考研数学二（线性代数）模拟试卷 11 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 nm 阶矩阵，则( )（A）当 mn 时，必有AB0（B）当 mn 时，必有AB=0（C）当 nm 时，必有AB0（D）当 nm 时，必有AB=02 设 A 为 mn 阶矩阵，且 r(A)=mn 时，r(AB)n0，即 XT(PTAP)X0，故 XT(PTAP)X 为正定二次型，于是 PTAP 为正定矩阵【知识模块】 线性代数部分29 【正确答案】 因为方程组有非零解，所以 =a(a+1)(a-3)=0，即 a=-1或 a=0 或 a=3因为 A 是正定矩阵，所以 aii0(i=1，2，3)，所以 a=3当 a=3 时，由 得 A 的特征值为 1，4，10因为A 为实对称矩阵，所以存在正交矩阵 Q，使得f=XTAX y12+4y22+10y3210(y12+y22+y32)而当X = 时，y12+y22+y32=YTY=YTQYTQY，=(QY) T(QY)=XTX=X =2 所以当x= 时，XTAX 的最大值为 20(最大值 20 可以取到，如 y1=y2=0，y 3= )【知识模块】 线性代数部分
