1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 14 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 （A）-3（B） -1（C） 0（D）32 （A）c -2m（B） m（C） cm（D）c 3m3 一个值不为零的 n 阶行列式，经过若干次矩阵的初等变换后，该行列式的值 ( )（A）保持不变（B）保持不为零（C）保持相同的正、负号（D）可以变为任何值4 设 1， 2， 3， 1， 2 都是四维列向量，且四阶行列式|1， 2， 3， 1|=m，| 1， 2， 2， 3|=n，则四阶行列式| 3， 2， 1， 1+2|等于 ( )（A）m+n（B） -(m+n)（C） n-m（D）
2、m-n5 线性方程组 则有 ( )（A）若方程组无解，则必有系数行列式|A|=0（B）若方程组有解，则必有系数行列式|A|0（C）系数行列式|A|=0，则方程组必无解（D）系数行列式|A|0 是方程组有唯一解的充分非必要条件6 线性方程组 则 ( )（A）当 a， b，c 为任意实数时，方程组均有解（B）当 a=0 时，方程组无解（C）当 b=0 时，方程组无解（D）当 c=0 时，方程组无解7 设 A，B 是 n 阶矩阵，则下列结论正确的是 ( )（A）AB=0 A=0 且 B=0（B） |A|=0 A=0（C） |AB|=0 |A|=0 或|B|=0（D）A=E |A|=18 设 A 是
3、nn 矩阵，X 是任意的 n 维列向量，B 是任意的 n 阶方阵，则下列说法错误的是 ( )（A）AB=0A=0（B） BTAB=0A=0（C） AX=0A=0（D）X TAX=0A=09 设 n 维行向量 = 矩阵 A=E-T，B=E+2 T，则 AB= ( )（A）O（B）一 E（C） E（D）E+ T10 设 A，B 是 n 阶方阵，满足 AB=O，则必有 ( )（A）A=O 或 B=O（B） A+B=O（C） |A|=0 或 |B|=0（D）|A|+|B|=011 设 1， 2， 3 是四元非齐次线性方程组 AX=b 的三个解向量，且 r(A)=3， 1=1，2，3，4 T， 2+3=
4、0，1，2，3 T，k 是任意常数，则方程组 AX=b 的通解是 ( )12 设 1， 2 是 n 阶矩阵 A 的特征值， 1， 2 分别是 A 的对应于 1， 2 的特征向量，则 ( )（A）当 1=2 时， 1， 2 对应分量必成比例（B）当 1=2 时， 1， 2 对应分量不成比例（C）当 12 时， 1， 2 对应分量必成比例（D）当 12 时， 1， 2 对应分量必不成比例二、填空题13 14 x，y，z ， ，其中 a，b，c，d，x，y ，z ， 是任意常数，则|A|=_15 设 a，b， a+b 均非 0，行列式 等于_16 已知 A，B 为 3 阶相似矩阵， 1=1， 2=2
5、 为 A 的两个特征值，行列式|B|=2 ，则行列式 =_17 设 n 阶矩阵 则|A|=_18 设 A=1， 2， 3是 3 阶矩阵，|A|=4 ，若 B= 1-32+23， 2 一 23，2 2+3，则|B|=_19 设 =1， 0，1 T，A= T，n 是正数，则|aE 一 An|=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 计算行列式21 计算行列式22 23 已知 n(n3)阶实矩阵 A=(aij)nn 满足条件： (1)a ij=Aij(i，j=1，2，n)，其中 Aij是 aij 的代数余子式； (2)a110求|A|24 |A|是 n 阶行列式，其中有一行 (或一
6、列)元素全是 1，证明：这个行列式的全部代数余子式的和等于该行列式的值25 26 计算行列式27 设 ，试证明： (0，1)，使得f()=028 29 设 A 为 1010 矩阵， 计算行列式|A 一 E|，其中 E 为 10 阶单位矩阵， 为常数30 A 为 n(n3)阶非零实矩阵，A ij 为 A 中元素 aij 的代数余子式，试证明： (1)aij=AijA TA=E 且|A|=1； (2)a ij=-AijA TA=E 且|A|=一 131 设 3 阶矩阵 A 满足|A E|=|A+E|=|A+2E|=0，试计算|A*+3E|32 设 A 是 n 阶矩阵，满足 AAT=E(E 是 n
7、阶单位矩阵， AT 是 A 的转置矩阵) ，|A|0，求|A+E|33 设 a1，a 2，a n 是互不相同的实数，且求线性方程组 AX=b 的解34 设 B=2AE，证明：B 2=E 的充分必要条件是 A2=A35 设 A 是 n 阶矩阵，证明：A=O 的充要条件是 AAT=O.36 设 (1)证明：当 n3 时，有 An=An-2+A2 一 E；(2)求 A100考研数学二（线性代数）模拟试卷 14 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 由故选(B)【知识模块】 线性
