1、考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 33及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：24，分数：56.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_函数 f(x)在0，+)上可导，f(0)=1 且满足等式 f(x)+f(x) （分数：4.00）(1).求导数 f(x)；（分数：2.00）_(2).证明：当 x0 时，成立不等式 e x f(x)1 成立。（分数：2.00）_2.利用代换 y=ucosx 将方程 y“cosx2ysinx+3ysinx=e x 化简，并求出原方程的通解。（分数：2.00）_3.设 y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任
2、意一点(x，y)处的曲率为 （分数：2.00）_4.某湖泊的水量为 V，每年排入湖泊内含污染物 A的污水量为 V6，流入湖泊内不含 A的水量为 V6，流出湖泊的水量为 V3，已知 1999年底湖中 A的含量为 5m 0 ，超过国家规定指标。为了治理污染，从2000年初起，限定排入湖泊中含 A污水的浓度不超过 m 0 V。问至多需要经过多少年，湖泊中污染物 A的含量降至 m 0 以内。(注：设湖水中 A的浓度是均匀的)（分数：2.00）_5.设函数 f(x)，g(x)满足 f(x)=g(x)，g(x)=2e x f(x)，且 f(0)=0，g(0)=2，求 0 （分数：2.00）_6.设 L是一
3、条平面曲线，其上任意一点 P(x，y)(x0)到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在 y轴上的截距，且 L经过点(12，0)。()试求曲线 L的方程；()求 L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与 L以及两坐标轴所围图形面积最小。（分数：2.00）_设函数 y=y(x)在(，+)内具有二阶导数，且 y0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数。（分数：4.00）(1).试将 x=x(y)所满足的微分方程 （分数：2.00）_(2).求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0，y(0)=23 的解。（分数：2.00）_设位于第一象限的曲线 y=f(x)过点( （分数：4.00）(1).求曲线
4、y=f(x)的方程；（分数：2.00）_(2).已知曲线 y=sinx在0，上的弧长为 l，试用 l表示曲线 y=f(x)的弧长 s。（分数：2.00）_7.用变量代换 x=cost(0t)化简微分方程(1x 2 )y“xy+y=0，并求其满足 y| x=0 =1，y| x=0 =2的特解。（分数：2.00）_设函数 f(u)在(0，+)内具有二阶导数，且 z=f( )满足等式 （分数：4.00）(1).验证 f“(u)+ （分数：2.00）_(2).若 f(1)=0，f(1)=1，求函数 f(u)的表达式。（分数：2.00）_8.设 y=y(x)是区间(，)内过( （分数：2.00）_9.设
5、函数 y=f(x)由参数方程 （分数：2.00）_10.设函数 y(x)具有二阶导数，且曲线 l：y=y(x)与直线 y=x相切于原点，记 a为曲线 l在点(x，y)处切线的倾角，若 ddx=dydx，求 y(x)的表达式。（分数：2.00）_11.设函数 f(u)具有二阶连续导数，z=f(e x cosy)满足 （分数：2.00）_12.设 y(x)是区间(0，32)内的可导函数，且 y(1)=0，点 P是曲线 l：y(x)上的任意一点。l 在 P处的切线与 y轴相交于点(0，Y p )，法线与 x轴相交于点(X p ，0)，若 X p =Y p ，求 l上点的坐标(x，y)满足的方程。（分
6、数：2.00）_13.设函数 y(x)(x0)二阶可导，且 y(x)0，y(0)=1。过曲线 y=y(x)上任意一点 P(x，y)作该曲线的切线及 x轴的垂线，上述两直线与 x轴所围成的三角形的面积记为 S 1 ，区间0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S 2 ，并设 2S 1 S 2 恒为 1，求此曲线 y=y(x)的方程。（分数：2.00）_14.如图，C 1 和 C 2 分别是 y=12(1+e x )和 y=e x 的图形，过点(0，1)的曲线 C 3 是一单调增函数的图形。过 C 2 上任一点 M(x，y)分别作垂直于 x轴和 y轴的直线 l x 和 l y 。记 C
7、1 ，C 2 与 l x 所围图形的面积为 S 1 (x)；C 2 ，C 3 与 l y 所围图形的面积为 S 2 (y)。如果总有 S 1 (x)=S 2 (y)，求曲线 C 3 的方程 x=(y)。 （分数：2.00）_15.设 f(x)是区间0，+)上具有连续导数的单调增函数，且 f(0)=1。对任意的 t0，+)，直线x=0，x=t，曲线 y=f(x)以及 x轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周生成一旋转体。若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的 2倍，求函数 f(x)的表达式。（分数：2.00）_16.从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度 y(从海平面算起)与
