1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 15 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 A，B 是 n 阶方阵，则下列公式正确的是 ( )（A）(A 2)-1=(A-1)2（B） (A+B)-1=A-1+B-1（C） (A+B)(A-B)=A2 一 B2（D）(kA) -1=kA-1 (k0)2 已知 A，B，A+B，A -1+B-1 均为 n 阶可逆阵，则(A -1+B-1)-1 等于 ( )（A）A+B（B） A-1+B-1（C） A(A+B)-1B（D）(A+B) -13 下列命题正确的是 ( )（A）若 AB=E，则 A 必可逆，且 A-1=B（B）若 A，
2、B 均为 n 阶可逆阵，则 A+B 必可逆（C）若 A，B 均为 n 阶不可逆阵，则 AB 必不可逆（D）若 A，B 均为 n 阶不可逆阵，则 AB 必不可逆4 设 A 是 n 阶方阵，且 A3=0，则 ( )（A）A 不可逆，且 EA 不可逆（B） A 可逆，但 E+A 不可逆（C） A2 一 A+E 及 A2+A+E 均可逆（D）A 不可逆，且必有 A2=O5 设 A，B 是 n 阶矩阵，AB=O，B0，则必有 ( )（A）(A+B) 2=A2+B2（B） |B|0（C） |B*|=0（D）|A*|=06 A 是 n 阶方阵，A*是 A 的伴随矩阵，则|A*|= ( )（A）|A|（B）
3、|A-1|（C） |An-1|（D）|A n|7 A 是 n 阶矩阵，|A|=3则 |(A*)*|= ( )8 设 A 是 n 阶可逆方阵(n2)，A*是 A 的伴随阵，则(A*)*= ( )（A）|A| n-1A（B） |A|n+1A（C） |A|n-2A（D）|A| n+2A9 设 Ann 是正交矩阵，则 ( )（A）A*(A*) T=|A|E（B） (A*)TA*=|A*|E（C） A*(A*)T=E（D）(A*) TA*=一 E10 设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下列等式中，不一定成立的是 ( )（A）(A+A -1)2=A2+2AA-1+(A-1)2（B） (A+AT)2=A2+2A
4、AT+(AT)2（C） (A+A*)2=A2+2AA*+(A*)2（D）(A+E) 2=A2+2AE+E211 已知 1=一 1，1，a，4 T， 2=一 2，1，5，a T， 3=a，2，10，1 T 是 4 阶方阵A 的 3 个不同特征值对应的特征向量，则 a 的取值为 ( )（A）a5（B） a一 4（C） a一 3（D）a一 3 且 a一 412 设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则 ( )（A）E-A=E-B（B） A 与 B 有相同的特征值和特征向量（C） A 与 B 都相似于一个对角矩阵（D）对任意常数 t，tE-A 与 tE-B 相似二、
5、填空题13 设 A，B 均为 n 阶矩阵，|A|=2，|B|= 一 3，则|2A*B -1|=_14 设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，且|A|=a，|B|=b ，C= ，则|C|=_15 已知 AB-B=A，其中 则 A=_16 设 A 为奇数阶矩阵，AA T=ATA=E，|A|0，则 |AE|=_17 设 3 阶方阵 A，B 满足关系式 A-1BA=6A+BA，且 A= ，则B=_18 设 =1， 2，3 ，= ，A= T，则 An=_19 设 B= 则 Bn=_20 设 A= n2 为正整数，则 An-2An-1=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 设 (
6、1)计算 A2，并将 A2 用 A 和 E 表出；(2)设 A 是二阶方阵，当k2 时，证明：A k=O 的充分必要条件为 A2=O22 证明：方阵 A 与所有同阶对角阵可交换的充分必要条件是 A 是对角阵23 证明：若 A 为 n 阶可逆方阵，A*为 A 的伴随矩阵，则(A*) T=(AT)*24 证明：若 A 为 n 阶方阵，则有|A*|=|( 一 A)*|(n2)25 已知 3 阶矩阵 A 的逆矩阵为 ，试求其伴随矩阵 A*的逆矩阵26 已知 X=AX+B，其中 求矩阵 X27 已知 n 阶方阵 A 满足矩阵方程 A2 一 3A 一 2E=O证明：A 可逆，并求出其逆矩阵 A-128 已
7、知对于 n 阶方阵 A，存在自然数 k，使得 Ak=O试证明：矩阵 E 一 A 可逆，并写出其逆矩阵的表达式(E 为 n 阶单位阵)29 设矩阵 A 和 B 满足关系式 AB=A+2B，其中 ，求矩阵 B30 设 可逆，其中 A，D 皆为方阵，求证：A，D 可逆，并求 M-131 设矩阵 矩阵 X 满足 AX+E=A2+X，其中 E 为 3 阶单位矩阵，试求出矩阵 X32 假设 求 A 的所有代数余子式之和33 设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数记分块矩阵其中 A*是矩阵 A 的伴随矩阵，E 为 n 阶单位矩阵 (1)计算并化简 PQ； (2)证明：矩阵 Q 可逆的充
