1、考研数学二（矩阵）历年真题试卷汇编 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (1998 年) 设 A 是任一 n(n3)阶方阵，A *是 A 的伴随矩阵，又 k 为常数，且k0，1，则必有(kA) * 【 】（A）kA *（B） kn-1A*（C） knA*（D）k -1A*2 (2004 年) 设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B，再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C，则满足 AQC 的可逆矩阵 Q 为 【 】（A）（B）（C）（D）3 (2005 年) 设 A 为 n(n2)阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第
2、 2 行得矩阵B，A *，B *分别为 A，B 的伴随矩阵，则 【 】（A）交换 A*的第 1 列与第 2 列得 B*（B）交换 A*的第 1 行与第 2 行得 B*（C）交换 A*的第 1 列与第 2 列得B *（D）交换 A*的第 1 行与第 2 行得B *4 (2006 年) 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B，再将 B 的第 1 列的1 倍加到第 2 列得 C，记 P ，则 【 】（A）CP -1AP（B） CPAP -1（C） CP TAP（D）CPAP T5 (2008 年) 设 A 为 n 阶非零矩阵， E 为 n 阶单位矩阵，若 A3O，则 【 】
3、（A）E A 不可逆，E A 不可逆（B） EA 不可逆，EA 可逆（C） EA 可逆，EA 可逆（D）E A 可逆，E A 不可逆6 (2009 年) 设 A，B 均为 2 阶矩阵，A *，B *分别为 A，B 的伴随矩阵若A2，B3，则分块矩阵 的伴随矩阵为 【 】（A）（B）（C）（D）7 (2009 年) 设 A，P 均为 3 阶矩阵，P T 为 P 的转置矩阵，且 PTAP 若P( 1， 2， 3)，Q( 1 2， 2， 3)，则 QAQ 为 【 】（A）（B）（C）（D）8 (2011 年) 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B，再交换 B 的第2
4、行与第 3 行得单位矩阵 记 则 A 【 】（A）P 1P2（B） P1-1P2（C） P2P1（D）P 2P1-19 (2012 年) 设区域 D 由曲线 ysin， ，y1 围成，则 (y51)ddy 【 】（A）（B） 2（C） 2（D）二、填空题10 (2000 年) 设 A E 为 4 阶单位矩阵，且 B(EA) -1(EA)，则(EB) -1 _11 (2003 年) 设 为 3 维列向量， T 是 的转置若 T ，则T_12 (2003 年) 设三阶方阵 A、B 满足 A2BABE，其中 E 为三阶单位矩阵，A，则B_13 (2004 年) 设矩阵 A ，矩阵 B 满足 ABA*
5、2BA *E，其中 A*是 A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则B_14 (2005 年) 设 1， 2， 3 均为 3 维列向量，记矩阵 A ( 1， 2， 3)，B( 1 2 3， 12 24 3， 13 29 3) 如果 A1，那么B _15 (2006 年) 设矩阵 A ，E 为 2 阶单位矩阵，矩阵 B 满足 BAB2E ，则B _16 (2007 年) 设矩阵 A ，则 A3 的秩为_17 (2010 年) 设 A，B 为 3 阶矩阵，且A3，B2，A -1B2，则AB -1_18 (2012 年) 设 A 为 3 阶矩阵， A3，A *为 A 的佯随矩阵，若交换 A 的第 1行与第
6、 2 行得矩阵 B，则BA *_19 (2013 年) 设 A(a ij)是 3 阶非零矩阵，A为 A 的行列式，A ij 为 aij 的代数余子式若 aij Aij0(i ，j 1，2，3)，则A _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 (1997 年) 已知 A 且 A2ABI，其中 I 是 3 阶单位矩阵，求矩阵B21 (1998 年) 设 (2EC -1B)ATC -1，其中 E 是 4 阶单位矩阵，A T 是 4 阶矩阵 A 的转置矩阵， 求 A22 (1999 年) 设矩阵 A 矩阵 X 满足 A*XA -12X ，其中 A*是A 的伴随矩阵，求矩阵 X23 (2
7、001 年) 已知矩阵 且矩阵 X 满足AXABXBAXB BXA E，其中 E 是 3 阶单位阵，求 X24 (2002 年) 已知 A，B 为 3 阶矩阵，且满足 2A-1BB4E，其中 E 是 3 阶单位矩阵 (1)证明：矩阵 A2E 可逆； (2) 若 B ，求矩阵 A25 (2015 年) 设矩阵 A ，且 A3O ( )求 a 的值； ( )若矩阵 X 满足XXA 2AXAXA 2E，其中 E 为 3 阶单位矩阵，求 X考研数学二（矩阵）历年真题试卷汇编 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由于 n 阶行列式
8、的每个元素的余子式都是一个 n1 阶行列式，故kA的每个元素的代数余子式等于A的对应元素的代数余子式的 kn-1 倍，于是由伴随矩阵的定义知(kA) *的每个元素等于 A*的对应元素的 kn-1 倍，即(kA)*k n-1A*【知识模块】 矩阵2 【正确答案】 D【试题解析】 记交换单位矩阵的第 1 列与第 2 列所得初等矩阵为 E(1，2)，记将单位矩阵第 2 列的忌倍加到第 3 列所得初等矩阵为 E(3，2(k)，则由题设条件，有 AE(12) B，BE(3，2(1)C， 故有 AE(1，2)E(3，2(1)C 于是得所求逆矩阵为 所以只有选项D 正确【知识模块】 矩阵3 【正确答案】 C