8、下沉速度v之间的函数关系。设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用。设仪器的质量为 m，体积为 B，海水比重为 ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为 k(k0)。试建立 y与 v所满足的微分方程，并求出函数关系式 y=y(v)。（分数：2.00）_17.一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积 S成正比，比例常数 K0。假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为 r 0 的雪堆在开始融化的 3小时内，融化了其体积的 78，问雪堆全部融化需要多少小时?（分数：2.00）_有一平底容器，其内侧壁是由曲线 x=(y)(y0)绕 y轴旋转
9、而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆的半径为 2m。根据设计要求，当以 3m 3 min 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以 m 2 min 的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)。(注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分。) （分数：4.00）(1).根据 t时刻液面的面积，写出 t与 (y)之间的关系式；（分数：2.00）_(2).求曲线 x=(y)的方程。（分数：2.00）_18.某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下来。 现有一质量为 9000kg的飞机，着陆时的水平速度为 700kmh。经测试，减
10、速伞打开后，飞机所受的阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 k=6010 6 )。问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少? 注：kg 表示千克，kmh 表示千米小时。（分数：2.00）_19.已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为 120的物体在 20的恒温介质中冷却，30min 后该物体的温度降至 30，若要将该物体的温度继续降至 21，还需冷却多长时间?（分数：2.00）_考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 33答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：24，分数：56.00)1.解答题解
11、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：函数 f(x)在0，+)上可导，f(0)=1 且满足等式 f(x)+f(x) （分数：4.00）(1).求导数 f(x)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：为了求 f(x)，将 f(x)+f(x) 0 x f(t)dt=0两边同乘(x+1)，得 (x+1)f(x)+(x+1)f(x)= 0 x f(t)dt=0， 两边对 x求导，得 f(x)+(x+1)f“(x)+f(x)+(x+1)f(x)f(x)=0， 即(x+1)f“(x)+(x+2)f(x)=0。 上述方程为二阶可降阶微分方程，令 u=f(x)，化为(x+1)u+(x+2)u=0，
12、即 即 ln|u|=(x+ln(x+1)+C 1 ，所以 再以 x=0代入原方程 f(0)+f(0) 0 0 f(t)dt=f(0)+f(0)=0，由 f(0)=1，有 f(0)=1，于是 C=1，f(x)= )解析：(2).证明：当 x0 时，成立不等式 e x f(x)1 成立。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一：用积分证。 f(x)=f(0)+ 0 x f(t)dt=1 0 x dt。 而 0 0 x dt 0 x e t dt=e t | 0 x =1e x ， 两边同乘以(1)，得： e x 1 0 x dt0， 即 e t f(x)=1 0 x dt1。 方法二：用微
13、分学方法证。 因 f(0)=1，f(x)0，即 f(x)单调递减，所以当 x0 时 f(x)1。 要证 f(x)e x ，可转化为证明 f(x)e x 0，令 (x)=f(x)e x ，则 (0)=11=0，且 (x)=f(x)+e x f(x)+ )解析：2.利用代换 y=ucosx 将方程 y“cosx2ysinx+3ysinx=e x 化简，并求出原方程的通解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一：由 y=ucosx=usecx，有 y=usecx+usecxtanx， y“=u“secx+2usecxtanx+u(secxtan 2 x+sec 3 x)， 代入原方程 y“