8、代数3 【正确答案】 B【试题解析】 三类初等变换，都保持行列式不为零【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 因| 3， 2， 1， 1+2|=|3， 2， 1， 1|+|3， 2， 1， 2| =一|1， 2， 3， 1|1， 2， 3， 2| =一| 1， 2， 3， 1|+|1， 2， 2， 3| =n-m 应选(C)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 A【试题解析】 方程组无解 |A|=0(反证，若|A|0，用克拉默法则，方程组必有解)；(B)方程组有解，|A| 可能为零，也可能不为零；(C)|A|=0 ，方程组也可能有解；(D)|A|0 方程组解唯一，反过来，若方
9、程组有唯一解|A|一定不为零【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 A【试题解析】 因：a=0 或 b=0 或 c=0 时，方程组均有解，且系数行列式当 abc0 时，由克拉默法则知，方程组有解，且abc=0 时也有解，故 a，b，c 为任意实数时，方程组均有解【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 因|AB|=|A|B|=0;|A|=0 或|B|=0，(C)正确；(A)不正确，例：，但 AB=O；(B)不正确，例：(D)不正确，例：【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 D【试题解析】 对任意的 X，有 XTAX=0，可推出 AT=一 A，不能推出 A=O例对任意的x 1，x
10、 2T，均有【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 C【试题解析】 AB=(E- T)(E+2T)=E+T 一 2TT=E+T 一 2T(T)，其中【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 C【试题解析】 AB=O |AB|=|A|B|=0，故|A|=0 或|B|=0【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 C【试题解析】 方程组有齐次解：2 1 一( 2+3)=2，3，4，5 T，故选(C)【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 D【试题解析】 当 1=2 时， 1 与 2 可以线性相关也可以线性无关，所以 1， 2 可以对应分量成比例，也可以对应分量不成比例，故排除(A)，(B)当 12
11、 时，1， 2 一定线性无关，对应分量一定不成比例，故选(D)【知识模块】 线性代数二、填空题13 【正确答案】 (x 2 一 y2)(b2-c2)【试题解析】 【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 0【试题解析】 【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 -2(a 3+b2)【试题解析】 将第 2，3 行加到第 1 行上去，提出公因子 2(a+b)后，再将第 1 列的一 1 倍加到第 2，3 列，得到=2(a+b)(一 a2+ab 一 b2)=一 2(a3+b3)【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 【试题解析】 设 3 为 A 的另一特征值则由 AB 知，|A|=|B|=2 ，且1
12、23=|A|=2，可见 3=1，从而 A，B 有相同的特征值 1=1， 2=2， 3=1于是有 |A+E|=(1+1)(2+1)(3+1)=12， |(2B)*|=|2 2B*|=42|B*|=43|B|2=256，故【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 (一 1)n-1(n 一 1)【试题解析】 【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 20【试题解析】 利用行列式的性质 |B|=| 1-32+23， 2 一 23，5 3| =5|1-32+23， 2-23， 3| =5|1 一 32， 2,3| =5|1， 2， 3| =20【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 a 2(a 一 2
13、n)【试题解析】 An=(T)n=TT T=(T)(T)( T)T=2n-1A， =a(a 一 2n-1)2一(一 2n-1)2 =a(a2-a2n)=a2(a 一 2n)【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 按第一列展开，得【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 把 Dn 按第一行展开，得把递推公式改写成 Dn 一 Dn-1=(Dn-1-Dn-2)， 继续用递推关系递推，得 D n一 Dn-1=(Dn-1 一 Dn-2)=2(Dn-2 一 Dn-3)= n-2(D2-D1)，而 D 2=(+)2
