证明 xnx n+1，由于 xn0，可知 xn+1=sinxnx n，从而x n是单调递减的。由单调有界收敛定理可知，极限 xn 存在。令 xn=a，在等式 xn+1=sinxn 两端同时令n可得 a=si
13、na，解得 a=0，也即 xn=0。【知识模块】 函数、极限与连续26 【正确答案】 因此，这是一个1n型的极限，运用重要极限计算可得【知识模块】 函数、极限与连续27 【正确答案】 () 令 1n=x ，则原不等式可化为 ln(1+x)x(x0)。先证明 ln(1+x)x(x 0)。令 f(x)=xln(1+x)。由于 f(x)=1 0(x0)，可知 f(x)在0， +)上单调递增。又由于 f(0)=0，因此当 x0 时，f(x) f(0)=0。也即ln(1+x)x(x 0)。再证明 ln(1+x)(x0)。令 g(x)=ln(1+x) 由于 g(x)=0(x0)，可知 g(x)在0，+)上
14、单调递增。由于 g(0)=0，因此当x0 时，g(x) g(0)=0。也即 ln(1+x)(x0) 。因此， ln(1+x)x(x 0)成立。再令 1n=x ，由于 n 为正整数，即可得到所需证明的不等式。()易知 an+1a n= 由不等式 可知，数列a n单调递减。又由不等式 ln(1+ )1n 可知：=ln(n+1)lnn0。因此数列a n是有界的。故由单调有界收敛定理可知数列a n收敛。【知识模块】 函数、极限与连续28 【正确答案】 () 令 f(x)=xn+xn1 +x1，则 f(1)0。因 f(12)=(1 2) n0，由零点定理得 f(x)=xn+xn1 +x1 在(12， 1
15、)上至少存在一个零点，则方程 xn+xn1 +x1 在区间(1 2，1)内至少有一个实根。又 f(x)=nxn1 +(n1)x n2 +2x+1 10，即 f(x)=xn+xn1 +x1 在(12，1)上是单调递增的，可知 f(x)=xn+xn1 +x1 在(12， 1)内最多只有一个零点。故方程 xn+xn1 +x=1 在区间(12，1)内有且仅有一个实根。() 由于 f(xn)=0，可知 xnn+xnn1 +xn1=0，(1)进而有xn+1n+1+xn+1n+xn+11=0，由于 xn+1n+10，则 xn+1n+xn+1n1 +xn+110，(2)比较(1)式与(2)式可知 xn+1x
16、n，故x n单调递减。又由于 12x n1，x n是有界的。由单调有界收敛定理可知， xn 存在。假设 xn=a，可知口x 2x 1=1。由等比数列求和公式，当 n时，【知识模块】 函数、极限与连续29 【正确答案】 ()f(x)= =(x1)x 2，令 f(x)=0，得唯一驻点 x=1，当x(0，1)时，f(x)0，函数单调递减；当 x(1，+)时，f(x)0，函数单调递增。所以函数在 x=1 处取得最小值 f(x)=1。()证明：由于 lnxn+ 1，但lnxn+ 1，所以 1x n+11x n，故数列x n单调递增。又由于lnxnlnxn+ 1，得到 0x ne，数列x n有界。由单调有界收敛定理可知极限xn 存在。令 xn=a，则 由()的结论可知xn=a=1。【知识模块】 函数、极限与连续