14、cosx2ysinx+3ycosx=e x ，得 u“+4u=e x 。(*) 先求其相应齐次方程的通解，由于其特征方程为 2 +4=0，则特征方程的根为=2i。所以通解为 (x)=C 1 cos2x+C 2 sin2x(C 1 ，C 2 为任意常数)。 再求非齐次方程的特解，特解应具有形式 u * (x)=Ae x ，代入(*)式，得 (Ae x )“+4Ae x =Ae x +4Ae x =5Ae x =e x ， 解得，A=15，因此 u * (x)=15e x 。 故(*)的通解为 u(x)=C 1 cos2x+C 2 sin2x+ e x (C 1 ，C 2 为任意常数)。 所以，原
15、微分方程的通解为 y=C 1 )解析：3.设 y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设及曲率公式，有 (因曲线 y=y(x)向上凸，y“0，|y“|=y“)，化简得 解得 arctany=x+C 1 。 由题设，曲线上点(0，1)处的切线方程为 y=1+x，可知 y(0)=1，y(0)=1。 以 x=0代入上式，得 C 1 =4。于是有 arctany=x+ ，故有 (上式中注明区间是4x34 的原因：本题中使正切函数有意义的区间有很多，一般可以写成 +2n，本题选择4x34 是因为题设曲线在 x=0处有值，又已知曲线
16、是一条连续曲线，因此解的范围应该包含 x=0在内并且使 y(x)连续的一个区间) 再积分得 又由题设可知 y(0)=1，代入确定 C 2 =1lncos ln2，于是所求的曲线方程为 由于 cos( x)1，且 lnx在定义域内是增函数，所以当且仅当 cos( x)=1 时，即 x=4 时 y取得最大值，由于4(4，34)，所以此时也是 y取极大值，极大值为 y=1+ )解析：4.某湖泊的水量为 V，每年排入湖泊内含污染物 A的污水量为 V6，流入湖泊内不含 A的水量为 V6，流出湖泊的水量为 V3，已知 1999年底湖中 A的含量为 5m 0 ，超过国家规定指标。为了治理污染，从2000年初
17、起，限定排入湖泊中含 A污水的浓度不超过 m 0 V。问至多需要经过多少年，湖泊中污染物 A的含量降至 m 0 以内。(注：设湖水中 A的浓度是均匀的)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设从 2000年初(相应 t=0)开始，第 t年湖泊中污染物 A的总量为 m，浓度为mV，则在时间间隔t，t+dt内，排入湖泊中 A的量为：m 0 VV6(t+dtt)=m 0 6dt，流出湖泊的水中 A的量为 mVV3dt=m3dt。 因而时间从 t到 t+dt相应地湖泊中污染物 A的改变量为dm=( )dt。由分离变量法求解： 两边求积分： )解析：5.设函数 f(x)，g(x)满足 f(x)=g(
18、x)，g(x)=2e x f(x)，且 f(0)=0，g(0)=2，求 0 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x)=g(x)，g(x)=2e x f(x)，得 f“(x)=g(x)=2e x f(x)，即 f“(x)+f(x)=2e x ， 此为二阶常系数线性非齐次方程，且右端呈 P m (x)e x 型(其中 P m (x)=2，=1)，对应的齐次方程为 f“(x)+f(x)=0，特征方程为 r 2 +1=0，对应的特征值为 r=i，于是齐次方程的通解为 y=C 1 cosx+C 2 sinx。 因为 =1r，所以设特解为 y * =ae x (a为实数)，(y * )“=a
19、e x ，代入 f“(x)+f(x)=2e x ，ae x +ae x =2e x ，所以 a+a=2，即 a=1，从而特解 y * =e x ， 非齐次方程的通解为 f(x)=C 1 cosx+C 2 sinx+e x ， 又 f(0)=0，所以，f(0)=C 1 cos0+C 2 sin0+e 0 =0 C 1 +1=0 C 1 =1， 又 f(x)=C 1 sinx+C 2 cosx+e x ，f(0)=g(0)=2，所以， f(0)=C 1 sin0+C 2 cos0+e 0 =C 2 +1=2 C 2 =1， 所以原方程的解为 f(x)=sinxcosx+e x 。 )解析：6.设
20、L是一条平面曲线，其上任意一点 P(x，y)(x0)到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在 y轴上的截距，且 L经过点(12，0)。()试求曲线 L的方程；()求 L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与 L以及两坐标轴所围图形面积最小。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()设曲线 L过点 P(x，y)的切线方程为 Yy=y(Xx)，令 X=0，则Y=xy+y，即它在 y轴上的截距为xy+y。 根据两点(x，y)，(x 0 ，y 0 )距离公式 d= 所以原点到点 P(x，y)的距离为 ，由题设 P(x，y)(x0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在 y轴上的截距，所以 此为一阶齐次