14、 一，D 1=+， D n 一 Dn-1=n-2(D2 一 D1)=n， 式递推得 Dn=Dn-1+n=(Dn-2+n-1)+n = n+n-1+n-22+ n-1+n 除了将式变形得 式外，还可将式改写成 D n-Dn-1=(Dn-1 一 Dn-2) 由递推可得 D n 一 Dn-1=n， 一 得 ( 一 )Dn=n+1 一 n+1，【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由已知 aij=Aij，所以 A*=AT，且 AA*=AA T=|A|E. 两边取行列式得 |AAT|=|A|2=|A|E|=|A|n 从而 |A|=1 或 |A|=0 由于 a110，可知 |A|=a11A11+a12
15、A12+a1nA1n=a112+a122+a1n20于是 |A|=1【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 不失一般性，设 又因【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 按第一行展开得到递推公式 D 5一 D4=-x(D4-D3)一=-x 3(D2-D1)由于 =1 一 x+x2，D 1=1 一 x，于是得 容易推出 D5=一 x5+x4 一 x2+D2=一 x5+x4 一 x3+x2 一 x+1【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 =(a2+b2+c2+d2)4故原式=(a 2+b2+c2+d2)2【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 f(x)显然在0 ，1上连续，在(0，1) 上
16、可导而可知 f(x)在0，1上满足罗尔定理的条件，故 (0，1)，使得 f()=0【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 把第 1 行的(一 x)倍分别加到第 2，3，n 行，得当 x0 时，再把第 j 列的 倍加到第 1 列(j=2，n)，就把 Dn 化成了上三角行列式当 x=0 时，显然有Dn=0，所以总有 D n=(一 1)n-1(n1)xn-2【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 (1)当 aij=Aij 时，有 AT=A*，则 ATA=AA*=|A|E由于 A 为 n 阶非零实矩阵，即 aij 不全为 0，所以 tr(AAT)= 而 t
17、r(AAT)=tr(|A|E)=n|A|，这说明|A|0在 AAT=|A|E 两边取行列式，得|A| n-2=1，|A|=1 反之，若 ATA=E且|A|=1，则 A*A=|A|E=E 且 A 可逆，于是，A TA=A*A，A T=A*，即 aij=Aij (2)当aij=一 Aij 时，有 AT=一 A*，则 ATA=-A*A=-|A|E由于 A 为 n 阶非零实矩阵，即aij 一不全为 0，所以 在 ATA=一|A|E 两边取行列式得|A|=一 1 反之，若 ATA=E 且|A|=一 1，由于 A*A=|A|E=一 E，于是，A TA=一A*A进一步，由于 A 可逆，得 AT=-A*，即
18、aij=-Aij【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 由|AE|=|A+E|+|A+2E|=0 可知 =1，一 1，一 2 均满足特征方程|A 一 E|=0，又由于 A 为 3 阶矩阵，可知 1，一 1，一 2 为 A 的 3 个特征值可知|A|=2，因此 A*+3E=|A|A-1+3E=2A-1+3E 有特征值 21 -1+3=5， 2(一 1)-1+3=1， 2(-2)-1+3=2， 故|A*+3E|=512=10【知识模块】 线性代数32 【正确答案】 |A+E|=|A+AA T|=|A(E+AT)| =|A|(A+E) T|=|A|A+E| 【知识模块】 线性代数33 【正确答案】
19、 因 a1，a 2，a n 互不相同，故由范德蒙德行列式知，|A|0，根据克拉默法则，方程组 AX=b 有唯一解，且 其中 Ai 是 b 代换 A 中第 i 列得的矩阵，有 |A 1|=|A|，|A i|=0，i=2，3，n故 AX=b 的唯一解为 X=1，0，0，0 T【知识模块】 线性代数34 【正确答案】 B=2AE,B 2=(2AE)(2A-E)=4A2 一 4A+E， 4A 24A+E=E,4A2-4A=O,A2=A【知识模块】 线性代数35 【正确答案】 反之，若 A=O，显然 AAT=O【知识模块】 线性代数36 【正确答案】 (1)n=3 时，因 ，验证得 A3=A+A2一 E，上式成立 假设 n=k 一 1 时(n3) 成立，即 Ak-1=Ak-3+A2 一 E 成立，则 Ak=A.Ak-1=A(Ak-3+A2-E)=Ak-2+A3-A =Ak-1+(A+A2-E)一 A=Ak-2+A2 一 E，即 n=k 时成立故 An=An-2+A2 一 E 对任意 n(n3)成立 (2)由上述递推关系可得 A100=A98+A2一 E=(A96+A2-E)+A2 一 E =A96+2(A2-E)一=A 2+49(A2-E)【知识模块】 线性代数