8、分必要条件是 TA-1b34 设(2EC -1B)AT=C-1，其中 E 是 4 阶单位矩阵，A T 是 4 阶矩阵 A 的转置矩阵，求 A35 设 求 An36 已知 求 An37 设有两个非零矩阵 A=a1，a 2，a nT，B=b 1，b 2，b nT (1)计算 ABT 与ATB； (2)求矩阵 ABT 的秩 r(ABT)； (3)设 C=E-ABT其中 E 为 n 阶单位阵证明：CTC=EBAT 一 ABT+BBT 的充要条件是 ATA=138 证明：若 A 为 mn 矩阵，B 为 np 矩阵，则有 r(AB)r(A)+r(B)一 n特别地，当 AB=O 时，有 r(A)+r(B)n
9、考研数学二（线性代数）模拟试卷 15 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 因(A 2)-1=(AA)-1=A-1A-1=(A-1)2；(B)不成立，例：B=A，A+B 不可逆；(C)中，ABBA，BAABO；(D)中，(kA) -1= kA-1【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 (A -1+B-1)(A(A+B)-1B)=(E+B-1A)(A+B)-1B=B-1(B+A)(A+B)-1B=B-1B=E， (A -1+B-1)-1=A(A+B)-1B【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 因
10、 A，B 不可逆，则|A|=0，|B|=0，故|AB|=|A|B|=0，AB 不可逆(A)中 AB=E，但未指出是方阵，若 则 AB=E，但A，B 均无逆可言(B)中，取 B=-A，则 A+B=A-A=O 不可逆(C) 中，取均不可逆，但 AB=E 是可逆阵【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 A 3=O，有 E3+A3=(E+A)(A2 一 A+E)=E， E 3 一 A3=(E 一 A)(A2+A+E)=E，故 A2 一 A+E 及 A2+A+E 均可逆，由以上两式知， E 一 A，E+A 也均可逆，故(A) ，(B)不成立，同时 (D)不成立，例： 有【知识模块】 线性
11、代数5 【正确答案】 D【试题解析】 AB=O ，不一定有 BA=O，故(A)(A+B) 2=A2+B2，不成立；BO，|B|可以为零，也可以不为零，|B*|也可以为零，可以不为零，故(B)，(C)不成立；BO，AB=O，AX=0 有非零解，故|A|=0，从而|A*|=|A| n-1=0【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 AA*=|A|E，两边取行列式，得|A|A*|=|A| N 若|A|0 ，|A*|=|A| n-1=|An-1|； 若 |A|=0，则|A*|=0，故选 (C)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 A【试题解析】 |A|=3，A 可逆 (A*)(A*)*
12、=|A*|E，【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 C【试题解析】 AA*=|A|E，得 A*(A*)*=|A*|E，(A*)*=|A*|(A*) -1，【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 C【试题解析】 A 正交阵，则有 ，A*(A*) T=|A|AT(|A|AT)T=|A|2ATA=E【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 B【试题解析】 由矩阵乘法的分配律可知： (A+B) 2=(A+B)A+(A+B)B=A2+BA+AB+B2， 因此， (A+B)2=A2+2AB+B2 的充要条件是 BA=AB，也即A，B 的乘积可交换 由于 A 与 A-1，A 与 A*以及 A 与 E 都是
13、可交换的，故(A)(C)(D)中的等式都是成立的故选 (B)【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 A【试题解析】 1， 2， 3 是三个不同特征值的特征向量，必线性无关，由知 a5故应选(A)【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 D【试题解析】 A 与 B 相似，存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B，则 tE 一 B=tE 一 P-1AP=P-1(tE)PP-1AP=P-1(tE 一 A)P，即 tE 一 A 与 tE 一 B 相似，选(D)对于(A) ：E 一 A=E 一 B;A=B；对于(B)：A 与 B 相似，则 A 与 B 有相同的特征值，但特征向量不一定相同；对于(C)：A
14、 与 B 不一定能够相似对角化【知识模块】 线性代数二、填空题13 【正确答案】 【试题解析】 |2A*B -1|=2n|A*|B-1|=2n.|A|n-1【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 (一 1)mnab【试题解析】 【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 0【试题解析】 |AE|=|A AAT|=|A(E 一 AT)|=|A|(E 一 A)T=|A|E 一 A| 由于AAT=ATA=E，可知|A| 2=1又由于|A|0，可知|A|=1 又由于 A 为奇数阶矩阵，故 |EA|=| 一(AE)|= |A-E|，故有|AE|=一