21、方程，按规范方法解之，令 y=ux，则 dydx=u+xdu，代入，方程变为 由题设曲线经过点(12，0)，代入得 0+ =C，则 C=12，故所求方程为 ()由()知 y= x 2 ，则 y=2x，点 P(x，y)=P(x， x 2 )，所以在点 P处的切线方程为 Y( x 2 )=2x(Xx)， 分别令 X=0，Y=0，解得在 Y轴，x 轴上的截距分别为 x 2 + 此切线与两坐标轴围成的三角形面积为 A(x)=12( )=164x(4x 2 +1) 2 ，x0。 由于该曲线在第一象限中与两坐标轴所围成的面积为定值，记 S 0 ，于是题中所要求的面积为 S(x)=A(x)S 0 =164x
22、(4x 2 +1) 2 S 0 ， 求最值点时与 S 0 无关，以下按微分学的办法求最值点。 根据极值存在的第一充分条件：设函数 f(x)在 x 0 处连续，且在 x 0 的某去心 邻域内可导，若 x(x 0 ，x 0 )时，f(x)0，而 x(x 0 ，x 0 +)时，f(x)0，则 f(x)在 x 0 处取得极大值，知：x= 是 S(x)在x0 处的唯一极小值点，即最小值点。 于是所求切线方程为： )解析：设函数 y=y(x)在(，+)内具有二阶导数，且 y0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数。（分数：4.00）(1).试将 x=x(y)所满足的微分方程 （分数：2.00）_正确答案：
23、(正确答案：由反函数的求导公式知 dxdy=1y，于是有 )解析：(2).求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0，y(0)=23 的解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程(*)所对应的齐次方程 y“y=0 的通解为 Y=C 1 e x +C 2 e x 。 设方程(*)的特解为 y * =Acosx+Bsinx， 代入方程(*)，求得 A=0，B=12， 即 y * =12sinx， 因此y“y=sinx 的通解是 y=Y+y * =C 1 e x +C 2 e x sinx。 由 y(0)=0，y(0)=32，得 C 1 =1，C 2 =1。 故所求初值问题的解为 y=e
24、x e x )解析：设位于第一象限的曲线 y=f(x)过点( （分数：4.00）(1).求曲线 y=f(x)的方程；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 y=f(x)在点 P(x，y)处的法线方程为 Yy=1y(Xx)， 其中(X，Y)为法线上任意一点的坐标。令 X=0，则 Y=y+ 故 Q点的坐标为(0，y+ )，由题设知 12(y+y+ )=0， 即 2ydy+xdx=0。 积分得 x 2 +2y 2 =C(C为任意常数)。 由 y )解析：(2).已知曲线 y=sinx在0，上的弧长为 l，试用 l表示曲线 y=f(x)的弧长 s。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线
25、 y=sinx在0，上的弧长为 曲线 y=f(x)的参数方程为 令 t=u，则 )解析：7.用变量代换 x=cost(0t)化简微分方程(1x 2 )y“xy+y=0，并求其满足 y| x=0 =1，y| x=0 =2的特解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题干可知， 代入原方程，得 +y=0。 解此微分方程，得 y=C 1 cost+C 2 sint=C 1 x+C 2 将 y| x=0 =1，y| x=0 =2代入，可得 C 1 =2，C 2 =1。 故满足条件的特解为 y=2x+ )解析：设函数 f(u)在(0，+)内具有二阶导数，且 z=f( )满足等式 （分数：4.00）
26、(1).验证 f“(u)+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 u= ，则 )解析：(2).若 f(1)=0，f(1)=1，求函数 f(u)的表达式。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(u)=p，则 p+ )解析：8.设 y=y(x)是区间(，)内过( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当x0 时，曲线上任一点处切线的斜率为 y。因为该点处的法线过原点，所以 y=1y，即 ydy=xdx，两边积分可得 y 2 =x 2 +C。 将 y( 代入 y 2 =x 2 +C可得C= 2 ，则 y= 当 0x 时，y“+y=x，其对应的齐次线性微分方程 y+y=0的特征方