9、【试题解析】 用排除法以 2 阶方阵为例，设由此可见，交换 A*的第 1 列与第 2 列得B *，而其它选项均不对，故只有 C 正确【知识模块】 矩阵4 【正确答案】 B【试题解析】 将单位矩阵 E 的第 2 行加到第 1 行即得初等矩阵 P，由初等变换与初等矩阵的关系，有 BPA令矩阵 则将 E 的第 1 列的1 倍加到第 2 列即得矩阵 Q，于是有 CBQ，从而有 CPAQ 由于所以，CPAQPAP -1，只有选项 B 正确【知识模块】 矩阵5 【正确答案】 C【试题解析】 由于(EA)(EAA 2)EA 3E，(EA)(EAA 2)E A3E ， 故由可逆矩阵的定义知： EA 和 EA
10、均是可逆的【知识模块】 矩阵6 【正确答案】 B【试题解析】 记矩阵 C ，则 C 的行列式C(1)4 AB60，因此 C 为可逆矩阵，由公式 CC*C E，得故只有选项 B 正确【知识模块】 矩阵7 【正确答案】 A【试题解析】 故只有选项 A 正确【知识模块】 矩阵8 【正确答案】 D【试题解析】 由题设条件有 P2AP1I，两端左乘 P2-1，两端右乘 P1-1，得 AP 2-1P1-1，因 P2-1P 2，而 P1-1P1，故只有 D 正确【知识模块】 矩阵9 【正确答案】 B【试题解析】 于是，Q -1AQ(PM) -1A(PM)M -1(P-1AP)M因此选 B【知识模块】 矩阵二
11、、填空题10 【正确答案】 【试题解析】 由题设等式得 EBE(EA) -1(EA) 用(EA)左乘上式两端，得 (EA)(E B)EAEA2E 即 (EA)(EB)E 所以(EB) -1【知识模块】 矩阵11 【正确答案】 3【试题解析】 于是有 a21，b 21，c 21，从而得 Ta b c a 2b 2c 21113【知识模块】 矩阵12 【正确答案】 【试题解析】 由题设方程移项得 A2BBAE， (A2E)BAE ， (AE)(AE)BAE，注意 AE 可逆，用(AE)-1 左乘上式两端，得 (A E)BE 两端取行列式，得 AEB1 因为AE 2 得 2B1，【知识模块】 矩阵1
12、3 【正确答案】 【试题解析】 由于 A*AAE，而A3，所以 A*A3E用矩阵 A 右乘题设方程两端，可得 3AB6BA， 或 3(A2E)BA， 两端取行列式，得 33A2EB A， 由于 故有27B 3，所以B 【知识模块】 矩阵14 【正确答案】 2【试题解析】 利用矩阵乘法，可将 B 表示为【知识模块】 矩阵15 【正确答案】 2【试题解析】 由给定矩阵方程得 BAB2E B(AE)2E 两端取行列式，得B AE 2E 因AE 2，2E2 2E4 所以有 2B4，从而得B2【知识模块】 矩阵16 【正确答案】 1【试题解析】 利用矩阵乘法，容易计算得 由于 A3 中非零子式的最高阶数
13、为 1，故由矩阵的秩的定义，即知 r(A3)1【知识模块】 矩阵17 【正确答案】 3【试题解析】 由于 AB -1(ABE)B -1A(BA -1)B-1A(A -1B)B -1， 两端取行列式，并利用ABCABC及B -1B -1，得 AB -1A.A -1B.B -132 3【知识模块】 矩阵18 【正确答案】 27【试题解析】 由于互换行列式的两行，则行列式仅变号，于是知B3再利用A *A n-1A 29，得BA *BA *27【知识模块】 矩阵19 【正确答案】 1【试题解析】 由 A0，不妨设 a110，由已知的 Aija ij(i，j1，2，3)，得及 A(A *)T，其中 A*
14、为A 的伴随矩阵以下方法： 用 AT 右乘 A(A *)T 的两端，得 AA T(A *)AT(AA *)T( AI) T， 其中 I 为 3 阶单位矩阵，上式两端取行列式，得 A 2(1) 3A 3，或A 2(1A)0， 因A 0，所以A1【知识模块】 矩阵三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 由 A2ABA(AB)I，及A10， 知 ABA -1，故BAA -1， 又 A-1 从而得【知识模块】 矩阵21 【正确答案】 给题设方程两端左乘 C，得 C(2E C -1B)ATE 即(2CB)A TE 由于矩阵 可逆，故 AT(2C B) -1，从而 A(2CB
15、) -1T【知识模块】 矩阵22 【正确答案】 由题设等式得(A *2E)XA -1，其中 E 是 3 阶单位矩阵，用矩阵A 左乘等式两端，得 (AE2A)X E 可见(A E 2A)可逆，从而 X( AE2A) -1【知识模块】 矩阵23 【正确答案】 由题设等式得 AX(AB)BX(BA)E 即(AB)X(AB)E 矩阵 AB 可逆，且(AB) -1 故 X(A B) -1(AB) -1【知识模块】 矩阵24 【正确答案】 (1)由 2A-1BB4E，得 AB2B4A0 从而有(A2E)(B 4E)8E (*) 或(A2E). (B4E)E 故 A2E 可逆，且(A2E) -1 (B4E) (2)由(*)式可得 A 2B8(B4E) -1 故 A2E8(B4E) -1【知识模块】 矩阵25 【正确答案】 () 由 A3O。两端取行列式，得A 30，从而得A0，而Aa 3，所以 a0 ()由已知的 XXA 2AXAXA 2E，得 X(EA 2)AX(EA 2)E 即(EA)X(EA 2)E 由()知由于 EA ，EA 2 均可逆，所以 X(E A)-1(EA 2)-1【知识模块】 矩阵