15、|AE|，可知|AE|=0【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 diag(3，2，1)【试题解析】 由 A-1BA=6A+BA 得 B=6A(E-A)-1=diag(3，2，1)，其中，1， 2， ， 3 全不为零【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 3 n-1A【试题解析】 A= T= An=T=(T)(T)( T)=T()T()T( T)=3n-1A【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 14 n-1B【试题解析】 因 B*=(T)n=(T)(T)( T)=T(T)( T)=14n-1B【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 O【试题解析】 A 2= =2A。A n=2n-1A
16、A n 一 2An-1=O【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 (1) 解得 x=a+d，y=bc 一 ad，即 A 2=(a+d)A+(bc-ad)E(2)充分性 A2=O,Ak=O，k2，显然成立；A 是二阶矩阵，|A|=0，故 r(A)1，若 r(A)=0，则 A=0，从而 A2=0；若r(A)=1，则 A=T，A 2=TT=(T)A，其中 ， 为非零二维列向量A k=(T)k-1A=O,T=0 或 A=0，从而有 A2=0【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 充分性 A 是对角阵，则显然 A 可与任何对角阵可交换必要性 设 与任
17、何对角阵可交换，则应与对角元素互不相同的对角阵 可交换，即b1a12=b2a12，b 1b2，故 a12=0，b iaij=bjaij，ij，b ibj，a ij=0，i=1，2，n，j=1，2，n，故A= 是对角阵【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 (A*) T=(|A|A-1)T=|A|(A-1)T=|A|(AT)-1=|AT|(AT)-1=(AT)*【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 设 A=(aij)nn，|A|的元素 aij 的代数余子式为 Aij，则| A|的元素一aij 的代数余子式为 Bij=(一 1)n-1Aij， 于是(一 A)*=(一 1)n-1(Aji)nn
18、=(一 1)n-1A*，所以|(-A)*|=|(一 1)n-1A*|=(一 1)n-1n|A*|=|A*|【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 A 2 一 3A 一 2E=O【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 E=EA k=Ek-Ak=(E 一 A)(E+A+Ak-1)，所以 E 一 A 可逆，且 (E-A)-1=E+A+Ak-1【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 由 AX+E=A2+X (AE)X=(AE)(A
19、+E)又|AE|=一 10，则【知识模块】 线性代数32 【正确答案】 先计算出 由于|A|=1，所以A 的所有代数余子式之和即为 A*所有元素之和 0【知识模块】 线性代数33 【正确答案】 (1) (2)由(1)得|P|.|Q|=|PQ|=|A| 2(b 一TA-1) |Q|=|A|(b 一 TA-1)Q 可逆 |Q|0 TA-1b【知识模块】 线性代数34 【正确答案】 由(2E 一 C-1B)AT=C-1 A=(2C-B)T-1=【知识模块】 线性代数35 【正确答案】 =E+B，又 EB=BE，所以【知识模块】 线性代数36 【正确答案】 对 A 分块为则 B=3E+J，于是 Bn=
20、(3E+J)n=3nE+Cn13n-1J+Cn23n-2J2+Jn，而 ，C2=6C，C n=6n-1C，所以【知识模块】 线性代数37 【正确答案】 (1) ，A TB=a1b1+a2b2+anbn (2)因 ABT 各行(或列)是第 1 行(列)的倍数，又 A，B 皆为非零矩阵，故 r(ABT)=1. (3)由于 CTC=(E 一 ABT)T(E 一 ABT)=(E 一 ABT)(E 一 ABT)=EBAT 一ABT+BATABT，故若要求 CTC=E-BAT 一 ABT+BBT，则 BATABT 一BBT=O，B(A TA 一 1)BT=O，即 (A TA 一 1)BBT=O 因为 BO，所以 BBTO故CTC=E-BAT 一 ABT+BBT 的充要条件是 ATA=1【知识模块】 线性代数38 【正确答案】 注意到当 B有一个 t1 阶子式不为 0，A 有一个 t2 阶子式不为 0 时， 一定有一个 t1+t2 阶子式不为 O，因此 故 r(AB)r(A)+r(B)一 n特别地，当 AB=O 时， r(AB)=0,r(A)+r(B)n【知识模块】 线性代数