27、程为 2 +1=0，解得 =i，故 y“+y=0的通解为 y=C 1 cosx+C 2 sinx。 因为 0不是特征根，所以设 y“+y=x的特解为 y * =ax+b，代入 y“+y=x 可得 a=1，b=0，故方程 y“+y=x 的通解为 y=C 1 cosx+C 2 sinxx。 由 y(x)是(，)内的光滑曲线可知，y(x)在分段点 x=0处连续且可导，而 所以 C 1 =，C 2 =1。综上， )解析：9.设函数 y=f(x)由参数方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 从而可得 (1+t)“(t)(t)=3(1+t) 2 ， 即 “(t) (t)=3(1+t)。 设
28、u=(t)，则有下列结论， u u=3(1+t)， 由公式可得： =(1+t)3(1+t)(1+t) 1 dt+C 1 =(1+t)(3t+C 1 )， 由 u| t=1 =(1)=6，可得 C 1 =0，因此 (t)=3t(1+t)， (t)=3(t+t 2 )dt=3( t 3 )+C 2 = t 2 t 3 +C 2 ， 由 (1)=52，可得 C 2 =0因此 (t)= )解析：10.设函数 y(x)具有二阶导数，且曲线 l：y=y(x)与直线 y=x相切于原点，记 a为曲线 l在点(x，y)处切线的倾角，若 ddx=dydx，求 y(x)的表达式。（分数：2.00）_正确答案：(正确
29、答案：dydx=tan，两边对 x求导得 sec 2 ddx=y“，即(1+y 2 )y=y“。因此可知 令 y=p，则 y“=dpdx，于是有 dpdx=p(1+p 2 )，分离变量得 ln =x+C 1 ，代入初始条件得 C 1 =ln 因为 y(0)=0，所以再次积分可得 )解析：11.设函数 f(u)具有二阶连续导数，z=f(e x cosy)满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 u=e x cosy，则 z=f(u)=f(e x cosy)，分别对 x，y 求导得 =f“(u)e 2x cos 2 y+f(u)e x cosy， =f“(u)e 2x sin 2 yf(
30、u)e x cosy， 则 =f“(u)e 2x =f“(e x cosy)e 2x 。 由已知条件 =(4z+e x cosy)e 2x ，可知 f“(u)=4f(u)+u。这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程。 对应齐次方程的通解为 f(u)=C 1 e 2u +C 2 e 2u ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数。 设非齐次方程的特解为 y * =ax+b，代入可得 a=14，b=0。 对应非齐次方程特解为 y * =14u。故非齐次方程通解为 f(u)=C 1 e 2u +C 2 e 2u u。 将初始条件 f(0)=0，f(0)=0 代入，可得 C 1 =116，C 2 =116，
31、所以 f(u)的表达式为 )解析：12.设 y(x)是区间(0，32)内的可导函数，且 y(1)=0，点 P是曲线 l：y(x)上的任意一点。l 在 P处的切线与 y轴相交于点(0，Y p )，法线与 x轴相交于点(X p ，0)，若 X p =Y p ，求 l上点的坐标(x，y)满足的方程。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设点 P处的切线为 Yy=y(Xx)，则法线为 Yy=1y(Xx)。 令 X=0得 Y p =yyx，令 Y=0得 X p =x+yy。 由 Y p =X p 得，yxy=x+yy，即( 1。令 yx=u，则 那么 (u+1)(x +u)=u1， 即 du=dxx
32、，解得 12ln(u 2 +1)+arctanu=lnx+C，即 )解析：13.设函数 y(x)(x0)二阶可导，且 y(x)0，y(0)=1。过曲线 y=y(x)上任意一点 P(x，y)作该曲线的切线及 x轴的垂线，上述两直线与 x轴所围成的三角形的面积记为 S 1 ，区间0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S 2 ，并设 2S 1 S 2 恒为 1，求此曲线 y=y(x)的方程。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图，曲线 y=y(x)上点 P(x，y)处的切线方程为 Yy(x)=y(x)(Xx)。 所以切线与 x轴的交点为(x ，0)。 由于 y(x)0，y(0)=
33、1，因此 y(x)0(x0)。于是 S 1 =12y|x(x )“=y 2 2y 又 S 2 = 0 x y(t)dt， 根据题设 2S 1 S 2 =1，即 2y 2 2y 0 x y(t)dt=1，两边对 x求导并化简得 yy“=(y) 2 ，这是可降阶的二阶常微分方程，令p=y，则 则上述方程可化为 ypdpdy=p 2 分离变量得 dpp=dyy，解得 p=C 1 y，即 dydx=C 1 y，从而有 根据 y(0)=1，y(0)=1，可得 C 1 =1，C 2 =0，故所求曲线得方程为 y=e x 。 )解析：14.如图，C 1 和 C 2 分别是 y=12(1+e x )和 y=e x 的图形，过点(0，1)的曲线 C 3 是一单调增函数的图形。过 C 2 上任一点 M(x，y)分别作垂直于 x轴和 y轴的直线 l x 和 l y 。记 C 1 ，C 2 与 l x 所围图形的面积为 S 1 (x)；C 2 ，C 3 与 l y 所围图形的面积为 S 2 (y)。如果总有 S
